fondement de la theorie des operateurs lineaires

Fondement de la théorie des Opérateurs Linéaires
Sidi Mohammed BAHRI
Université de Mostaganem
1 Introduction
On procéde à l’élaboration d’une théorie abstraite des opérateurs sur des espaces
de Banach et de Hilbert spéci…ques pour aider à la résolution des équations
particulières découlant des applications. Une grande variété de ces équations
peuvent être écrites sous la forme
T x =y(1)
où Test une application d’un espace de Banach (ou de Hilbert) dans un autre, et
si Tadmet dans un certain sens une bonne nature, on peut déduire beaucoup
de renseignement concernant la solution en exploitant la structure des espaces
et en particulier leur complétion.
Les questions pour lesquelles la théorie des opérateurs est la mieux adaptée
à répondre sont ceux qui sont de nature qualitative, et celles concernant les
procédures générales d’approximation pour résoudre l’équation (1). Certains
des plus importantes sont les suivantes:
i) L’équation (1) admet-elle une solution. Si oui, est-elle unique?
ii) L’équation (1) est-elle stable dans le sens où un petit changement en y
implique un petit changement en x?
iii) Si l’équation (1) est linéaire, les méthodes de la théorie des opérateurs
linéaires en dimension …nie sont-elles prise en charge? En particulier, un
inverse linéaire T1peut-il être sensiblement dé…ni, et T1admet-il un
bon comportement?
iv) S’il existe un opérateur T0qui se rapproche de Tdans un certain sens, la
solution x0de T0x0= 0 est-elle une bonne approximation de la solution
de l’équation (1)?
v) Si l’équation est une équation intégrale ou di¤érentielle, existe-il une solution
numérique, obtenue par une méthode spéci…que, proche de la solution
exacte, et quelle est l’erreur d’approximation?
vi) Y at-il des méthodes itératives valides qui permettrons une estimation ini-
tiale de la solution qui soit systématiquement améliorée?
vii) La diagonalisation familière d’une matrice hermitienne fournit une carac-
térisation simple et éclairante d’une classe utile de l’opérateur en dimen-
sion …nie. Yat-il un analogue de cette situation pour, disons, des équations
di¤érentielles linéaires?
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viii) L’équation di¤érentielle f00 +f = 0 avec les conditions aux limites f(0) =
f() = 0 admet l’ensemble des solutions fsin ngcorrespondant à =n2
pour n= 1;2; : : :. Une large classe de fonction peut être représentée
comme une combinaison linéaire de ces solutions, et cette représentation
en série de Fourier est souvent utile. Y at-il des généralisations aux autres
équations di¤érentielles, et à d’autres types d’équations?
Le souhait de répondre aux questions de cette nature va fortement in‡uencer
le choix de la théorie à décrire. Dans ce chapitre, nous allons donner les bases
de la théorie des opérateurs linéaires sur lesquels le traitement ultérieur des
équations linéaires et non linéaires dépendera.
Le contenu est organisé comme suit. La section 2 comprend les dé…nitions de
la terminologie de base des opérateurs. La discussion sur les opérateurs linéaires
commence à la section 3. Nous nous demandons si certains des résultats clés en
dimension …nie se généralisent et nous concluons que les aspects analytiques ne
peuvent pas être ignorées pour que la généralisation soit couronnée de succès.
Par conséquent les restrictions supplémentaires sur les espaces et les opérateurs
doivent être prises en charge. La restriction la plus facile et peut-être la plus utile
est que l’opérateur doit être une application continue d’un espace de Banach sur
un autre. Les opérateurs linéaires continus sont introduits dans la section 4, et
certaines de leurs propriétés de base sont issus de la section 5. Dans la section
6, nous sommes en…n en mesure de commencer à examiner le problème des
solutions réellement construites, et en particulier de trouver l’inverse. L’analyse
est basée sur la méthode de substitution successive, ou ce qui revient au même, la
série de Neumann, et les applications sont faites à certains problèmes standards.
L’enquête sur les propriétés de l’inverse conduit naturellement à une discussion
sur la théorie spectrale élémentaire dans la section 7. Dans la dernière section
un plus faible concept d’opérateur fermé est introduit a…n de traiter avec des
opérateurs di¤érentiels, ces opérateurs ne sont pas continues sur les espaces de
Banach jusqu’ici considéré.
2 La terminologie de base de théorie de l’opérateur
Soient Xet Ydeux ensembles de natures quelconques. Soit Tune application
dé…nie sur un sous ensemble D(T)de Xet supposons que Tassoci à chaque
x2D(T)un élément y=T(x)2Y(dans les phases initiales D(T)sera
généralement l’ensemble X).
De…nition 1 L’ensemble D(T) = Ds’appelle domaine de T. Pour x2D(T),
l’élément T x est connu comme l’image de x. De même l’image T(S)d’un
ensemble Sest l’ensemble des images de tous les éléments de S. En particulier
l’image de D(T)est appelée le rang de Tet sera noté R(T). La préimage d’un
ensemble S1Yc’est l’ensemble
T1(S1) = ff:f2D(T); T f 2S1g:
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De…nition 2 Test dit opérateur de Xdans Y:
La notation T:S!Y
x7! T x
signi…e que Test un opérateur de domaine Set de rang Y, et nous disons que
Tapplique Sdans Y.
Remark 3 Les points suivants résultants de la dé…nition doivent être notés.
Tout d’abord, un opérateur est toujours à valeur unique en ce qu’il associ exacte-
ment un élément de son rang pour chaque élément de son domaine. Deuxième-
ment, l’a¢ rmation que Test un opérateur de Xdans Ypermet la possibilité
que D(T)soit un sous-ensemble de X; en revanche A:X!Ysigni…e que
D(T) = X. En…n, bien qu’il n’y ait pas de distinction stricte entre «opérateur»
et «fonction» , il est de coutume de réserver "fonction" pour le cas où Xet Y
sont de dimension …nie et d’utiliser «opérateur» ailleurs. Compte tenu de son
importance un type particulier d’opérateur se voit attribuer son propre nom.
De…nition 4 Soit Xun espace vectoriel complexe (respectivement réel), et sup-
posons que Y=C(respectivement R). Alors un opérateur de Xdans Yest
appelé une fonctionnelle.
Example 5 Considérons X=C[0;1] et T:X!Xl’opérateur de d¤érentia-
tion dé…ni par
T f (x) = f0(x):(2)
Tn’est pas dé…ni sur tout X. En e¤et, les fonctions continues ne sont pas toutes
dérivables. On peut donc con…ner l’opérateur de di¤érentiation, en premier lieu,
aux fonctions régulières, c’est à dire f2C1[0;1]. Dans ce cas, il est évident que
le second membre de (2) est continu pour tout f, et si T f (x)dénote la valeur
de la fonction T f en x, la relation (2) supposée véri…ée pour f2C1[0;1]
dé…nie un opérateur de C[0;1] dans lui même de domaine C1[0;1]. Donc nous
pouvons écrire :
T:C1[0;1] !C[0;1] :(3)
Il est aussi évident que l’opérateur de di¤érentiation (3) a toujours un sens
dans l’espace plus large C1[0;1] ;il est donc possible de dé…nir un autre opéra-
teur Sen posant :
Sf (x) = f0(x); f 2C1[0;1] :
Bien que Sf =T f pour f2D(T), puisque D(T)6=D(S)nous ne dirons pas
que Tet Ssont égales, réservant cette terminologie pour le cas où D(T) = D(S).
Plutôt Sest décrit comme une extension de T.
De…nition 6 Soient Tet Sdeux opérateurs dé…nis d’un espace vectoriel X
dans un espace vectoriel Y.Tet Ssont dits égaux ssi,
D(T) = D(S)
T x =Sx 8x2D(T):
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Sest dit extension de Tou que Test une réstriction de Sssi,
D(T)D(S)
T x =Sx 8x2D(T):
Dans ce cas, on écrit TSet l’extension Sest dite propre ssi D(T)6=D(S).
Un classement général qui soit utile lorsque l’on considère l’équation opéra-
teur T x =yest la suivante.
De…nition 7 Supposons que Test un opérateur de Xdans Y.Test dit injectif
ssi pour chaque y2R(T)il ya exactement un x2D(T)tel que T x =y.Test
appelé surjectif ssi R(T) = Y, et nous disons que Tapplique D(T)dans Y.T
est dit bijectif ssi il est à la fois injectif et surjectif.
Example 8 Considérons les fonctions suivantes (opérateurs) :R!R.
i) (x) = sin x:
Alors R()=[1;1] qui est un sous-ensemble de R. Ainsi n’est pas
surjectif. Puisque 0 = (0) = () = ::: ,n’est pas injectif.
ii) (x) = x(x21)
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. Puisque R() = R,est surjective, mais 1; O; 1sont toutes appliquées
à zéro, donc sans doute n’est pas injective.
iii) (x) = tanh x:
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