chap4

44
Fonction inverse.
Fonctions
homographiques
4
CHAPITRE
Activité 1
1 On utilise la formule d = v × T, où d est la distance
parcourue (en km), v la vitesse (en km · h–1) et T le temps
mis (en h).
Puisque d = 240 km, on obtient 240 = v × T, soit T = 240
v .
2 On écrit f(x) = 240
x dans la fenêtre saisie puis on règle
les paramétres d’affi chage de la fenêtre graphique
À l’aide d’un clic-droit, on sélctionne l’outils graphique
puis on écrit pour l’axe X : – 2 pour min et 130 pour max ;
pour l’axe Y : – 2 pour min et 25 pour max.
On place A et B en écrivant A = (80, f (80)) et
B =(100, f (100)) dans la fenêtre saisie .
Les ordonnées de A et B sont affi chés dans la colonne de
gauche : f (80) = 3, c’est l’ordonnée de A ;
f (100) = 2,4, c’est l’ordonnée de B.
3 Le gain sur le temps de parcours, en heure, est
yA – yB = 0,6 heure.
Or 0,6 heure = 36 minutes, donc l’affi rmation est vraie.
4 Cette fois, le point A est de coordonnées (110 ; 2,18) et
B (130 ; 1,85).
Le gain de temps est donc 2,18 – 1,85 = 0,33 heure, soit
19,8 minutes.
L’affi rmation est donc fausse et le gain de temps est de
moins de 36 minutes.
Activité 2
1 D’après le théorème de Thalès, puisque (EF) // (BC) :
AE
AB = AF AC donc x
x + 2 = 2,88
2,88 + x .
2 On obtient l’écran suivant :
3 On peut utiliser l’outil « intersection » de la calculatrice
et on obtient un point d’intersection dont l’abscisse est 2,4.
Cette abscisse est la solution de l’équation du 1.
On peut également résoudre algébriquement l’équation
« par produit en croix » sachant que x > 0.
Ainsi x
x + 2 = 2,88
2,88 + x équivaut à x(2,88 + x) = 2,88 × (x + 2)
équivaut à 2,88x + x2 = 2,88x + 5,76.
équivaut à x2 = 5,76
équivaut à x = 65,76 = 2,4 car x > 0.
L’aire de ABCD est égale à xy et
elle vaut 1 m2. On a donc xy = 1,
c’est-à-dire y = 1
x .
Le périmètre vaut 2(x + y) = 2 x + 1
x
.
Ce périmètre sera minimal lorsque x + 1
x
sera minimal.
En traçant la courbe d’équation y = x + 1
x pour x > 0 à la cal-
culatrice, on conjecture un minimum de 3 atteint pour x = 1.
On étudie alors le signe de x + 1
x – 2 .
Or, x + 1
x – 2 = x2 – 2x +1
x = (x –1)2
x et ceci est positif, ou
nul pour x = 1.
Donc, pour tout x > 0, x + 1
x ⭓ 2 et x + 1 x = 2 pour x = 1.
Ainsi x + 1
x est minimal pour x = 1 et donc le périmètre
aussi. Dans ce cas, y est égal à 1
x = 1 1 = 1. Donc le rectangle
ABCD est un carré.
AB
DC
y
ACTIVITÉS
(page 91)
PROBLÈME OUVERT

45
Chapitre 4 ● Fonction inverse. Fonctions homographiques
0,1 < 1
2π < 0,2.
2. 0 < 1 < 12 < 2 donc 1
1 > 1 12 > 1 2
0,5 < 1
12 < 1.
8 1. Vrai, x < – 5
4 < 0, donc 1 x > – 4 5 .
2. Faux, si x = – 2, alors x ∈ ]– ∞ ; 1[ mais 1
x = – 1 2 < 1.
3. Vrai, x ⭓ 1
2 > 0, donc 1
x ⭐ 2.
4. Faux, si x = 1, alors x ⭓ – 1
12 mais 1
x = 1 > – 12.
9 On utilise ici le tableau de variation de la fonction
inverse (on pourrait utiliser le théorème 2 du cours).
a)
b)
c)
d)
10 On procède comme dans l’exercice 9.
a)
– ∞x0+ ∞⭐⭐
1
x
x
Ainsi
1
2
10
9
1
x
⭐
9
10 ⭐
22
⭓
⭓
1
x9
10
– ∞x02 3+ ∞⭐⬍
1
x
x
Ainsi
1
x
⭐
1
3
1
2
1
2⬍
⬎
⭓
1
x1
3
– ∞x–2 0 + ∞⭐⭐
1
x
x
Ainsi
1
10
1
x
⬍1
2
⭐–– 10
⭓
⬎
1
x– 10
1
2
–
–
– ∞x– 0,5– 1 0 + ∞⭐⭐
1
x
x
Ainsi
1
x
⭐艋
– 2 – 1
⭓
⭓
1
x– 2
–1
– ∞x0+ ∞⭐⭐
1
x
x
Ainsi
1
5
7
4
1
x
⭐
4
7⭐
55
⭓
⭓
1
x4
7
1 a) f (x) = 5 + 3 × (2 + x)
8 + 3x = 5 + 6 + 3x 8 + 3x = 11 + 3x 8 + 3x.
b) f(x) = 4x – 3 – (– 9x + 10)
x + 5 = 4x – 3 + 9x – 10 x + 5
=
13x – 13
x + 5 .
2 • 7 + 5
2x + 1 = 7(2x + 1) + 5
2x + 1 = 14x + 12 2x + 1 .
• – 2 + 7
5x = – 2 × 5x + 7
5x = – 10x + 7 5x.
• 1 – 2x + 4
x = 1 × x – (2x + 4) x = x – 2x – 4 x = – x – 4 x.
• 2x – 1
x + 3 – 3 = 2x – 1 – 3(x + 3) x + 3 = 2x – 1 – 3x – 9 x + 3
=
– x – 10
x + 3 .
3 • 3x + 2
x = 3x2 + 2
x.
• x + 2
3x – 7 + 3x x = x + 2 3x – 3(7 + 3x) 3x
=
x + 2 – 3 (7 + 3x)
3x = –8x – 19 3x.
• 1
4 – 3 4(x – 2) = x – 2
4(x – 2) – 3
4(x – 2)
=
x – 2 – 3
4(x – 2) = x – 5 4(x – 2).
• 1 – x + x + 2
5 + x = (1 – x)(5 + x) + x + 2 5 + x = –x2 – 3x + 7 5 + x.
4 1. A = 5(2x + 1)
2x + 1 + 3
2x + 1 = 10x + 5 + 3
2x + 1 = 10x + 8 2x + 1 = B.
2. B = x + 3
– x + 4 – 2(– x + 4) – x + 4 = x + 3 – 2(– x + 4) – x + 4
= x + 3 + 2x – 8
– x + 4 = 3x – 5 – x + 4 = A.
5 1. L’inverse de A est 1
A = 31 10 = 3,1 : positif.
L’inverse de B est 1
B = π : positif.
π > 3,1, donc A > B.
2. L’inverse de A est 2 – 12 : positif.
L’inverse de B est 2 : positif .
2 – 12 < 2, donc A > B.
3. L’inverse de A est – 1 + 0,005 : négatif.
L’inverse de B est – 1 : négatif.
– 1 < – 1 + 0,005, donc B > A.
6 1. – 1
3 < x < 0, donc – 3 > 1 x .
2. x > 8
5 > 0, donc 1 x < 5 8.
3. x ⭐ – 7 < 0 donc 1
x ⭓ – 1 7 .
4. 0 < x ⭐ 1
8 donc 1 x ⭓ 8.
7 1. 0 < 5 < 2π < 10 donc 1
5 > 1 2π > 1 10
EXERCICES
Application (page 94)

46
b)
c)
d)
11 1. x > 3
8 implique 0 < 1 x < 8 3 .
2. x < – 7 implique 1
– 7 < 1 x < 0.
3. – 1 ⭐ x < 0 implique 1
x ⭐ – 1.
4. 0 < x < 1
6 implique 1 x > 6.
12
– 2 ⭐ x ⭐ – 1 < 0, donc 1
– 2 ⭓ 1 x ⭓ 1 – 1 .
Ainsi 1
x appartient à [– 1 ; – 0,5].
13
1. Dans chacun des quatre cas, 0 n’est pas solution.
Pour tout x ≠ 0 :
a) 1
x = – 1 4 équivaut à 4 = – x, donc à x = – 4.
L’équation a une seule solution – 4.
b) 1
x = 12 équivaut à 1 = x12, donc à x = 1 12.
L’équation a une seule solution 1
12.
c) – 1
x = 3 équivaut à – 1 = 3x, donc à x = – 1
3.
L’équation a une seule solution – 1
3.
d) 1
x = 0,6 équivaut à 1 = 0,6x, donc à x = 1
0,6 .
L’équation a une seule solution 1
0,6 .
14
a) On résout 1
x = 3, ce qui équivaut à 1 = 3x, donc à
x = 1
3. Donc 3 a un seul antécédent : 1 3.
b) On résout 1
x = – 5
6, ce qui équivaut à 6 = – 5x donc à
x = – 6
5 . Donc – 5 6 a un seul antécédent : – 6 5 .
– ∞x04 9+ ∞⭐⬍
1
x
x
Ainsi
1
x
⭐
1
9
1
4
1
4⬍
⬎
⭓
1
x1
9
– ∞x–3 0 + ∞<⭐
1
x
x
Ainsi
1
5
1
x
⬍1
3
⭐–– 5
⭓
⬎
1
x– 5
1
3
–
–
– ∞x
–3 – 2,5 0 + ∞⭐⭐
1
x
x
Ainsi
1
x
⭐艋
⭓
⭓
1
x
1
3
–
2
5
–
2
5
–1
3
–
c) On résout 1
x = 19
4, ce qui équivaut à 4 = 19x, donc à
x = 4
19 .
19
4 a un seul antécédent : 4 19 .
d) On résout 1
x = 1
7, ce qui équivaut à 7 = x.
1
7 a donc un seul antécédent 7.
15
a) Sur l’hyperbole d’équation y = 1
x , on lit les abscisses
des points dont l’ordonnée est supérieure ou égale à 7.
᏿ =
0 ; 1
7
.
1
1
—
7
1
7
y
O x
b) Sur l’hyperbole d’équation y = 1
x, on lit les abscisses
des points dont l’ordonnée est strictement inférieure à – 2
3.
᏿ =
– 3
2 ; 0
.
1
1
2
– —
3
3
– —
2
O x
y
c) Sur l’hyperbole d’équation y = 1
x, on lit les abscisses des
points dont l’ordonnée est strictement supérieure à 2
5.
᏿ = 0 ; 5
2
.
1
1
5
—
2
2
—
5
O x
y

47
Chapitre 4 ● Fonction inverse. Fonctions homographiques
c) Sur l’hyperbole d’équation y = 1
x, on lit les abscisses des
points dont l’ordonnée est inférieure ou égale à 1.
᏿ = ]– ∞ ; 0[ ∪ [1 ; + ∞[.
1
1
Ox
y
17
a) Sur l’hyperbole d’équation y = 1
x, on lit les
abscisses des points dont l’ordonnée est supérieure ou égale
à 11
3 et strictement inférieure à 4.
᏿ = 1
4 ; 3 11
.
x
y
1
1
4
O
11
—
3
1
—
4
3
—
11
b) Sur l’hyperbole d’équation y = 1
x, on lit les abscisses des
points dont l’ordonnée est strictement supérieure à – 200 et
strictement inférieure à – 100.
᏿ =
– 1
200 ; – 1 100
.
100
100
– 100
– 200
Ox
y
1
– ——
100
1
– ——
200
d) Pour tout x ≠ 0, 1
x + 3 ⭐ 0 équivaut à 1 x ⭐ – 3.
Sur l’hyperbole d’équation y = 1
x, on lit donc les abscisses
des points dont l’ordonnée est inférieure ou égale à – 3.
᏿ =
– 1
3 ; 0
.
1
– —
3
1
–3
1
Ox
y
16
a) Sur l’hyperbole d’équation y = 1
x, on lit les
abscisses des points dont l’ordonnée est supérieure ou
égale à – 1
6. ᏿ = ]– ∞ ; – 6] ∪ ]0 ; + ∞[.
1
– —
6
1
1
O
x
y
–6
b) Sur l’hyperbole d’équation y = 1
x, on lit les abscisses
des points dont l’ordonnée est strictement inférieure à 7
2.
᏿ = ]– ∞ ; 0[ ∪
2
7 ; + ∞
.
x
y
1
1
O
7
—
2
2
—
7

48
2. La droite coupe la courbe en un point d’abscisse 2,75 ;
c’est l’antécédent de 8 par f.
3. On résout f (x) = 8 et l’ensemble de résolution est imposé
par l’ensemble de défi nition de f.
Pour tout x ≠ 3, f (x) = 8 équivaut à 2
3 – x = 8, soit 2 = 8(3 – x),
soit x = 22
8 = 2,75.
21 Appelons A le point situé sur l’axe des ordonnées.
Son abscisse est 0 et son ordonnée est l’image de 0, c’est-à-
dire f (0).
Calculons f (0) = 3 – 2 × 0
5 – 4 × 0 = 3 5.
Les coordonnées de A sont
0 ; 3
5
.
B est le point situé sur l’axe des abscisses. Son ordonnée
est donc 0.
Son abscisse est donc l’antécédent de 0.
On résout alors l’équation f (x) = 0 (pour x ≠ 5
4 car cette
valeur annule le dénominateur).
3 – 2x
5 – 4x = 0 devient 3 – 2x = 0 et donc – 2x = – 3 et donc
x = – 3
– 2 = 3 2.
Les coordonnées de B sont donc
3
2 ; 0
.
22 a) x – 5 = 0 équivaut à x = 5, donc on exclut 5 de
l’étude.
• La fonction affi ne x 哫 3x + 2 est strictement croissante et
s’annule pour x = – 2
3.
• La fonction affi ne x 哫 x – 5 est strictement croissante et
s’annule pour x = 5.
– ∞
– 2
3+ ∞
–++
3x + 2
x
0
––0+
x – 5
+–+
3x + 2
x – 5 0
5
Ainsi 3x + 2
x – 5 ⭓ 0 a pour ensemble de solutions
᏿ =
– ∞; – 2
3
∪ ]5 ; + ∞[.
b) 2x + 1 = 0 équivaut à x = – 1
2, donc on exclut – 1 2 de
l’étude.
• La fonction affi ne x 哫 4 – 7x est strictement décroissante
et s’annule pour x = 4
7.
La fonction affi ne x 哫 2x + 1 est strictement croissante et
s’annule pour x = – 1
2.
– ∞
– 1
2+ ∞
++–
4 – 7x
x
0
–+
0+
2x + 1
–+–
4 – 7x
2x + 1 0
4
7
18
a) On cherche les valeurs de x qui annulent le
dénominateur : x – 1 = 0 équivaut à x = 1.
Pour tout x ≠ 1, l’équation s’écrit à l’aide du produit en
croix :
4x + 1 = 3(x – 1)
x = – 4.
– 4 ≠ 1, donc l’équation a pour solution – 4.
b) 7 + 2x
3 – x = 0. La valeur x = 3 doit être exclue de l’étude.
L’équation devient 7 + 2x = 0, donc 2x = – 7 et donc
x = – 7
2.
– 7
2 ≠ 3 donc l’équation a pour solution : – 7 2 .
c) On cherche les valeurs de x qui annulent le dénominateur :
5x + 3 = 0, équivaut à x = – 3
5.
Pour tout x ≠ – 3
5, l’équation s’écrit à l’aide du produit en
croix :
2x = – 2(5x + 3)
x = – 1
2 .
– 1
2 ≠ – 3 5, donc l’équation a pour solution – 1 2 .
d) x
2x + 3 = – 3
4. On résout 2x + 3 = 0, ce qui donne 2x = – 3
et donc x = – 3
2 . Cette valeur doit être exclue de l’étude.
On résout ensuite l’équation :
x
2x + 3 = – 3
4 devient 4x = – 3 × (2x + 3) puis 4x = – 6x – 9.
10x = – 9 et enfi n x = – 9
10 .
– 9
10 ≠ – 3 2 donc l’équation a pour solution : – 9 10 .
19
1. 2 + x = 0 équivaut x = – 2, c’est la valeur qui annule
le dénominateur du membre de droite.
Pour tout x ≠ – 2, 6
5 = 3 + x
2 + x .
6(2 + x) = 5(3 + x)
x = 3.
3 ≠ – 2 donc l’équation a pour solution 3.
2. C’est l’abscisse du point d’intersection de la courbe et
de la droite.
3. L’abscisse est 3 donc l’ordonnée est f (3) = 3 + 3
2 + 3 .
Le point a pour coordonnées (3 ; 1,2).
20
1.