Équations, cours de seconde

Équations, cours de seconde
F.Gaudon
11 juin 2008
Table des matières
1 Résolution d’équations produits ou quotients 2
1.1 Résolution d’équations produits .................. 2
1.2 Résolution d’équations quotients .................. 2
2 Synthèse sur les équations 3
3 Résolutions graphiques 4
1

1 Résolution d’équations produits ou quotients
1.1 Résolution d’équations produits
Propriété :
Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Exemple :
Résolution de l’équation (3x+2)(4x−3) = 0 dans l’ensemble des réels. D’après
la propriété énoncée, 3x+ 2 = 0 ou 4x−3 = 0 c’est à dire 3x= 2 ou 4x= 3 ou
encore x=2
3ou x=3 4. L’équation (3x+ 2)(4x−3) = 0 a donc pour solutions
2
3et 3 4.
1.2 Résolution d’équations quotients
Définition :
on appelle valeur interdite d’une fonction fdonnée, tout réel xn’appartenant
pas à l’ensemble de définition de la fonction f.
Exemple :
Soit fla fonction définie par f(x) = 2x+3
x−5. Alors 5 est une valeur interdite car
pour x= 5, le dénominateur serait nul, ce qui rend incalculable l’image de 5 par
f.
Propriété :
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
Exemples d’application :
1. On considère l’équation
(3x+ 2)(4x+ 1)
5x+ 3 = 0.
5x+ 3 = 0 si et seulement si 5x=−3c’est à dire x=−3
5.−5 3est donc la
seule valeur interdite.
On résout l’équation sur R − −5
3.
On a (3x+2)(4x+1)
5x+3 = 0 si et seulement si (3x+ 2)(4x+ 1) = 0 c’est à dire
3x+ 2 = 0 ou 4x+ 1 = 0 donc x=−2
3ou x=−1 4. Les solutions de
l’équation sont donc −2
3et −1 4.
2

2. On considère l’équation
x2−2
3x−1= 0.
•On détermine les valeurs interdites :3x−1 = 0 donne x=1
3.
•On écrit le numérateur sous forme d’un produit en factorisant :
x2−2
3x−1=(x−√2)(x+√2) 3x−1
•On résout l’équation produit obtenue :
(x−√2)(x+√2) = 0
x=√2ou x=−√2
•On détermine les solutions en supprimant les valeurs interdites qui ne
peuvent être solutions :
S={−√2; √2}
2 Synthèse sur les équations
Démarche de résolution :
Pour résoudre une équation, on transforme l’écriture par des développements, des
factorisations, des transpositions d’un membre à l’autre pour :
•Se ramener à une équation du premier degré ;
•se ramener à une équation-produit nul ;
•ou se ramener à une équation quotient nul .
Exemple :
(x+ 2)2= 9
(x+ 2)2−9 = 0
(x+ 2)2−32= 0
(x+ 2 −3)(x+ 2 + 3) = 0 d’après l’identité remarquable
a2−b2= (a−b)(a+b)
(x−1)(x+ 5) = 0
C’est une équation produit.
Donc x−1 = 0 ou x+ 5 = 0 c’est à dire x= 1 ou x=−5. L’équation a donc
deux solutions 1 et -5.
3

3 Résolutions graphiques
Propriété :
Soit kun nombre réel, fune fonction et Cfsa représentation graphique dans
un repère. Les solutions de l’équation f(x) = ksont les abscisses des points
d’intersection de la courbe avec la droite parallèle à l’axe des abscisses et
passant par le point de coordonnées (0; k).
Exemple :
Sur la figure ci-contre, est représentée la fonction fdéfinie par f(x) = x2.
L’équation f(x) = 4 a pour solutions 2 et -2.
Propriété :
Soient fet gdeux fonctions et Cfet Cgleur représentation graphique dans un
repère. Les solutions de l’équation f(x) = g(x)sont les abscisses des points
d’intersection des deux courbes Cfet Cg.
4

Exemple :
Les courbes ci-contre sont les représentations graphiques des fonctions fet g
définies par f(x) = x2et g(x) = −1
2x2+ 6.
Les solutions de l’équation f(x) = g(x)sont -2 et 2.
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