Chapitre 22 INTÉGRATION Enoncé des exercices

Chapitre 22
INTÉGRATION
Enoncé des exercices
Rappel (Règles de Bioche) : Pour intégrer une fonction f(x)ne faisant intervenir que des sommes, produits,
quotients de sin xet cos x, on regarde l’élément différentiel dω (x) = f(x)dx.
Si en remplaçant xpar −xdans dω (x), l’élément différentiel est inchangé (dω (−x) = dω (x)) on pose
u= cos x
Si en remplaçant xpar π−xdans dω(x), l’élément différentiel est inchangé (dω(π−x) = dω(x)) on pose
u= sin x
Si en remplaçant xpar π+xdans dω (x), l’élément différentiel est inchangé (dω (π+x) = dω (x)) on
pose u= tan x(ou u= cotan x, qui marche parfois mieux)
Attention, dans dω (−x), dω (π−x)et dω (π+x), ne pas oublier que d(−x) = −dx, d (π−x) = −dx et
d(π+x) = dx. Si aucun des trois changements de variable ne marche, on pose t= tan x
2, en effet dans ce cas :
sin x=2t
1 + t
2
,cos x=1−t
2
1 + t
2
,dx =2dt
1 + t
2
.
1Les basiques
Exercice 22.1 Soient (a, b)∈R
2
avec a < b et fune fonction continue sur [a, b]telle que 
b
a
|f|=
b
a
f. Montrer
que fgarde un signe constant.
Exercice 22.2 Soient (a, b)∈R
2
avec a < b, que dire d’une fonction continue telle que 
b
a
f= (b−a) sup
[a,b]
|f|.
Exercice 22.3 Soit f: [0,1] −→ Rcontinue d’intégrale nulle sur [0,1]. On pose m= inf
[0,1]
fet M= sup
[0,1]
f(justifier
l’existence de met M). Que dire de la fonction g= (M−f) (f−m)? En déduire l’inégalité 
1
0
f
2
≤ −mM, puis que
fs’annule au moins une fois.
Exercice 22.4 Soit fcontinue sur [a, b]avec a < b telle que 
b
a
f= 0. Montrer que fs’annule au moins une fois sur
[a, b]:
1. En raisonnant par l’absurde à l’aide du TVI.
2. En utilisant le théorème de Rolle appliqué à une autre fonction que f!
Application : En déduire que si fest continue vérifie 
1
0
f=1
2,alors fadmet un point fixe (i.e ∃a∈[0,1] tel
que f(a) = a).

1. LES BASIQUES CHAPITRE 22. INTÉGRATION
Exercice 22.5 Calculer 
0
−3
x
2
−x−2dx
Exercice 22.6 Soit f(x) = 3x
2
+ 2ax +boù (a, b)∈R
2
,si 
+1
−1
|f(x)|dx < 2,montrer que f(x) = 0 a deux racines
réelles distinctes.
Exercice 22.7 Soit f(x) = sin(x)
sin(x) + cos(x),
Montrer qu’il existe aet bréels, tels que ∀x∈0,
π
2
, f(x) = bcos(x)−sin(x)
cos(x) + sin(x)+a.
Soit α∈0,
π
4
, calculer 
π
2
−α
α
sin(x)
sin(x) + cos(x)dx
Exercice 22.8 Calculer 
3
0
x√x+ 1dx
Exercice 22.9 Calculer 
π
6
0
tan
2
(x)dx
Exercice 22.10 Calculer 
π
4
0
sin
4
(x)
cos
2
(x)dx
Exercice 22.11 Calculer 
π
2
0
sin
2
(x) cos
3
(x)dx
Exercice 22.12 Calculer 
1
0
x
2
arctan(x)dx
Exercice 22.13 Calculer 
π
2
π
3
cos(x) ln (1 −cos(x)) dx
Exercice 22.14 Calculer 
π
4
0
x
cos
2
(x)dx
Exercice 22.15 Calculer 
2
1
2t
3
e
t
2
+1
dt
Exercice 22.16 Calculer 
1
√2
0
xarcsin(x)
√1−x
2
dx
Exercice 22.17 Calculer 
1
−1
1 + x
3
4
x
2
dx en posant u= 1 + x
3
Exercice 22.18 Calculer 
e
2
e
dx
xln
n
xen posant t= ln(x)où n∈N
∗
Exercice 22.19 Calculer 
ln(3)
2
0
dx
ch(x)en posant u=e
x
Exercice 22.20 Calculer 
1
0
e
x
dx
2 + e
x
en posant t=e
x
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CHAPITRE 22. INTÉGRATION 1. LES BASIQUES
Exercice 22.21 Calculer 
π
3
0
sin 2t
1 + cos tdt en posant u= cos t
Exercice 22.22 Calculer 
π
4
0
1
1 + cos
2
(t)dt en posant u=
1
√2
tan(t)
Exercice 22.23 Calculer 
ln(13)
ln(5)
e
x
(3 + e
x
)√e
x
−1dx en posant t=
1
2
√e
x
−1
Exercice 22.24 Calculer 
π
4
0
sin (2x)
1 + cos (x)dx et 
π
2
0
sin 2x+ sin x
3 + cos 2xdx
Exercice 22.25 Soit F(x) = 
1
x
x
arctan t
tdt, quel est le domaine de définition de F?Calculer F
′
(x)et en déduire
F.
Exercice 22.26 On définit la fonction Fde la variable réelle xpar
F(x) = 
1
x
x
1−t
2
(1 + t
2
)√1 + t
4
dt
1. Préciser le domaine de définition de F, on prendra soin de justifier sa réponse et déterminer la dérivée de Fen
justifiant le calcul.
2. En déduire Fpuis que 
1
x
x
1
(1 + t
2
)√1 + t
4
dt =
1
x
x
dt
2√1 + t
4
Exercice 22.27 Calculer I=
π
2
0
sin x
sin x+ cos xdx et J=
π
2
0
cos x
sin x+ cos xdx.
Exercice 22.28 Calculer 
1
0
x
2
(x
2
+ 1)
3
dx en posant x= tan u.
Exercice 22.29 Soit u
n
=
π
0
x
n
cos xdx établir une relation de récurrence vérifiée par la suite (u
n
)
n∈N
.
Exercice 22.30 Calculer 
π
0
sin 2x
2 + cos xdx.
Exercice 22.31 Calculer 
0
−
π
3
dx
cos (x) (sin x−cos x).
Exercice 22.32 Calculer 
π
2
0
dx
1 + cos x.
Exercice 22.33 Calculer 
π
2
0
sin x
(cos x+ 1) (cos x+ sin x+ 1)dx en posant t= tan x 2
Exercice 22.34 Calculer 
π
2
0
cos x
2−cos
2
xdx en posant u= sin x.
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1. LES BASIQUES CHAPITRE 22. INTÉGRATION
Exercice 22.35 Calculer 
1
0
arctan xdx en intégrant par parties.
Exercice 22.36 Trouver les applications continues ftelles que ∀x∈R,f(x)−
x
0
tf (t)dt = 1.
Exercice 22.37 Calculer 
π
4
0
1
1 + cos
2
(t)dt en posant u=
1
√2
tan(t).
Exercice 22.38 On considère pour n≥0le réel u
n
défini par
u
n
=
e
1
xln
n
(x)dx
Calculer u
0
,donner une relation de récurrence.
Exercice 22.39 Calculer les deux intégrales suivantes par intégrations par parties
I=
π
1
(xcos (x) + sin (x)) ln(x)dx
J=
e
π
2
1
sin (ln (x)) dx
Exercice 22.40 Calculer 
ln 2
0
e
x
e
x
+e
−x
dx en posant u=e
x
Exercice 22.41 On désire calculer 
0
−1
1
(t−1)
2
1 + t
1−tdt en posant u=1 + t 1−t, pourquoi ce changement de variable
ne convient-il pas ? Comment doit-on le modifier ?
Exercice 22.42 On définit I
1
=
π
2
0
cos xln (1 + cos x)dx, I
2
=
π
2
0
sin xln (1 + cos x)dx, J
1
=
π
2
0
cos xln (1 + sin x)dx
et J
2
=
π
2
0
sin xln (1 + sin x)dx.
Etablir un lien entre les intégrales I
k
et J
k
.Calculer I
1
et I
2
.
Exercice 22.43 Soient a > 0et b > 0,on pose I=
b
a
e
x
a
−e
b
x
xdx. A l’aide des changements de variables x=at,
puis t=α
xoù αest à choisir, calculer I.
Retrouver le résultat en posant ux =ab.
Exercice 22.44 Trouver fcontinue sur [0,1] telle que f(x) = x
2
−2
1
0
|f(t)|dtx.
Exercice 22.45 Soit fcontinue sur [a, b]telle que 1
b−a
b
a
f(x)dx = 1 et 1
b−a
b
a
f
2
(x)dx = 1. Montrer que
f(x) = 1 sur [a, b].
Exercice 22.46 Calculer 
π
4
0
ln (1 + tan x)dx en posant u=
π
4
−x. En déduire 
1
0
ln (1 + t)
1 + t
2
dt
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CHAPITRE 22. INTÉGRATION 1. LES BASIQUES
Exercice 22.47 A l’aide d’un changement de variable calculer I=
2
1
2
1 + 1
x
2
arctan (x)dx.
(Commentaire de l’élève : cela dépasse les bornes ! ! ! il n’y a même pas une indication ! Réponse du prof : si dans votre
remarque...).
Exercice 22.48 Soient f: [a, b]−→ R(ou C) et g: [a, b]−→ Rdérivables sur [a, b]. On suppose que ∀x∈[a, b],
|f
′
(x)| ≤ g
′
(x).
1. Que vaut 
b
a
f
′
(t)dt ? En déduire que |f(b)−f(a)| ≤ g(b)−g(a).
2. Quel résultat retrouve-t-on si fest à valeurs réelles et si g
′
=Cest constante ?
Exercice 22.49 Soit T > 0et fune fonction Tpériodique sur R, on pose F(x) = 
x+T
x
f(t)dt−
T
0
f(t)dt. Justifier
que Fest dérivable sur Ret déterminer F
′
. En déduire que l’intégrale de fsur une période est constante.
Exercice 22.50 Soit fde classe C
2
sur [0,1] telle que ∀x∈[0,1],f
′′
(x) + (4x−2) f
′
(x) + f(x) = 0, calculer
I=
1
0
x
2
−xf(x)dx.
Exercice 22.51 Soit fune bijection de Rdans Rdérivable dont la dérivée n’est jamais nulle. On suppose que
∀x∈R,
f
−1
(x)
x
f(t)dt =x
2
Déterminer f.
Exercice 22.52 Soit fde classe C
1
sur [−1,1] et croissante, montrer que
1
−1
xf (x)
√1 + x
2
dx ≥0
(Une IPP judieuse peut être utile ···).
Exercice 22.53 Calculer 
4
3
3
4
arg sinh 1
xdx à l’aide d’une IPP.
Exercice 22.54 On définit fpar f(x) = e
x
2
x
0
e
−t
2
dt. Justifier que fest bien définie et est C
∞
sur R, est impaire
et vérifie l’équation différentielle y
′
−2xy = 1. Donner une relation entre f
(n+1)
, f
(n)
et f
(n−1)
pour n≥1.
Exercice 22.55 C’est bien connu, 
−b
−a
f(t)dt =−
b
a
f(t)dt ! Arghhhhhhh ! Non, c’est faux, mais quelles sont les
fonctions continues sur Rpour lesquelles cette égalité est vraie pour tout (a, b)∈R
2
?
Exercice 22.56 Déterminer toutes les fonctions f:R−→ Rcontinues telles que ∀(x, y)∈R
2
,
x+y
x
f(t)dt =
x
x−y
f(t)dt.
Exercice 22.57 Soient fet gdeux fonctions continues sur [a, b]et à valeurs réelles, montrer qu’il existe c∈]a, b[tel
que
f(c)
c
a
g(t)dt =g(c)
b
c
f(t)dt
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