Résolution graphique d`équations

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Résolution graphique d’équations
I) Exemples
1. Voici la représentation graphique d’une fonction fdéfinie sur l’intervalle [−6; 16]. On
a représenté l’origine Odu repère et un quadrillage d’unité 1.
Résoudre l’équation f(x) = 0 par lecture graphique.
•O
La question équivaut à chercher les antécédents de 0. On trace la droite horizon-
tale d’ordonnée 0 (c’est l’axe des abscisses). On regarde où cette droite coupe la
courbe. On trouve trois points, dont les abscisses sont −5,2et 11. L’ensemble des
solutions de l’équation f(x)=0est donc l’ensemble de ces trois nombres, qu’on
note {−5; 2; 11}
2. Avec la courbe précédente, donner un exemple de nombre ktel que l’équation f(x) = k
admette exactement une solution.
On cherche une droite horizontale d’ordonnée kqui coupe la courbe en un seul
point.
On peut choisir par exemple k= 4. La droite horizontale d’ordonnée 4 coupe la
courbe en un seul point d’abscisse 15. Autrement dit, 4 n’a qu’un seul antécédent,
qui est 15. L’équation f(x) = 4 n’a qu’une solution : x= 15.
•O
4•
15
3. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = x
On ne peut plus appliquer la méthode précédente utilisée pour f(x) = kparce que
cette fois ks’exprime en fonction de l’inconnue xau lieu d’être une constante.
La question revient en fait à trouver un point de la courbe dont l’ordonnée est égale
à l’abscisse. En effet, si on pose y=f(x), le point de coordonnées (x;y)appartient
à la courbe par définition, et dire qu’il est solution du problème équivaut à dire que
y=x.
Quel est l’ensemble des points du plan tels que y=x? C’est une droite qui passe
par l’origine et par le point de coordonnées (1; 1). C’est la représentation graphique
de la fonction linéaire gdéfinie par g(x) = x.
On cherche l’abscisse du point d’intersection de la courbe et de la droite. Graphi-
quement, on trouve x= 1
•
O
y=x
•
1
II) Résumé
1. Soit kun nombre fixé. Résoudre l’équation f(x) = kd’inconnue xéquivaut à
trouver les abscisses des points d’intersection de la courbe de fet de la droite
horizontale d’ordonnée k.
2. Soit fet gdeux fonctions. Résoudre l’équation f(x) = g(x)d’inconnue xéquivaut
à trouver les abscisses des points d’intersection des courbes de fet de g
Remarque : la pemière équation (f(x) = k) n’est qu’un cas particulier de la
deuxième (f(x) = g(x)) car la fonction constante g:x7→ ka pour courbe la
droite horizontale d’ordonnée k
3. Cette méthode de résolution graphique n’est pas une démonstration mathématique
entièrement rigoureuse. Elle dépend beaucoup de la précision et de l’échelle avec
laquelle sont tracées les courbes, ainsi que du domaine dans lequel elles sont tracées.