Annales sur les fonctions exponentielles

Terminale S/Annales sur les fonctions exponen
1. Etudes de fonctions :
1.
Exercice 3121
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire :
x
]
[
La fonction d est définie sur −1 ; +∞ par : d(x) = e x+1
1. Calculer la fonction dérivée d′ . En déduire les variations
de d.
2. Déterminer les limites de d en −1 et en +∞.
3. Montrer que, pour tout x > −1 : 0 < d(x) < e
Partie B : Etude de la fonction f
Dans cette ]partie, on
[ s’intéresse à la fonction f définie sur
l’intervalle −1 ; +∞ par :
f (x) = x + 1 −
x
e x+1
On appelle (C ) la courbe représentative de f dans un repère
orthonormal, l’unité graphique étant 5 cm. On désigne par f ′
et f ′′ les dérivées première et seconde de f .
]
[
1. a. Pour x ∈ −1 ; +∞ , calculer f ′ (x) et f ′′ (x).
x
2x + 1
x+1
Vérifier que : f ′′ (x) =
·
e
(x + 1)4
En déduire le sens de variations de f ′ .
b. Dresser
le tableau de variations de f ′ .
(
)
On admettra que lim f ′ (x) = lim f ′ (x) = 1
x7→−1
2.
x7→+∞
a. Démontrer
que[l’équation f ′ (x) = 0 admet sur l’in]
tervalle −1 ; +∞ deux solutions dont l’une est 0.
Dans la suite du problème, on notera ¸ la solution non-nulle.
b. Donner une valeur approchée de ¸ au centième près.
3.
a. Etudier les variations de f .
b. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble
de définition.
a. Montrer que l’on peut écrire :
x )
g(x) − g(−1)
1 ( x
=1− ·
· e x+1
x − (−1)
x x+1
]
[
b. Pour x ∈ −1 ; +∞ , déterminer la limite lorsque x
x
x
x
puis de
·e x+1 .
tend vers −1 de
x+1
x+1
c. En déduire que g est dérivable en −1 et préciser son
nombre dérivé g ′ (−1).
( )
2. Construire (D) et (C ′ ). Préciser les tangentes à C ′ aux
points d’abscisses −1, ¸, 0.
Exercice 5855
Partie A
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x·e1−x
x
1. Vérifier que pour tout réel x : f (x) = e× x
e
2. Déterminer la limite de la fonction f en −∞.
3. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. Interpréter
graphiquement cette limite.
4. Déterminer la dérivée de la fonction f .
5. Etudier les variations de la fonction f sur R puis dresser
le tableau de variation.
Partie B
Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions
gn et hn définies sur R par :
gn (x) = 1 + x + x2 + · · · + xn
hn (x) = 1 + 2x + · · · + n·xn−1
1. Vérifier que, pour tout réel x :
(1 − x)·gn (x) = 1 − xn+1
1 − xn+1
1−x
2. Comparer les fonctions hn et gn′ , gn′ étant la dérivée de
la fonction gn . En déduire,
(
)que pour tout réel x ̸= 1 :
n·xn+1 − n + 1 ·xn + 1
hn (x) =
(
)2
1−x
On obtient alors, pour tout réel x ̸= 1 :
c. Dresser le tableau de variations de f .
Partie C : Prolongement de la fonction f en −1
]
[
On considère la fonction g définie sur −1 ; +∞ par :
{
g(−1) = 0
g(x) = f (x) pour tout x > −1
( )
On appelle C la courbe représentative de la fonction g dans
le repère de la partie B.
gn (x) =
3. Soit Sn = f (1)+f (2)+···+f (n), f étant la fonction définie dans la partie A.
En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une
expression de Sn puis sa limite quand n tend vers +∞.
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2. Exponentielles et suites :
1.
Exercice 3158
( −
→ →
−)
Le plan est rapporté à un[ repère [orthogonal O ; i ; j . Soit
la fonction f définie sur 0 ; +∞ par :
f (x) = e
−x
cos(4x)
et Γ sa courbe représentative tracée dans le repère
( −
→ −
→)
O; i ; j :
J
O
I
2
3
4
-1
[
[
On considère également la fontion g définie sur 0 ; +∞ par :
g(x) = e−x
et
on
nomme
C sa courbe représentative dans le repère
( −
→ →
−)
O; i ; j .
a. Montrer
que,
[
[ pour tout réel x appartenant à l’intervalle 0 ; +∞ :
−e−x ⩽ f (x) ⩽ e−x
b. En déduire la limite de f en +∞.
2. Déterminer les coordonnées des points communs aux
courbes Γ et C .
( ı)
( )
3. On définit la suite un sur N par : un = f n· .
2
( )
a. Montrer que la suite un est une suite géométrique.
En préciser la raison.
( )
b. En déduire le sens de variation de la suite un et étudier sa convergence.
4.
a. Montrer
que,
[
[ pour tout réel x appartenant à l’intervalle 0 ; +∞ : [
]
f ′ (x) = −e−x · cos(4x) + 4· sin(4x)
b. En déduire que les courbes Γ et C ont même tangente
en chacun de leurs points communs.
5. Donner une valeur approchée à 10−1 près par excès du
coefficient directeur de la droite T tangente à la courbe
ı
Γ au point d’abscisse .
2
Compléter le graphique donné en annexe, en y traçant
T et C .
4. Fonctions logarithmiques :
Exercice 3179
1. Restitution organisée des connaissances
Pré-requis :
La fonction logarithme
népérien est dérivable
]
sur l’intervalle 0 ; +∞[ ;
Sa fonction dérivée est la fonction inverse :
1
x 7−→ .
x
ln(1) = 0
Démontrer que pour tous réels strictement positifs ¸ et
x:
ln(¸·x) = ln(¸) + ln(x)
2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que :
(a)
(1)
= − ln(a) ; ln
= ln(a) − ln(b).
ln
a
b
pour tous réels strictement positifs a et b.
3. On donne : 0;69 ⩽ ln2 ⩽ 0;70
et 1;09 ⩽ ln3 ⩽ 1;10.
En déduire des encadrements de :
(3)
(1)
; ln
ln 6 ; ln
6
8
Exercice 3898
Partie A
]
[
2. Montrer que g est dérivable sur l’intervalle 0 ; +∞ et
que :
g ′ (x) = − ln x
3. Dresser le tableau de variations de la fonction g.
Partie B
( )
Soit un la suite définie pour tout n ∈ N∗ par :
un =
en
nn
1. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice :
( )
a. le sens de variation de la suite un ;
( )
b. la limite éventuelle de la suite un .
( )
∗
2. Soit vn la
( suite
) définie pour tout n ∈ N par :
vn = ln un .
a. Montrer que :
vn = n−n·ln n.
b. En utilisant(la partie
A, déterminer le sens de variation
)
de la suite vn .
( )
c. En déduire le sens de variation de la suite un .
( )
3. Montrer que la suite un est bornée.
( )
4. Montrer que la suite un est convergente et déterminer
sa limite.
Exercice 5151
Soit g] la fonction
définie pour tout nombre réel x de l’inter[
valle 0 ; +∞ par : g(x) = x−x·lnx
1. Déterminer les limites de la fonction g en 0 et +∞.
Partie A - Etude du signe d’une fonction
]
[
On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; +∞
par : f (x) = x2 + 4· ln x
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1. Déterminer le tableau de variation de la fonction f en
précisant les limites de f en 0 et en +∞.
2. Démontrer que l’équation f (x)
une solution ¸
] = 0 admet
[
et une seule dans l’intervalle 0 ; +∞ .
b. En
( )déduire qu’il existe un unique point
( ) A de la courbe
Γ tel que pour tout point M de Γ , distinct de A,
on a OM > OA.
3. Démontrer que la droite (OA) est perpendiculaire à la
tangente T à la courbe (Γ) au point A.
3. En déduire le signe de f (x) selon les valeurs du réel strictement positif x.
Exercice 5433
Partie B - Une valeur approchée du réel ¸ définie
dans la partie A
On considère
(E) d’inconnue x réelle :
( l’équation
)
ex = 3 x2 + x3
Sur le graphique fourni ci-dessous, on a tracé une partie de
la courbe représentative de (C ) de la fonction g définie sur R
Partie A : conjecture graphique
1
par : g(x) = e− 4 x
2
( )
On a définie la suite un par :
u0 = 0;5 ; un+1 = g(un ) pour tout n ∈ N.
Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de
la fonction exponentielle
(
) et celle de la fonction f définie sur
R par f (x) = 3· x2 +x3 telles que les affiche une calculatrice
dans un même repère orthogonal.
1. Vérifier que ¸ est l’unique solution de l’équation :
g(x) = x.
4
2. Au moyen de la courbe (C ) et de la droite d’équation
( )
y = x, représenter les termes u1 , u2 et u3 de la suite un
sur l’axe des abscisses.
Quelle( conjecture
peut-on faire sur la convergence de la
)
suite un ?
3
2
J
3. On admet que pour tout entier naturel n :
u2n ⩽ a ⩽ u2n+1 .
En utilisant la calculatrice, déterminer le plus petit entier n pour lequel les trois premières décimale de un et
un+1 sont identiques.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
I
2
-1
En déduire que 0;838 est une valeur approchée de ¸ à
10−3 près.
-2
1.2
A l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) et leur encadrement par deux entiers
consécutifs.
J
0.8
Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
0.6
1.
a. Etudier selon les valeurs de x, le signe de x2 +x3 .
0.4
b. En déduire ]que l’équation
(E) n’a pas de solution sur
]
l’intervalle −∞ ; −1 .
0.2
c. Vérifier que 0 n’est pas solution de (E).
-0.4
-0.2 O
0.2
0.4
0.6
0.8
I
1.2
1.4
1.6
-0.2
Partie C - Un problème de distance
On appelle (Γ) la courbe représentative, dans un repère
or-[
]
thonormal, de la fonction ’ définie sur l’intervalle 0 ; +∞
par : ’(x) = 2 ln x
L’objectir de cette partie est de démontrer que parmi les
points de la courbe (Γ), il y en a un et un seul qui est plus
proche de l’origine O que tous les autres.
1. Soient M un point de la courbe (Γ) et x son abscisse.
Exprimer OM en fonction de x.
]
[
2. a. Soit h la fonction définie sur l’intervalle 0 ; +∞
(
)
2
par : h(x) = x2 +4· lnx
Etudier les variations de la fonction h. On pourra utiliser la partie A.
2. On]considère
h, définie pour tout nombre réel
[ ] la fonction
[
de −1 ; 0 ∪ 0 ; +∞ par :
( )
h(x) = ln 3 + ln x2 + ln(1 + x) − x
]
[ ]
[
Montrer que, sur −1 ; 0 ∪ 0 ; +∞ , l’équation (E) équivaut à h(x) = 0.
]
[ ]
[
3. a. Pour tout réel x appartenant à −1 ; 0 ∪ 0 ; +∞ ,
montrer qu’on a :
−x2 + 2x + 2
h′ (x) =
x(x + 1)
b. Déterminer les variations de la fonction h.
c. Déterminer le nombre de solutions de l’équation :
h(x) = 0
et donner une valeur arrondie au centième de chaque
solution.
d. Conclure quant à la conjecture de la partie A.
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5. Fonctions logarithme et suites :
4. Déterminer la limite de la suite (¸n ).
Exercice 3255
La page annexe sera à compléter et à remettre avec la copie
à la fin de l’épreuve.
Partie A
]
[
On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; +∞
par :
f (x) = x + ln x
On nomme Γ sa courbe représentative dans un repère ortho( −
→ −
→)
gonal O ; i ; j du plan.
1.
Partie B
On ]considère
[ une fonction g continue, strictement croissante
sur 0 ; +∞ et telle que :
lim g(x) = −∞ et
lim g(x) = +∞.
On admet que l’on peut, comme on l’a fait dans la partie A,
définir sur N une suite (˛n ) de réels tels que g(˛n ) = n, et que
cette suite est strictement croissante.
1. Démonstration de cours :
Prérequis : définition d’une suite tendant vers +∞.
a. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes
de son intervalle de définition.
“Une suite tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les
termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A”
b. Montrer que la] fonction
[ f est strictement croissante
sur l’intervalle 0 ; +∞ .
a. Montrer que, pour tout entier naturel n,] l’équation
[
f (x) = n admet une unique solution dans 0 ; +∞ .
On note ¸n cette solution. On a donc :
pour tout entier naturel n, ¸n +ln ¸n = n
Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non
majorée tend vers +∞
2. Montrer que la suite (˛n ) tend vers +∞.
7
2.
x7→+∞
x7→0
5
6
b. Sur la page annexe, on a tracé Γ dans le repère
( −
→ −
→)
O ; i ; j . Placer les nombres ¸0 , ¸1 , ¸2 , ¸3 , ¸4 et ¸5
sur l’axe des abscisses en laissant apparents les traits
de construction.
α5 4
a. Déterminer une équation de la tangente ∆ à la
courbe Γ au point d’abscisse 1.
α34
-2
J
2
3
4
5
6
c. Tracer ∆ sur le graphique de la page annexe. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul :
n+1
⩽ ¸n .
2
α0 α1 α2 2α3
I
b. Etudier
]
[ les variations de la fonction h définie sur
0 ; +∞ par
h(x) = ln x − x + 1
En déduire la position de la courbe Γ par rapport à ∆.
-1
3.
O
d. Démontrer que la suite (¸n ) est strictement croissante.
Γ
c. Préciser la valeur de ¸1 .
6. Fonctions logarithme et suites : passage à la limite :
( )
On considère la sutie un ( définie
par :
)
u0 = 5 ; un+1 = f un
pour tout n ∈ N
Exercice 5142
Partie A : étude d’une fonction
]
[
On considère la fonction f définie sur 1 ; +∞ par :
x
f (x) =
ln x
Sur l’annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la
coube C représentative de la fonction f ainsi que la droite D
d’équation y = x.
1. Calculer les limites de la fonction f en +∞ et en 1.
2. Etudier
]
[ les variations de la fonction f sur l’intervalle
1 ; +∞ .
3. En déduire que si
x ⩾ e alors f (x) ⩾ e.
Partie B : étude d’une suite récurrente
1. Sur l’annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la
courbe C et la droite D, placer les points A0 , A1 et A2
d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u0 , u1 et u2 .
On laissera appartens les traits de construction.
Quelles conjectures peut-on
( ) faire sur les variations et la
convergence de la suite un ?
2.
a. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
un ⩾ e.
( )
b. Déterminer les variations de la suite un .
( )
c. En déduire que la suite un est convergente.
d. Déterminer sa limite ‘.
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]
[
On considère la fonction g définie sur 0 ; +∞ par :
4·x − ln x
g(x) =
5
3. On donne l’algorithme suivant :
X est une variable réelle
Y est une variable entière
Affecter 5 à X et 0 à Y .
Tant que X > 2;72
Faire
Affecter (X= ln X) à X
Affecter Y +1 à Y
Fin de Tant que
Afficher Y
1. Etude de quelques propriétés de la fonction g.
a. Etudier ]le sens [de variation de la fonction g sur l’intervalle 0 ; +∞ .
b. En déduire que pour tout nombre réel x appartenant
[1 ]
à l’intervalle
; 1 , g(x) appartient à cet intervalle.
2
A l’aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l’algorithme :
n
un
0
5
1
3;106 674 672 8
2
2;740 652 532 3
3
2;718 372 634 6
4
2;718 281 830 01
5
2;718 281 828
c. Démontrer
] qu’un
[ nombre réel x appartenant à l’intervalle 0 ; +∞ est solution de l’équation (E) si, et
seulement si, g(x) = x.
( )
1
2. On considère la suite un définie par u0 = et pour tout
2
entier naturel n, par :
un+1 = g(un )
a. En utilisant le sens de variation de la fonction g, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
n:
1
⩽ un ⩽ un+1 ⩽ 1
2
( )
b. En déduire que la suite un converge vers ¸.
8
3. Recherche d’une valeur approchée de ¸ :
7
a. A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u10 , arrondie à la sixième décimale.
6
D
b. On admet que u10 est une valeur approchée par défaut
à 5×10−4 près de ¸.
En déduire un encadrement de ¸ sous la forme :
u⩽¸⩽v
où u et v sont deux décimaux écrits avec trois décimales.
5
4
C
3
Exercice 5152
2
Partie A
J
On
la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle
[ considère
[
0 ; +∞ par : f (x) = 5· ln(x+3) − x
1.
O
I
2
3
4
5
6
7
8
Exercice 3964
On considère l’équation notée :
b. Donner, [dans un
[ tableau, les variations de f sur l’intervalle 0 ; +∞ .
(E) : ln x = −x
c. Montrer que, pour tout x strictement positif, on a :
( ln x
)
( 3)
f (x) = x· 5·
− 1 + 5· ln 1+
x
x
Le but de l’exercice est de prouver que l’équation (E), admet
une[ solution unique notée ¸ appartenant à l’intervalle
]
0 ; +∞ et d’utiliser une suite convergente pour obtenir un
encadrement.
Partie A : existence et unicité de la solution
]
[
On considère la fonction f définie sur 0 ; +∞ par :
f (x) = x + ln x.
1. Déterminer
] le sens
[ de variation de la fonction f sur l’intervalle 0 ; +∞ .
2. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet]une unique
so[
lution notée ¸ appartenant à l’intervalle 0 ; +∞ .
1
⩽¸⩽1
2
Partie B : encadrement de la solution ¸
3. Vérifier que :
′
a. On
dérivée de la fonction f
[ appelle
[ f la fonction
′
sur
0
;
+∞
.
Calculer
f
(x)
et étudier son signe sur
[
[
0 ; +∞ .
d. En déduire la limite de f en +∞.
e. Compléter
[
[ le tableau de variation de f sur l’intervalle
0 ; +∞ .
2.
a. Montrer que l’équation[ f (x) =[0 admet une unique
solution dans l’intervalle 0 ; +∞ . On notera ¸ cette
solution.
b. Après
[
]avoir vérifié que ¸ appartient à l’intervalle
14 ; 15 , donner une valeur approchée de ¸ à 10−2
près.
[
[
c. En déduire le signe de f sur l’intervalle 0 ; +∞ .
Partie B
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( )
Soit un la suite définie par
( :
)
u0 = 4 ; un+1 = 5·ln un +3
Justifier que cet algorithme se termine.
pour tout n ∈ N∗
[
[
On considère la fonction g définie sur l’intervalle 0 ; +∞
par :
g(x) = 5 ln(x+3)
Ci-dessous, on a tracé dans un repère orthonormé la droite D
d’équation y = x et la courbe C , courbe représentative de la
fonction g.
16
C
14
b. Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à 5 décimales).
Exercice 3200
Partie A
]
[
Soit f la fonction définie sur l’intervalle 1 ; +∞ par :
x
f (x) =
ln x
1.
12
b. Etudier les variations de la fonction f .
10
2. Soit (un ) la suite définie par :
u0 = 5 ; un+1 = f (un ) pour tout n ∈ N.
D
8
a. On a tracé la courbe représentative C de la fonction
f sur la figure donnée en annexe qui sera rendue avec
la copie. Construire la droite d’équation y = x et les
points M1 et M2 de la courbe C d’abscisses respectives
u1 et u2 . Proposer une conjecture sur le comportement
de la suite (un ).
6
4
2
0
1.
2.
a. Déterminer les limites de la fonction f en 1 et en
+∞.
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
b. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a un ⩾ e
(on pourra utiliser la question 1. b. )
( )
c. Démontrer [que la suite
un converge vers un réel ‘ de
[
l’intervalle e ; +∞ .
22
a. Construire sur
des abscisses les termes u0 , u1 ,
( l’axe
)
u2 de la suite un en utilisant la droite et la courbe
données et en laissant apparents les traits de construction.
Partie B
b. Formuler
( )une conjecture sur le sens de variations de la
suite un .
que la fonction f est continue sur l’intervalle
]On rappelle
[
1 ; +∞ :
a. Etudier le
[ sens [de variations de la fonction g sur
l’intervalle 0 ; +∞ .
1. En
de deux manières la limite de la suite
( étudiant
)
f (un ) , démontrer que : f (‘) = ‘.
b. Vérifier que g(¸) = ¸ où ¸ est défini dans la partie A
question 2. a. .
2. En déduire la valeur de ‘.
5
C
c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :
0 ⩽ un ⩽ a
d. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b.
de la partie B.
e. En utilisant la question 2. a. de la partie A, justifier
que :
lim un = ¸
4
3
n7→+∞
3. On considère l’algorithme suivant
2
u prend la valeur 4.
Répéter Tant que (u−14;2 < 0)
u prend la valeur de 5· ln(u+3)
Fin du Tant que
Afficher u
J
a. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d’initiative, même infructueuse, sera prise
en compte dans l’évaluation.
O
I
2
3
4
8. Exponentielles, logarithmes et intégrations :
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5
b. Préciser les limites de la fonction f0 en −∞ et +∞.
Interpréter graphiquement ces limites.
Exercice 3838
Soit n un entier naturel. On nobte fn , la fonction définie sur
l’ensemble R des nombres réels par :
e−n·x
fn (x) =
1 + e−x
On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère
( →
− →
−)
orthogonal O ; i ; j . Les courbes C0 , C1 , C2 et C3 sont
représentées ci-dessous :
c. Dresser le tableau de variation de la fonction f0 sur R.
3. Etude de la fonction f1 .
a. Démontrer que f0 (x) = f1 (−x) pour tout nombre réel
x.
b. En déduire les limites de la fonction f1 en −∞ et +∞,
ainsi que son sens de variation.
1
c. Donner une interprétation géométrique de la question
3. a. pour les courbes C0 et C1 .
C3
C0
C2
4. Etude de la fonction fn pour n ⩾ 2.
a. Vérifier que pour tout entier naturel n ⩾ 2 et pour tout
nombre réel x, on a :
1
fn (x) = nx
e + e(n−1)x
b. Etudier les limites de la fonction fn en −∞ et en +∞.
~j
c. Calculer la dérivée fn′ (x) et dresser le tableau de variations de la fonction fn sur R.
C1
~i
0
Partie A :
courbes Cn .
Partie B : Etude d’une suite liée aux fonctions fn
∫ 1
On pose, pour tout entier naturel n : un =
fn dx
0
1
Quelques propriétés des fonctions fn et des
1. Démontrer que pour tout entier naturel n les courbes Cn
ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées.
1. Calculer u1 puis montrer que u0 +u1 = 1. En déduire u0 .
2. Démontrer que, pour tout entier n :
∫ 1
0 ⩽ un ⩽
e−nx dx
0
1
e−nx dx.
)
En déduire que la suite un est convergente et préciser
sa limite.
3. Calculer l’intégrale :
2. Etude de la fonction f0 .
∫
a. Etudier le sens de variation de f0 .
0(
9. Intégrations :
h′ (x) suivant les valeurs de x.
Exercice 6257
d. Dresser le tableau de variation de la fonction h sur R.
Soient f et g les fonctions définies sur R par :
x
f (x) = ex ; g(x) = 2·e 2 − 1
x
e. En déduire que, pour tout réel x :
f. Que peut-on en déduire quant à la position relative de
la courbe Cg et de la droite ∆.
On note Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f
et g dans un repère orthogonal.
1. Démontrer que les courbes Cf et Cg ont un point commun d’abscisse 0 et qu’en ce point, elles ont la même
tangente ∆ dont on déterminera une équation.
2. Etude de la position relative de la courbe Cg et de la
droite ∆.
x
Soit h la fonction définie sur R par : h(x) = 2·e 2 −x−2
a. Déterminer la limite de la fonction h en −∞.
b. Justifier que,
tout réel
Ñpour
éx :
x
e2
2
h(x) = x· x − 1 −
.
x
2
En déduire la limite de la fonction h en +∞.
c. On note h′ la fonction dérivée de la fonction h sur R.
Pour tout réel x, calculer h′ (x) et étudier le signe de
2·e 2 −1 ⩾ x−1
3. Etude de la position relative des courbes Cf et Cg .
( x )2
a. Pour tout réel x, développer l’expression e 2 −1 .
b. Déterminer la position relative des courbes Cf et Cg .
4. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine compris entre
les courbes Cf et Cg et les droites d’équations respectives
x = 0 et x = 1.
Exercice 3268
Partie A : étude d’une fonction auxiliaire
Soit ’ la fonction définie sur R par :
(
)
’(x) = x2 + x + 1 ·e−x − 1
1.
a. Déterminer les limites de ’ en −∞ et en +∞.
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sur R.
b. Etudier le sens de variations de ’ puis dresser son tableau de variations sur R.
2. Démontrer que l’équation ’(x) = 0 admet
[ deux
[ solutions
dans R, dont l’une dans l’intervalle 1 ; +∞ , qui sera
notée ¸.
d. En déduire la position relative des courbes Cf et Cg .
a. Montrer que la fonction h définie sur R par :
(
)
h(x) = (−2x − 3)·e−x − ln x2 + x + 1
est une primitive sur R de la fonction x 7→ f (x) − g(x).
2.
Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de ¸.
b. En déduire l’aire A, exprimée en unités d’aire, de la
partie du plan délimitée par les deux courbes Cf et Cg
1
et les droites d’équations x = − et x = 0.
2
Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10−4
de cette aire.
3. En déduire le signe de ’(x) sur R et le présenter dans un
tableau.
Partie B : étude de la position relative de deux
courbes et calcul d’aire
Sur la feuille annexe sont tracées les courbes représentatives
de deux fonctions f et g. Les fonctions f et g sont définies
sur R par :
2x + 1
f (x) = (2x + 1)·e−x ; g(x) = 2
x +x+1
Leurs
courbes
représentatives dans un repère orthogonal
( −
→ →
−)
O ; i ; j sont notées Cf et Cg .
1.
a. Démontrer que les deux courbes passent par le point
A de coordonnées (0 ; 1) et admettent en ce point la
même tangente.
1.5
J
0.5
-1
b. Démontrer que, pour tout nombre réel x :
(2x + 1)·’(x)
f (x) − g(x) =
x2 + x + 1
où ’ est la fonction étudiée dans la partie A.
2
I
O
3
4
5
6
-0.5
-1
c. A l’aide d’un tableau, étudier le signe de f (x)−g(x)
255. Exercices non-classés :
5
Exercice 6934
Le directeur d’un zoo souhaite faire construire un toboggan
pour les pandas. Il réalise le schéma suivant de ce toboggan
en perspective cavalière.
Voici le schéma :
4
3
2
J
O
I
2
3
4
5
6
7
8
1. On souhaite que la tangente à la courbe C en son point
d’abscisse 1 soit horizontale.
Déterminer la valeur de l’entier b.
Partie A : Modélisation
Le profil de ce toboggan est modélisé par la[courbe
] C représentant la fonction
f
définie
sur
l’intervalle
1
;
8
par :
(
)
f (x) = a·x + b ·e−x
où a et b sont deux entiers naturles.
La courbe C est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé
dont l’unité est le mètre.
2. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre 3;5
et 4 mètres de haut.
Déterminer la valeur de l’entier a.
Partie B : Un aménagement pour les visiteurs
On admet dans la suite que la fonction
[ f ]introduite dans la
partie A est définie pour tout réel x ∈ 1 ; 8 par :
f (x) = 10·x·e−x
Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste
sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d’exercice. Sur le devis qu’il propose, celui-ci demande un forfait de
300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.
[
]
1. Soit g la fonction
définie
(
) −xsur 1 ; 8 par :
g(x) = 10· −x − 1 ·e
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Déterminer la fonction dérivée de la fonction g.
2. Quel est le montant du devis de l’artiste ?
Partie C : une contrainte à vérifier
Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale
du toboggan.
On considère un point M de la courbe C , d’abscisse différent
de 1. On appelle ¸ l’angle aigu formé par la tangente en M
à C à l’axe des abscisses.
La figure suivante illustre la situation.
[
]
d’une photo par la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 20
par :
(
)
f (x) = (x + 1)· ln x + 1 − 3x + 7
On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f (et C la courbe
)
représentative de la fonction f dans le repère O ; I ; J .
C
Cf
B
M
J
O
D
Partie 1
¸
P
I
L
Les contraintes imposent que l’angle ¸ soit inférieur à 55 degrés.
1. On note[ f ′ la] fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle
[
] 1 ; 8 . On admet
(
)que, pour tout x de l’intervalle
1 ; 8 : f ′ (x) = 10· 1−x ·e−x
′
[Etudier
] les variations de la fonction f sur l’intervalle
1; 8 .
]
]
2. Soit x un réel de l’intervalle 1 ; 8 et soit M le point
d’abscisse x
de la courbe C . Justifier que :
tan ¸ = f ′ (x)
3. Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?
Exercice 6935
Une municipalité a décidé d’installer un module de skateboard
dans un parc de la commune.
Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les
quadrilatères OAD′ D, DD′ C ′ C et OAB ′ B sont des rectangles.
Le
( plan )de face (OBD) est muni d’un repère orthonormé
O;I ;J .
L’unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres,
autrement dit, DD′ = 10, sa longueur OD est de 20 mètres.
C′
1. Montrer
[
] que pour tout réel x appartenant à l’intervalle
0 ; 20 , on a (:
)
f ′ (x) = ln x+1 − 2
[
]
2. En déduire les variations de f sur l’intervalle 0 ; 20 et
dresser son tableau de variation.
3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe
C au point d’abscisse 0.
La valeur absolue de ce coefficient est appelée inclinaison du
module de skateboard au point B.
[
]
4. On admet que la fonction g définie sur l’intervalle 0 ; 20
par :
)2 (
) 1
1(
1
g(x) = · x + 1 · ln x + 1 − ·x2 − ·x
2
4
2
′
a[ pour
sur l’intervalle
] dérivée ′ la fonction g( d éfinie
)
0 ; 20 par : g (x) = (x+1)·ln x+1 .
Déterminer
une primitive de la fonction f sur l’intervalle
[
]
0 ; 20 .
Partie 2
Les trois questions de cette partie sont indépendantes
1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier
les réponses.
P1 : la différence de hauteur entre le point le plus haut
et le point le plus bas de la piste est au moins égale à
8 mètres.
P2 : L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus
grande en B qu’en C.
B′
C
B
D′
A
J
O I
D
Le but du problème est de déterminer l’aire des différentes surfaces à peindre.
2. On souhaite recouvrir les quatres faces latérales de ce
module d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m2 par litre.
Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres
de peinture nécessaires.
3. On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement
dit la surface supérieure du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de l’aire
( de la)
partie à peindre, on considère dans le repère O ; I ; J
du plan de face, les points Bk (k ; f (k)) pour k variant de
0 à 20. Ainsi : B0 = B.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir
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J
C′
B′
0,8
B1′
B2′
C
′
Bk′ Bk+1
0,6
B
Cg
D′
B1 A
B2
0,4
Cf
Bk Bk+1
0,2
J
O I
On décide d’approcher [l’arc de la] courbe C allant de Bk
à Bk+1 par le segment Bk Bk+1 .
Ainsi, l’aire de la surface à peindre sera approchée par la
′
somme des aires des rectangles du type Bk Bk+1 Bk+1
Bk′
(voir figure)
O
b. Compléter l’algorithme suivant pour qu’il affiche une
estimation de l’aire de la partie roulante.
S : réel
K : entier
(
)
f :définie par f (x) = (x+1)ln x+1 −3x+7
Pour K variant de . . . à . . .
S prend pour valeur . . .
Fin Pour
Sortie
Afficher . . .
Exercice 6936
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante
2
3
4
5
6
7
a. les limites des fonctions f et g en +∞.
b. la position relative de Cf par rapport à Cg ;
c. la valeur de l’abscisse x pour laquelle l’écart entre les
deux courbes Cf et Cg est maximal.
2. Justifier
[
[ que Cg est située au-dessus de Cf sur l’intervalle
0 ; +∞
3. Démontrer que la droite d’équation y = 0 est asymptote
horizontale aux courbes Cf et Cg .
4.
Traitement S prend pour valeur 0
I
1. Conjecturer :
a. Montrer que pour
entier k variant de 0 à 19 :
» tout
[
]2
Bk Bk+1 = 1 + f (k+1) − f (k)
Variables
Ch
D
a. On note [h′ la fonction
dérivée de la fonction h sur
[
l’intervalle 0 ; +∞ .
[
[
Démontrer que,[ pour tout
x
de
l’intervalle
0
;
+∞
:
( ı)
]
√
h′ (x) = e−x · 2· cos x−
−1
4
[ ı]
b. Justifier que, sur l’intervalle 0 ;
:
2
(
)
√
ı
2· cos x −
−1⩾0
4
[ı
]
et que, sur l’intervalle
; 2ı :
2
( ı)
√
2· cos x−
⩽0
4
1. Déterminer l’écriture exponentielle du nombre complexe :
u = 1−i.
c. En déduire [le tableau
de variation de la fonction h sur
]
l’intervalle 0 ; 2ı .
[
[
5. On admet que, sur l’intervalle 0 ; +∞ , la fonction H
définie par :
[
]
1
H(x) = ·e−x · −2 + cos(x) − sin(x)
2
est une primitive de la fonction h.
2. Déterminer, pour tout réel „, la forme algébrique
et
(
) l’écriture exponentielle du nombre complexe eiθ · 1−i .
On note D le domaine du plan délimit{e par les courbes
Cf et Cg et les droites d’équations x = 0 et x = 2ı.
Partie A
On rappelle que la partie réelle d’un nombre complexe z est
noté Re(z).
3. Déduire des questions précédentes
( ıque,
) pour tout réel „ :
( )
( ) √
cos „ + sin „ = 2· cos „−
4
Partie B
Dans cette partie, on admet que,
tout réel „ :
( pour
√
ı)
cos(„) + sin(„) = 2· cos „−
4
On
considère
les
fonctions
f
et
g définies sur l’intervalle
[
[
0 ; +∞ par :
( )
f (x) = e−x ·cos x et g(x) = e−x
[
[
On définit la fonction h sur 0 ; +∞ par : h(x) = g(x)−f (x)
Les représentations graphiques de Cf , Cg et Ch des fonctions
f , g et h sont données, ci-dessous, dans un repère orthogonal.
Calculer l’aire A du domaine D, exprimée en unités
d’aire.
Exercice 6939
Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d’eau.
Ce récupérateur d’eau est une cuve qui doit respecter le cahier
des charges suivant :
elle doit être située à deux mètres de sa maison ;
la profondeur maximale doit être de deux mètres ;
elle doit mesurer cinq mètres de long ;
elle doit épouser la pente naturelle du terrain.
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(x)
g(x) = x·ln
2
5c
m
b. En déduire
[ une
] primitive F de la fonction f sur l’intervalle 2 ; 2e .
c. Déterminer la valeur exacte de l’aire S et en déduire
une valeur approchée du volume V de la cuve au m3
près.
Partie B
2 cm
Pour tout réel x compris entre 2 et 2e, on note v(x) le volume d’eau, exprimé en m3 , se trouvant dans la cuve lorsque
la hauteur d’eau dans la cuve est égale à f (x).
Cette cuve est schématisée ci-contre.
La partie incurvée est [modélisée
par la courbe Cf de la fonc]
tion f sur l’intervalle
2
;
2e
définie
par :
(x)
f (x) = x· ln
−x+2
2
La courbe Cf est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d’unité 1 m et constitue une vue de profil de la cuve.
On considère les points A(2 ; 2), (2 ; 0) et B(2e ; 2).
T
A
2
B
4
3
2
f (x)
1
Cuve
1
Terrain
Terrain
0
Cf
0
1
2
3
D
4
5
6
Partie A
L’objectif de cette partie est d’évaluer le volume de la cuve.
1. Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe
Cf et que l’axe des abscisses est tangent à la courbe Cf
au point I.
2. On note T la tangente à la courbe Cf au point B, et
D le point d’intersection de la droite T avec l’axe des
abscisses.
a. Déterminer une équation de la droite T et en déduire
les coordonnées de D.
b. On appelle S l’aire du domaine délimité par la courbe
Cf , les droites d’équations y = 2, x = 2 et x = 2e.
S peut être encadrée par l’aire du triangle ABI et celle
du trapèze AIDB. Quel encadrement du volume de la
cuve peut-on en déduire ?
[
]
3. a. Montrer que, sur l’intervalle 2 ; 2e , la fonction G
définie par :
( x ) x2
x2
· ln
−
G(x) =
2
2
4
est une primitive de la fonction g définie par :
1
2
3
4
x 5
6
[
]
On admet que, pour tout réel x de l’intervalle 2 ; 2e .
[ x2
(x)
( x ) x2
]
v(x) = 5·
· ln
− 2x· ln
−
+ 2x − 3
2
2
2
4
1. Quel volume d’eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve
lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de un mètre ?
2. On rappelle que V est le volume total de la cuve, f est
la fonction définie en début d’exercice et v la fonction
définie dans la partie B.
On considère l’algorithme ci-contre. Interpréter le résultat que cet algorithme permet d’afficher.
Variables : a est un réel
b est un réel
Traitement : a prend la valeur 2
b prend la valeur 2e
Tant que v(b)−v(a) > A0−3
faire :
c prend la valeur (a+b)=2
Si v(c) < V=2 alors :
a prend la valeur c
Sinon
b prend la valeur c
Fin Si
Fin tant que
Sortie : Afficher f (c)
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