Équations, cours de seconde

Équations, cours de seconde
F.Gaudon
11 juin 2008
Table des matières
1
Résolution d’équations produits ou quotients
1.1 Résolution d’équations produits . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Résolution d’équations quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
Synthèse sur les équations
3
3
Résolutions graphiques
4
1
1
1.1
Résolution d’équations produits ou quotients
Résolution d’équations produits
Propriété :
Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Exemple :
Résolution de l’équation (3x + 2)(4x − 3) = 0 dans l’ensemble des réels. D’après
la propriété énoncée, 3x + 2 = 0 ou 4x − 3 = 0 c’est à dire 3x = 2 ou 4x = 3 ou
encore x = 23 ou x = 43 . L’équation (3x + 2)(4x − 3) = 0 a donc pour solutions
2
et 34 .
3
1.2
Résolution d’équations quotients
Définition :
on appelle valeur interdite d’une fonction f donnée, tout réel x n’appartenant
pas à l’ensemble de définition de la fonction f .
Exemple :
Soit f la fonction définie par f (x) = 2x+3
. Alors 5 est une valeur interdite car
x−5
pour x = 5, le dénominateur serait nul, ce qui rend incalculable l’image de 5 par
f.
Propriété :
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
Exemples d’application :
1. On considère l’équation
(3x + 2)(4x + 1)
= 0.
5x + 3
5x + 3 = 0 si et seulement si 5x = −3 c’est à dire x =
seule valeur interdite.
On résout l’équation sur R − −5
.
3
−3 −5
. 3
5
est donc la
On a (3x+2)(4x+1)
= 0 si et seulement si (3x + 2)(4x + 1) = 0 c’est à dire
5x+3
3x + 2 = 0 ou 4x + 1 = 0 donc x = −2
ou x = −1
. Les solutions de
3
4
−1
l’équation sont donc −2
et
.
3
4
2
2. On considère l’équation
x2 − 2
= 0.
3x − 1
• On détermine les valeurs interdites : 3x − 1 = 0 donne x = 13 .
• On écrit le numérateur sous forme d’un produit en factorisant :
√
√
x2 − 2
(x − 2)(x + 2)
=
3x − 1
3x − 1
• On résout l’équation produit obtenue :
√
√
(x − 2)(x + 2) = 0
√
√
x = 2 ou x = − 2
• On détermine les solutions en supprimant les valeurs interdites qui ne
peuvent être solutions :
√ √
S = {− 2; 2}
2
Synthèse sur les équations
Démarche de résolution :
Pour résoudre une équation, on transforme l’écriture par des développements, des
factorisations, des transpositions d’un membre à l’autre pour :
• Se ramener à une équation du premier degré ;
• se ramener à une équation-produit nul ;
• ou se ramener à une équation quotient nul .
Exemple :
(x + 2)2 = 9
(x + 2)2 − 9 = 0
(x + 2)2 − 32 = 0
(x + 2 − 3)(x + 2 + 3) = 0 d’après l’identité remarquable
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
(x − 1)(x + 5) = 0
C’est une équation produit.
Donc x − 1 = 0 ou x + 5 = 0 c’est à dire x = 1 ou x = −5. L’équation a donc
deux solutions 1 et -5.
3
3
Résolutions graphiques
Propriété :
Soit k un nombre réel, f une fonction et Cf sa représentation graphique dans
un repère. Les solutions de l’équation f (x) = k sont les abscisses des points
d’intersection de la courbe avec la droite parallèle à l’axe des abscisses et
passant par le point de coordonnées (0; k).
Exemple :
Sur la figure ci-contre, est représentée la fonction f définie par f (x) = x2 .
L’équation f (x) = 4 a pour solutions 2 et -2.
Propriété :
Soient f et g deux fonctions et Cf et Cg leur représentation graphique dans un
repère. Les solutions de l’équation f (x) = g(x) sont les abscisses des points
d’intersection des deux courbes Cf et Cg .
4
Exemple :
Les courbes ci-contre sont les représentations graphiques des fonctions f et g
définies par f (x) = x2 et g(x) = − 12 x2 + 6.
Les solutions de l’équation f (x) = g(x) sont -2 et 2.
5