CPGE-TSI2 2021-2022
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Devoir libre n° 1 : A rendre le 09/11/2021
Exercice :
On repère un point sur une roue de rayon . Initialement, ce point
coïncide avec , origine du repère. Ensuite, au cours du mouvement, on
appelle () l’angle entre et la verticale descendante. La roue roule sans
glisser sur le sol de telle manière que l’abscisse i du point de contact de la
roue avec le sol soit égale à l’arc de cercle . La vitesse du centre de la
roue est = 0
où 0 est une constante positive.
1. Déterminer la relation entre 0 et pour que la roue roule sans glisser.
2. Déterminer les coordonnées du point M en fonction de .
3. Etablir les expressions des vecteurs cinématiques du mouvement de M dans le référentiel terrestre.
Caractériser le mouvement.
Problème :
Le problème fait intervenir un objet P quasi-ponctuel, de masse M, et une circonférence de rayon
R, homogène, linéique et indéformable, de masse m. Les configurations étudiées se situent dans le champ de
pesanteur, d'accélération constante de module g, dirigée selon la verticale descendante. Le plan de
la circonférence contient la verticale ascendante Oz, le référentiel Oxyz,
de vecteurs unitaires ,
étant orthonormé.
Les mouvements sont toujours sans frottements. Les éléments P et ne sont
jamais susceptibles de sortir du plan yOz.
L'objet P est mobile sur la circonférence qui est fixe.
Le centre de la circonférence est fixé au point O. On note A le point le plus
bas de , B le point le plus haut.
I. La liaison entre P et est bilatérale (c'est à dire que l'on peut assimiler
l'objet P à une perle enfilée sur ). A l'instant t = 0, l'objet P est lancé de A avec la vitesse v0 parallèle à Oy,
orientée selon .
1. Calculer la vitesse v(z) acquise par P à l'altitude z en fonction de z et des paramètres g, R et v
o
.
2. On note z, l'altitude du point (s'il existe) où la vitesse de P s'annule. Calculer z0, discuter de son existence et
de la nature du mouvement correspondant en mettant en évidence une valeur critique de v0 qu'on calculera
en fonction de g et de R.
3. Calculer la réaction N(z) de la circonférence sur le point P à l'altitude z en fonction de z et des
paramètres g, R, M et z0.
II. La liaison entre P et
est unilatérale (c'est-à-dire que l'objet P se déplace sur le cercle
r
mais peut le
quitter).
1. A l'instant t = 0, l'objet P est situé du côté intérieur de la circonférence
et est lancé du point A avec la
vitesse vo parallèle à Oy. Etudier à quelle(s) condition(s) le point P peut quitter
en mettant en
évidence deux valeurs critiques v0c1 et voc2 de v0 qu'on calculera en fonction de g et R.
2. A l'instant t = 0, l'objet P est situé du côté extérieur de la circonférence
et est lancé du point B avec la
vitesse vo parallèle à Oy. Mettre en évidence et calculer une valeur maximale vo, de v. autorisant P à
glisser sur
.
Calculer, pour v0 < v0l la distance ρ parcourue par P sur avant qu'il ne quitte la
circonférence, en fonction de g, R et v0.
Application numérique : g = 9,81 m.s -2 ; R = 0.15 m M =10-a kg.
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