fondement de la theorie des operateurs lineaires

Fondement de la théorie des Opérateurs Linéaires
Sidi Mohammed BAHRI
Université de Mostaganem
1
Introduction
On procéde à l’élaboration d’une théorie abstraite des opérateurs sur des espaces
de Banach et de Hilbert spéci…ques pour aider à la résolution des équations
particulières découlant des applications. Une grande variété de ces équations
peuvent être écrites sous la forme
Tx = y
(1)
où T est une application d’un espace de Banach (ou de Hilbert) dans un autre, et
si T admet dans un certain sens une bonne nature, on peut déduire beaucoup
de renseignement concernant la solution en exploitant la structure des espaces
et en particulier leur complétion.
Les questions pour lesquelles la théorie des opérateurs est la mieux adaptée
à répondre sont ceux qui sont de nature qualitative, et celles concernant les
procédures générales d’ approximation pour résoudre l’équation (1). Certains
des plus importantes sont les suivantes:
i) L’équation (1) admet-elle une solution. Si oui, est-elle unique?
ii) L’équation (1) est-elle stable dans le sens où un petit changement en y
implique un petit changement en x?
iii) Si l’équation (1) est linéaire, les méthodes de la théorie des opérateurs
linéaires en dimension …nie sont-elles prise en charge? En particulier, un
inverse linéaire T 1 peut-il être sensiblement dé…ni, et T 1 admet-il un
bon comportement?
iv) S’il existe un opérateur T0 qui se rapproche de T dans un certain sens, la
solution x0 de T0 x0 = 0 est-elle une bonne approximation de la solution
de l’équation (1)?
v) Si l’équation est une équation intégrale ou di¤érentielle, existe-il une solution
numérique, obtenue par une méthode spéci…que, proche de la solution
exacte, et quelle est l’erreur d’approximation?
vi) Y at-il des méthodes itératives valides qui permettrons une estimation initiale de la solution qui soit systématiquement améliorée?
vii) La diagonalisation familière d’une matrice hermitienne fournit une caractérisation simple et éclairante d’une classe utile de l’opérateur en dimension …nie. Yat-il un analogue de cette situation pour, disons, des équations
di¤érentielles linéaires?
1
viii) L’équation di¤érentielle f 00 + f = 0 avec les conditions aux limites f (0) =
f ( ) = 0 admet l’ensemble des solutions fsin n g correspondant à = n2
pour n = 1; 2; : : :. Une large classe de fonction peut être représentée
comme une combinaison linéaire de ces solutions, et cette représentation
en série de Fourier est souvent utile. Y at-il des généralisations aux autres
équations di¤érentielles, et à d’autres types d’équations?
Le souhait de répondre aux questions de cette nature va fortement in‡uencer
le choix de la théorie à décrire. Dans ce chapitre, nous allons donner les bases
de la théorie des opérateurs linéaires sur lesquels le traitement ultérieur des
équations linéaires et non linéaires dépendera.
Le contenu est organisé comme suit. La section 2 comprend les dé…nitions de
la terminologie de base des opérateurs. La discussion sur les opérateurs linéaires
commence à la section 3. Nous nous demandons si certains des résultats clés en
dimension …nie se généralisent et nous concluons que les aspects analytiques ne
peuvent pas être ignorées pour que la généralisation soit couronnée de succès.
Par conséquent les restrictions supplémentaires sur les espaces et les opérateurs
doivent être prises en charge. La restriction la plus facile et peut-être la plus utile
est que l’opérateur doit être une application continue d’un espace de Banach sur
un autre. Les opérateurs linéaires continus sont introduits dans la section 4, et
certaines de leurs propriétés de base sont issus de la section 5. Dans la section
6, nous sommes en…n en mesure de commencer à examiner le problème des
solutions réellement construites, et en particulier de trouver l’inverse. L’analyse
est basée sur la méthode de substitution successive, ou ce qui revient au même, la
série de Neumann, et les applications sont faites à certains problèmes standards.
L’enquête sur les propriétés de l’inverse conduit naturellement à une discussion
sur la théorie spectrale élémentaire dans la section 7. Dans la dernière section
un plus faible concept d’opérateur fermé est introduit a…n de traiter avec des
opérateurs di¤érentiels, ces opérateurs ne sont pas continues sur les espaces de
Banach jusqu’ici considéré.
2
La terminologie de base de théorie de l’opérateur
Soient X et Y deux ensembles de natures quelconques. Soit T une application
dé…nie sur un sous ensemble D (T ) de X et supposons que T associ à chaque
x 2 D (T ) un élément y = T (x) 2 Y (dans les phases initiales D(T ) sera
généralement l’ensemble X).
De…nition 1 L’ensemble D (T ) = D s’appelle domaine de T . Pour x 2 D(T ),
l’élément T x est connu comme l’image de x. De même l’image T (S) d’un
ensemble S est l’ensemble des images de tous les éléments de S. En particulier
l’image de D(T ) est appelée le rang de T et sera noté R(T ). La préimage d’un
ensemble S1 Y c’est l’ensemble
T
1
(S1 ) = ff : f 2 D(T ); T f 2 S1 g:
2
De…nition 2 T est dit opérateur de X dans Y:
La notation
T
: S
x
! Y
7
!
Tx
signi…e que T est un opérateur de domaine S et de rang Y , et nous disons que
T applique S dans Y .
Remark 3 Les points suivants résultants de la dé…nition doivent être notés.
Tout d’abord, un opérateur est toujours à valeur unique en ce qu’il associ exactement un élément de son rang pour chaque élément de son domaine. Deuxièmement, l’a¢ rmation que T est un opérateur de X dans Y permet la possibilité
que D(T ) soit un sous-ensemble de X; en revanche A : X ! Y signi…e que
D(T ) = X. En…n, bien qu’il n’y ait pas de distinction stricte entre « opérateur»
et « fonction» , il est de coutume de réserver "fonction" pour le cas où X et Y
sont de dimension …nie et d’utiliser « opérateur» ailleurs. Compte tenu de son
importance un type particulier d’opérateur se voit attribuer son propre nom.
De…nition 4 Soit X un espace vectoriel complexe (respectivement réel), et supposons que Y = C (respectivement R). Alors un opérateur de X dans Y est
appelé une fonctionnelle.
Example 5 Considérons X = C [0; 1] et T : X ! X l’opérateur de d¤ érentiation dé…ni par
T f (x) = f 0 (x) :
(2)
T n’est pas dé…ni sur tout X. En e¤ et, les fonctions continues ne sont pas toutes
dérivables. On peut donc con…ner l’opérateur de di¤ érentiation, en premier lieu,
aux fonctions régulières, c’est à dire f 2 C 1 [0; 1]. Dans ce cas, il est évident que
le second membre de (2) est continu pour tout f , et si T f (x) dénote la valeur
de la fonction T f en x, la relation (2) supposée véri…ée pour f 2 C 1 [0; 1]
dé…nie un opérateur de C [0; 1] dans lui même de domaine C 1 [0; 1]. Donc nous
pouvons écrire :
T : C 1 [0; 1] ! C [0; 1] :
(3)
Il est aussi évident que l’opérateur de di¤érentiation (3) a toujours un sens
dans l’espace plus large C 1 [0; 1] ; il est donc possible de dé…nir un autre opérateur S en posant :
Sf (x)
= f 0 (x) ; f 2 C 1 [0; 1] :
Bien que Sf = T f pour f 2 D (T ), puisque D(T ) 6= D(S) nous ne dirons pas
que T et S sont égales, réservant cette terminologie pour le cas où D(T ) = D(S).
Plutôt S est décrit comme une extension de T .
De…nition 6 Soient T et S deux opérateurs dé…nis d’un espace vectoriel X
dans un espace vectoriel Y . T et S sont dits égaux ssi,
D (T ) = D (S)
:
Tx
= Sx
8x 2 D (T )
3
S est dit extension de T ou que T est une réstriction de S ssi,
D (T )
D (S)
:
Tx
= Sx
8x 2 D (T )
Dans ce cas, on écrit T
S et l’extension S est dite propre ssi D (T ) 6= D (S) .
Un classement général qui soit utile lorsque l’on considère l’équation opérateur T x = y est la suivante.
De…nition 7 Supposons que T est un opérateur de X dans Y . T est dit injectif
ssi pour chaque y 2 R (T ) il ya exactement un x 2 D(T ) tel que T x = y. T est
appelé surjectif ssi R (T ) = Y , et nous disons que T applique D (T ) dans Y . T
est dit bijectif ssi il est à la fois injectif et surjectif.
Example 8 Considérons les fonctions suivantes (opérateurs)
i)
: R ! R.
(x) = sin x:
Alors R ( ) = [ 1; 1] qui est un sous-ensemble de R. Ainsi
surjectif. Puisque 0 = (0) = ( ) = ::: , n’est pas injectif.
ii)
(x) = x(x2
1)
4
n’est pas
. Puisque R ( ) = R, est surjective, mais 1; O; 1 sont toutes appliquées
à zéro, donc sans doute n’est pas injective.
iii)
(x) = tanh x:
5
Alors R ( ) = ] 1; 1[ et
n’est pas surjectif.
est injective puisque
l’équation tanh z = a (a 2 ] 1; 1[) a une seule solution réelle.
iv)
(x) = x3 :
est évidemment bijective.
Dans la théorie des opérateurs linéaires et aussi celle des opérateurs non
linéaires, la classe des opérateurs continus est la plus utile. En fait, on peut la
considérer comme une extension naturelle de la classe des fonctions continues.
De…nition 9 Soient X et Y deux espaces vectoriels normés et soit T : X !
Y un opérateur linéaire. Alors T est dit continu au point x0 2 D (T ) si, et
seulement si, l’une des deux conditions équivalentes suivantes est véri…ée :
(i) 8 > 0; 9 > 0 = kT x
T x0 k <
si x 2 D (T ) et kx
x0 k < ;
(ii) Pour toute suite (xn ) dans D (T ) de limite x0 ,
lim T xn = T x0 :
n!1
T est dit continu ssi T est continu en tout point de D (T ).
Lemma 10 L’opérateur T est continu si et seulement si l’image inverse de tout
ensemble ouvert dans Y est un ouvert dans D (T ).
Proof.
6
( Supposons que T est continu et montrons que si O
T 1 (O) est un ouvert dans D (T ).
Si T
1
Y est un ouvert alors
(O) est vide, alors il est un ouvert.
Supposons que T 1 (O) n’est pas vide et soit x0 2 T 1 (O). Alors T x0 2 O, et
comme O est un ouvert, alors il existe une boule ouverte B (T x0 ; ) O.
D’aprés la dé…nition de la continuité : il existe > 0 et un ensemble ouvert
dans D (T )
U = fx : x 2 D (T ) ; kx x0 k < g
tel que
TU
B (T x0 ; ) :
Alors
TU
O et U
En…n, comme x0 est quelconque dans T
est un ouvert dans D (T ).
1
T
1
(O) :
(O), cela montre que T
1
(O)
) Supposons maintenant que O est un ouvert, alors T 1 (O) est un ouvert
dans D (T ). Donc pour tout x0 dans D (T ) et tout > 0; l’image inverse
de la boule ouverte T 1 (B (T x0 ; )) est un ouvert dans D (T ). Donc pour
un certain > 0, l’ensemble
U = fx : x 2 D (T ) ; kx
x0 k < g
est contenu dans l’image inverse, ce qui implique que
TU
B (T x0 ; ) :
(4)
Et d’aprés (i) de la dé…nition9, (4) établie la continuité au point x0 .
Notre première observation concernant la simpli…cation de la notion de continuité se formule comme suit.
Lemma 11 Soient X et Y deux espaces de Banach et T : X ! Y un opérateur
linéaire.
Si T est continu en un certain point x0 2 X, alors T est continu.
Proof. Utilisons la propriété (ii) de la dé…nition9. Soit (xn ) une suite dans
D (T ) de limite x0 , alors
T xn ! T x0 :
Maintenant, si (yn ) une suite dans D (T ) de limite y0 , alors
yn
y0 + x0 ! x0 :
Par conséquent,
T (yn
donc
y0 + x0 ) ! T x0 ;
T yn ! T y0 :
7
3
Certaines propriétés algébriques des opérateurs
linéaires
Un opérateur linéaire est l’analogue sur un espace vectoriel d’une fonction unidimensionnelle représentée par une ligne droite passant par l’origine, qui est une
fonction : R ! R où (x) = x pour certains 2 R. En dimension …nie
la théorie des équations linéaires est très développée et un intérêt de recherche
est largement con…née au cas non linéaire, mais dans un espace vectoriel arbitraire, la situation est assez di¤érente, car bien que les équations linéaires
sont évidemment beaucoup plus maniable que leurs homologues non-linéaires,
les problèmes soulevés par la dimension in…nie peuvent être de di¢ cultés considérables. Pour le reste de ce chapitre seulement les opérateurs linéaires seront
considérés. Leurs propriétés algébriques sont d’abord discutées. En particulier,
un examen préliminaire de l’équation de l’opérateur T x = y est faite, et certains
rudiments de la théorie de la dimension …nie seront revu dans le but d’établir
quelles analogies peut on avoir en dimension in…nie.
De…nition 12 Soient X et Y deux espaces vectoriels et soit T un opérateur de
X dans Y . Alors T est dit linéaire si :
(i) D (T ) est un sous espace vectoriel (condition nécéssaire);
(ii) T ( x + y) = T x + T y:
Dans ce cas, l’image Im T est aussi un sous espace vectoriel.
4
Premier pas vers la résolution de l’équation
Tx=y
Ce premier pas est modelé sur les tactiques de la théorie des matrices, i.e. tenter
de dé…nir l’opérateur inverse T 1 . Il est clair que l’équation
Tx = y
(5)
admet une solution pour tout y 2 Im T , et si la solution est unique, ce qui est
le cas ssi T est injectif, un opérateur T 1 avec D T 1 = Im T peut être dé…ni
par la relation
x = T 1y
(6)
Il est facile de voir que est un opérateur linéaire de Y dans X. Cependant, en
général, Im T n’est pas tout l’espace Y , ce qui implique que l’équation (5) n’a
pas de solution pour tout y 2 Y . La situation est beucoup plus satisfaisante si
Im T = Y;
c’est à dire que l’équation (5) admet une solution unique pour tout y 2 Y .
Nous pouvons résumé les di¤érentes cas de résolution de l’équation (5)
comme suit :
8
(i) Si T est non injectif, aucune interprétation raisonnable de T 1 comme opérateur linéaire n’est possible. L’équation (5) admet toujours plus d’une solution si y 2 Im T .
(ii) Si T est injectif mais non surjectif, alors T 1 est un opérateur linéaire avec
domaine Im T: L’équation (5) admet exactement une solution si y 2 Im T
mais aucune solution ailleurs.
(iii) Si T est bijectif, alors T 1 est un opérateur linéaire avec domaine Y:
L’équation (5) admet exactement une solution pour chaque y 2 Y:
Pour établir un critère convenable a…n de décider quand est ce que cette
dernière possibilité soit réalisable est l’ultime objectif de cette théorie. Pour
cela, commençons par suivre les pas de la dimension …nie.
Soit T : X ! Y un opérateur linéaire. Alors l’opérateur T admet un inverse
ou que T 1 existe ssi T est injectif. Dans ce cas :
D T
Im T
1
= Im T
= D (T )
1
et
Tx = y
, x=T
1
y:
Posons
ker T = fx 2 D (T ) : T x = 0g ;
alors T est injectif ssi ker T = f0g.
Theorem 13 Supposons que dim X …nie et soit T : X ! X un opérateur
linéaire. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) T est bijectif;
(ii) ker T = f0g (i.e. T est injectif );
(iii) T est surjectif.
Donc en dimension …nie si ker T = f0g, T 1 est dé…ni sur tout X - la meilleur
situation possible- et l’équation (5) admet une unique solution pour tout y 2 X.
De plus, si le déterminant de la matrice associée à T est non nul, cela su¢ t pour
que ker T = f0g. Cependant, cette dernière n’est pas une condition su¢ sante
en dimension in…nie.
Example 14 Soit T : C [0; 1] ! C [0; 1] dé…ni par
Rx
T f (x) = 0 f (t) dt; (f 2 C [0; 1]) :
Il est clair que T f (0) = 0 pour tout f 2 C [0; 1]. Donc Im T est un sous espace
propre de C [0; 1] et T n’est pas injectif. Cependant, ker T = f0g car T f = 0
uniquement si f = 0. Donc la condition (ii) du théorème13 n’implique pas (iii)
et (ii) n’implique pas (i).
9
Remark 15 Le dé…cit du théorème13, pour le cas de la dimension in…nie, implique que les résultats de l’inverse en dimension …nie ne se conservent pas à la
dimension in…nie.
Vu l’importance des considérations analytiques en dimension in…nie, il est
tout à fait naturel de réaliser que les progrés de la théorie des opérateurs linéaires
ne peuvent être basés uniquement sur des arguments purement algébriques. En
e¤ et, une généralisation des résultats de la dimension …nie peut être réalisée
uniquement avec l’aide d’une théorie intéressante et assez complexe dont laquelle l’analyse joue un rôle cruciale. Le développement de certains des plus importantes partie de cette théorie sera notre principale préocupation dans la section
suivante.
5
Continuité et Bornitude
Nous pouvons a¢ rmé que les di¢ cultés de la théorie des opérateurs linéaires en
dimension in…nie surgissent essentiellement par deux caneaux. Le premier est
lié à la question de continuité. Les opérateurs linéaires sur des espaces vectoriels
normés de dimension …nie sont nécessairement continus, mais cela n’est pas le
cas quand les espaces sont de dimension in…nie. Le second problème provient
de la complexité des propriétés analytiques de l’espace lui même.
Les plus simples opérateurs pour lesquels un progrés substantiel est possible
sont ceux dont les domaines sont des espaces de Banach ou des espaces de
Hilbert et qui sont, en plus, continus. Et comme ces opérateurs sont relativement
répondus dans certaines applications, il est naturel de commencer par une étude
détaillée de leurs propriétés.
5.1
Opérateurs Continus
5.2
Opérateurs bornés
De…nition 16 Soient X et Y deux espaces de Banach et T : X ! Y un
opérateur linéaire. Alors T est dit borné sur D (T ) ssi il existe une constante
M > 0 telle que
kT xkY
M kxkX ; 8x 2 D (T ) :
(7)
T est dit borné ssi de plus D (T ) = X.
Si T n’est pas borné sur D (T ) ; il est dit non borné.
La borne inférieure de toutes les constantes M véri…ants (7) et notée par
kT k est dite norme de T . Au fait, nous avons
kT xk
= sup kT xk :
x2D(T ) kxk
x2D(T )
kT k = sup
x6=0
kxk6=1
Notons que
kT xk
kT k kxk :
10
(8)
Remark 17 Un opérateur linéaire borné n’est généralement pas une fonction
bornée; celle-ci exige que la norme de T x soit bornée pour tout x, ce qui n’est
possible que si Y est l’espace vectoriel réduit à zéro. Au contraire, un opérateur
linéaire borné est une fonction localement bornée.
Example 18
1. Tout opérateur linéaire entre deux espaces de dimension
…nie normé est borné, et un tel opérateur peut être considéré comme la
multiplication par une certaine matrice …xe .
2. Beaucoup de transformations intégrales sont des opérateurs linéaires bornés.
Par exemple, si
K : [a; b] [c; d] ! R
est une fonction continue, alors l’opérateur T dé…ni sur l’espace C[a; b]
des fonctions continues sur [a; b] muni de la norme uniforme et prenant
ses valeurs dans l’espace C[a; b], donné par la formule
T f (x) =
Z
b
K (x; y) f (y) dy;
a
est borné. Par contre si cet opérateur prend ses valeurs dans C 1 [0; 1], il
n’est plus continu.
3. L’ opérateur de Laplace
: H 2 (Rn ) ! L2 (Rn )
(Son domaine est un espace de Sobolev et il prend des valeurs dans un
espace de fonctions de carré intégrable ) est borné.
4. L’ opérateur schift à droite (dit aussi opérateur de de décalage à droite)
sur l2 l’espace de toutes les suites (x0 ; x1 ; x2 :::) de nombres réels avec
x20 + x21 + x22 +
< 1;
T (x0 ; x1 ; x2 :::) = (0; x0 ; x1 ; x2 :::)
est borné. Il est facile à voir que sa norme vaut 1.
5.3
Equivalence entre continuité et bornitude
Il est à noter que toute fonction continue f : [0; 1] ! R est bornée. C’est
vraiment un cas particulier d’un fait plus général: Toute fonction continue d’un
espace compact dans un espace métrique est bornée. Mais l’inverse n’est pas
vrais. En e¤et, la fonction f; qui prend la valeur 0 pour tout nombre rationnel x
et 1 pour x un nombre irrationnel, est bornée. Ainsi, une fonction n’a pas besoin
d’être bonne a…n d’être bornée. L’ensemble des fonctions bornées dé…nies sur
[0; 1] est beaucoup plus grand que l’ensemble des fonctions continues sur cet
intervalle. Cependant, ce n’est pas le cas pour un opérateur borné.
11
Theorem 19 Soient X et Y deux espaces de Banach et T : X ! Y un opérateur linéaire. Alors T est borné sur D (T ) ssi T est continu.
Proof. Supposons T borné, alors
9M > 0 : kT xkY
M kxkX ; 8x 2 D (T ) :
Donc si
xn ! 0;
il s’en suit que
T xn ! 0:
Et d’aprés le lemme11, T est continu.
Supposons maintenant que T n’est pas borné, alors il existe une suite (yn )
telle que
kT yn k
! 1:
an =
kyn k
Mais si l’on pose
xn =
alors
yn
;
an kyn k
kxn k =
1
!0
an
et
kT xn k = 1:
Comme T 0 = 0, T n’est pas continu au point zéro et par conséquent T est non
continu.
5.4
Linéarité et bornitude
Notons que les opérateurs linéaires entre espaces normés ne sont pas tous bornés.
Soit X l’espace des polynômes trigonométriques dé…nies sur [
; ], avec la
norme
Z
kP k =
jP (x)j dx:
Dé…nissons l’opérateur T : X ! X qui agit en prenant la dérivée, de sorte qu’il
associe à un polynôme P à son dérivé P 0 . Ensuite, pour
P (x) = exp (inx) ; n = 1; 2; :::
nous avons kP k = 1, tandis que kT P k = 2 n ! 1 quand n ! 1, alors cet
opérateur n’est pas borné.
Il s’avère que ce n’est pas un exemple unique, mais plutôt une partie d’une
règle générale. Tout opérateur linéaire dé…ni sur un espace normé de dimension
…nie est borné. Toutefois, étant donné les espaces normés X et Y , avec X de
12
dimension in…nie et Y n’étant pas réduit à zéro, on peut trouver un opérateur
linéaire qui n’est pas continue de X dans Y .
Un tel opérateur de base, comme la dérivée (et autres), qui n’est pas borné,
est plus di¢ cile à étudier. Si, toutefois, on dé…nit soigneusement le domaine
et l’image de l’opérateur de dérivation, on peut montrer qu’il est un opérateur
fermé. Les opérateurs fermés sont plus générales que les opérateurs bornés, mais
plus pratiques dans plusieurs domaines.
5.5
Extension linéaire continuité
En général, nous serons concerné qu’avec les opérateurs continus ( ou bornés )
dé…nis sur tout l’espace normé X. Cependant, il est parfois convenable de dé…nir
les opérateurs d’abord sur un sous ensemble de X et la question se pose alors
de savoir si un opérateur continu sur son domaine D (T ) admet une extension
continue sur tout l’espace X.
Une procédure commune pour dé…nir un opérateur linéaire borné entre deux
espaces de Banach donné est la suivante. Tout d’abord, dé…nir un opérateur
linéaire sur un sous-ensemble dense de son domaine, tel qu’il soit localement
bornée. Ensuite, étendre l’opérateur par continuité d’un opérateur linéaire continu sur l’ensemble du domaine.
Theorem 20 Soient X et Y deux espaces de Banach et T : X ! Y un opérateur linéaire de domaine dense dans X. Alors si T est continu sur D (T ), il
existe une unique extension S de T sur X telle que kSk = kT k :
Proof. Comme D (T ) = X, pour tout x 2 X il existe une suite (xn ) dans D (T )
telle que
lim xn = x:
n!1
Comme (xn ) est convergente, alors elle est de Cauchy. Donc étant donné > 0;
il existe n0 2 N tel que pour tout m; n n0 :
kxn
Ainsi pour m; n
kT xn
xm k
kT k
:
n0 :
T xm k
kT (xn
xm )k
kT k kxn
xm k
:
Ceci montre que (T xn ) est une suite de Cauchy dans Y , et comme Y est complet,
il existe un élément y 2 Y avec
lim T xn = y:
n!1
Il est facile de véri…er que y est indépendant de la suite particulière utilisée, et
donc l’extension
S:X!Y
13
peut être dé…nie par la relation
Sx = y:
S est évidement linéaire, et puisque
kSxk = kyk = lim kT xn k
lim kT k kxn k = kT k kxk ;
n!1
n!1
S est de plus borné.
Cette dernière relation montre aussi que
kSk
kT k :
D’autre part,
Sx = T x pour
x 2 D (T ) ;
donc certainement
kSk
kT k :
Par conséquent
kSk = kT k :
En…n si S1 et S2 sont deux extensions de T; pour toute suite convergente
(xn ) dans D (T ) avec limite x,
S1 x = lim S1 xn = lim T xn = lim S2 xn = S2 x;
n!1
n!1
n!1
et l’unicité s’en suit.
Remark 21 Ce théorème est important. Il a¢ rme qu’un opérateur linéaire
borné sur un domaine D (T ) dense dans un espace normé X, dans l’image Im T
est incluse dans un espace de Banach Y peut être prolongé sans augmentation
de sa norme, à tout l’espace X. Cela signi… que si Im T est inclu dans un espace
de Banach, il n’y a pas de perte de généralité en supposant que D (T ) est fermé
(S’il ne l’est pas, alors le théorème a¢ rme que nous pouvons prolonger T à sa
fermeture D (T ):) De plus, si X est un espace de Banach, alors D (T ), étant un
sous espace fermé d’un espace de Banach, est aussi un espace de Banach. Dans
ce cas, il n’ya aucune perte de généralité en supposant que T est dé…ni sur X,
i.e. D (T ) = X.
6
Quelques propriétés fondamentales des opérateurs bornés
Pour pouvoir exploiter la condition de bornitude pour les opérateurs linéaires,
certains résultats théoriques de base sont nécessaires. La signi…cation compléte
de ces résultats peut ne pas être clair immédiatement, mais la motivation pour
le choix du domaine général sur lequel nous nous focalisons sera l’équation
Tx = y
14
(9)
avec T : X ! Y un opérateur linéaire borné.
Si T est bijectif, alors il admet un inverse T 1 dé…ni sur Y , et l’équation (9)
admet une solution x = T 1 y pour tout y 2 Y .
La première question que l’on peut poser dans ce cas est si la solution x est
stable pour de petites perturbations de y. Il est certain quelle est stable si T 1
est borné, car si
T x1 = y1 et T x2 = y2 ;
alors
kx1
yx2 k
T
1
ky1
y2 k :
Cependant, comme il a été remarqué çi dessus, la bornitude d’un opérateur ne
se déduit pas uniquement du fait qu’il est partout dé…ni. Le fait que l’on a
besoin que soit borné est conséquence du théorème suivant qui est lui même un
point tournant de la théorie des opérateurs.
Theorem 22 (Théorème de l’application ouverte) Soient X et Y deux espaces
de Banach et T : X ! Y un opérateur linéaire borné et surjectif. Alors T applique les ensembles ouverts dans X en des ensembles ouverts dans Y:
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Complétion de l’espace des opérateurs linéaires
bornés
Theorem 23 Soit X un espace normé et Y un espace normé complet. Alors
L (X; Y ) est un espace de Banach (i.e., complet).
1
Proof. Soit fAn gn=1 une suite de Cauchy dans L (X; Y ) alors
8 > 0; 9N tel que 8m; n
Cela implique que pour tout x 2 X et m; n
kAn x
Am xkY
N : kAn
Am k
:
(10)
N
= k(An Am ) xkY
kAn Am k kxk
kxk :
1
Par conséquent : pour tout x 2 X, la suite fAn xgn=1 est une suite de Cauchy
dans Y . Et comme Y est un espace de Banach, elle admet une limite que l’on
note Ax 2 Y et ainsi nous dé…nissons pour tout x 2 X,
Ax = lim An x:
n!1
A est un opérateur linéaire et il est aussi borné puisque :
kAxkY
sup kAn xk
n2N
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kxk sup kAn k ;
n2N
alors
kAk
sup kAn k ;
n2N
d’ou A 2 L (X; Y ) :
Maintenant, à voir que An ! A:
Supposons le contraire, c’est à dire que kAn Ak 9 0, alors il existe
1
1
fAnk gk=1 fAn gn=1 telle que pour tout k 2 N nous avons
kAnk
Ak
> 0 et
2 :
Donc pour tout k 2 N, nous pouvons choisir xk 2 X telle que
kxk k = 1 et kAnk xk
Axk k
:
1
Rappelons que fAn gn=1 est une suite de Cauchy, alors on peut choisir
tel que pour tout m; nk
nous avons
kAnk xk
Am xk k
2N
2
et cela implique
kAnk xk
kAnk xk
Axk k
Am xk k + kAm xk
Axk k :
Donc pour tout m
kAm xk
Axk k
2
ce qui contredit la dé…nition de A (nous devons avoir Am xk ! Axk ).
Remark 24 (i) A est un opérateur borné si, et seulement si, A est un opérateur continu (i.e., Axn Ax ! 0 pour xn ! x).
(ii) ker A = fx j Ax = 0g est un sous espace fermé.
(iii) Le théorème23 implique que pour tout espace normé X, l’espace dual X
est complet. En e¤ et, il su¢ t de prendre Y =( R ou C) et qui soit le
même champs des scalaires pour X.
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