CPGE-TSI2 2021-2022 Devoir libre n° 1 : A rendre le 09/11/2021 Exercice : On repère un point 𝑀 sur une roue de rayon 𝑅. Initialement, ce point 𝑀 coïncide avec 𝑂, origine du repère. Ensuite, au cours du mouvement, on appelle 𝜃(𝑡) l’angle entre 𝐶𝑀 et la verticale descendante. La roue roule sans glisser sur le sol de telle manière que l’abscisse 𝑥i du point de contact 𝐼 de la roue avec le sol soit égale à l’arc de cercle 𝐼𝑀. La vitesse du centre 𝐶 de la roue est 𝑣⃗= 𝑣0𝑢𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗ où 𝑣0 est une constante positive. 1. Déterminer la relation entre 𝑣0 et pour que la roue roule sans glisser. 2. Déterminer les coordonnées du point M en fonction de . 3. Etablir les expressions des vecteurs cinématiques du mouvement de M dans le référentiel terrestre. Caractériser le mouvement. Problème : Le problème fait intervenir un objet P quasi-ponctuel, de masse M, et une circonférence de rayon R, homogène, linéique et indéformable, de masse m. Les configurations étudiées se situent dans le champ de pesanteur, d'accélération constante de module g, dirigée selon la verticale descendante. Le plan de la circonférence contient la verticale ascendante Oz, le référentiel Oxyz, ⃗⃗⃗⃗ étant orthonormé. de vecteurs unitaires 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘 Les mouvements sont toujours sans frottements. Les éléments P et ne sont jamais susceptibles de sortir du plan yOz. L'objet P est mobile sur la circonférence qui est fixe. Le centre de la circonférence est fixé au point O. On note A le point le plus bas de , B le point le plus haut. I. La liaison entre P et est bilatérale (c'est à dire que l'on peut assimiler l'objet P à une perle enfilée sur ). A l'instant t = 0, l'objet P est lancé de A avec la vitesse v0 parallèle à Oy, orientée selon 𝑗⃗ . 1. Calculer la vitesse v(z) acquise par P à l'altitude z en fonction de z et des paramètres g, R et vo. 2. On note z, l'altitude du point (s'il existe) où la vitesse de P s'annule. Calculer z 0, discuter de son existence et de la nature du mouvement correspondant en mettant en évidence une valeur critique de v0 qu'on calculera en fonction de g et de R. 3. Calculer la réaction N(z) de la circonférence sur le point P à l'altitude z en fonction de z et des paramètres g, R, M et z0. II. La liaison entre P et est unilatérale (c'est-à-dire que l'objet P se déplace sur le cercle r mais peut le quitter). 1. A l'instant t = 0, l'objet P est situé du côté intérieur de la circonférence et est lancé du point A avec la vitesse vo parallèle à Oy. Etudier à quelle(s) condition(s) le point P peut quitter en mettant en évidence deux valeurs critiques v0c1 et voc2 de v0 qu'on calculera en fonction de g et R. 2. A l'instant t = 0, l'objet P est situé du côté extérieur de la circonférence et est lancé du point B avec la vitesse vo parallèle à Oy. Mettre en évidence et calculer une valeur maximale vo, de v. autorisant P à glisser sur . Calculer, pour v0 < v0l la distance ρ parcourue par P sur avant qu'il ne quitte la circonférence, en fonction de g, R et v0. Application numérique : g = 9,81 m.s -2 ; R = 0.15 m M =10-a kg. 1
