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Université Abdelhamid Ibn Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et d’Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : AlgébreI
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Correction de la …che N4
Ecrite par Mlle LADJEL Noria assistante de TD
Relations d’équivalence et classes d’équivalence
Exercise 1 Soit <une relation sur un ensemble E.
a) <n’est pas ré‡exive s’ il existe un x2Etelque xn’est pas en relation
avec x:
b) <n’est pas symétrique s’il existe (x; y)2E2telque xa une relation avec
yet yn’est pas en relation avec x:
c) <n’est pas transitive s’il existe (x; y; z)2E3telque xa une relation avec
yet ya une relation avec zet xn’est pas en relation avec z:
Exercise 2 Déterminons les propriétés de la relation d’équivalence des relations
suivantes
a)pour a; b 2Z:a<b,adivise b.
*) (<est re‡exive),(8a2Z:a<a)
Soit a2Z
cette relation n’est pas re‡exive car 02Zmais le zéro ne
divise pas le zéro.
**) (<est symétrique),(8a; b 2Z:a<b)b<a)
Soient a; b 2Z. Supposons que a<b
a<b)adivise b
) 92Z:b=a:
Ainsi bne divise pas toujours aet par suite <n’est pas symétrique.
***)(<est transitive),(8a; b; c 2Z:a<b
b<c)a<c)
1

Soient a; b; c 2Z. Supposons que : a<b
b<c
a<b
b<c)adivise b bdivise c
)92Z:b=a:
92Z:c=b:
) 9;  2Z:c= (a:):
) 9=: 2Z:c=a:
)a<c
donc <est transitive.
Puisque <est non re‡exive alors <ne dé…nie pas une relation d’équivalence.
b) Pour A; B 2 P (Z) : A<B,A\B=;:
*) (<est re‡exive),(8A2 P (Z) : A<A)
La relation <n’est pas ré‡exive car, pout tout A2 P (Z)n;,
A\A=A6=;:
**) (<est symétrique),(8A; B 2 P (Z) : A<B)B<A)
Soient A; B 2 P (Z), on suppose que A<B:
A<B)A\B=;
)B\A=;
)B<A:
d’où <est symétrique.
***) (<est transitive),(8A; B; C 2 P (Z) : A<B
B<C)A<C)
Soient A; B; C 2P(Z)et on suppose qu’on a A<B
B<Calors
A<B
B<C)A\B=; B\C=;
;A\C=;
Car, si on prend par exemple, A=f2;3g; B =f1g; C =
f2;4g 2 P (Z)
on a A\B=;et B\C=;mais A\C=f2g 6=;:
alors <n’est pas transitive.
Ainsi <n’est une relation d’équivalence.
c) Pour a; b 2R:a<b)ab = 0:
*) (<est ré‡exive),(8a2R:a<a)
2

La relation <n’est par ré‡éxive car pour tout a2Ra:a 6= 0:
**) (<est symétrique),(8a; b 2R:a<b)b<a)
Soient a; b 2R:Supposons que a<b;
a<b)ab = 0
)ba = 0 (car le produit est commutatif)
)b<a
d’ou <est symétrique.
***) (<est transitive),(8a; b; c 2R:a<b
b<c)a<c)
Soient a; b; c 2Ret supposons que a<b
b<c
a<b
b<c)ab = 0 bc = 0
;ac = 0 si a6= 0; b = 0 et c 6= 0:
d’où <n’est pas transitive. Donc <n’est pas une relation
d’équivalence.
d) Pour a; b 2R:a<b)ab 6= 0:
*) (<est ré‡exive),(8a2R:a<a)
La relation <n’est pas ré‡exive car pour a= 0 2R;on a:
a:a = 0:
**) (<est symétrique),(8a; b 2R:a<b)b<a)
Soient a; b 2R;supposons qu’on a a<b;
a<b)ab 6= 0
)ba 6= 0 (car le produit est commutatif)
)b<a
d’ou <est symétrique.
***) (<est transitive),(8a; b; c 2R:a<b
b<c)a<c)
Soient a; b; c 2Ret supposons que a<b
b<c
a<b
b<c)ab 6= 0 bc 6= 0
)ac 6= 0
)a<c
3

d’ou <est transitive. Donc <ce n’est une relation d’équivalence
car elle n’est pas re‡exive.
e) Pour a; b 2R:a<b, jabj<5:
*) (<est ré‡exive),(8a2R:a<a)
Soit a2R
on a jaaj= 0 <5donc a<aet par suite <est ré‡exive.
**)(<est symétrique),(8a; b 2R:a<b)b<a)
Soient a; b 2R;on suppose qu’on a a<b;
a<b) jabj<5
) j(ba)j<5
) jbaj<5
)b<a
d’ou <est symétrique
***) (<est transitive),(8a; b; c 2R:a<b
b<c)a<c)
Soient a; b; c 2Ret on suppose qu’on a a<b
b<c
a<b
b<c)jabj<5 jbcj<5
)5< a b < 5
5< b c < 5
) jacj<10
;a<c
donc <est non transitive; et par quancéquant <n’est pas une
relation d’équivalence.
Exercise 3 Pour x; y 2R;dé…nissons la relation suivante :
x<y,xy2Z:
Montrons que <est une relation d’équivalence:
On doit montrer que <est ré‡exive, symétrique et transitive.
*) (<est ré‡exive),(8x2R:x<x)
Soit x2R
on a xx= 0 2Zalors 8x2R:x<x.
Donc <est ré‡exive.
4

**) (<est symétrique),(8x; y 2R:x<y)y<x)
Soient x; y 2R;on suppose qu’on a x<y;
x<y)xy2Z
)yx=(xy)2Z
)y<x
d’où <est symétrique.
**) (<est transitive),(8x; y;z2R:x<y
y<z)x<z)
Soient a; b; c 2Ret supposons qu’e x<y
y<z
x<y
y<z)xy2Z yz2Z
)xz= (xy)+(yz)2Z
)x<z;
d’où <est transitive.
Puisque <est ré‡exive, symétrique et transitive alors <est une relation
d’équivalence sur R.
Exercise 4 Pour (a; b);(c; d)2R2;dé…nissons la relation suivante :
(a; b)<(c; d),2ab= 2cd:
Montrons que <est une relation d’équivalence
On doit montrer que <est ré‡exive, symétrique et transitive.
*) (<est ré‡exive),(8(a; b)2R2: (a; b)<(a; b))
Soit (a; b)2R2
on a 2ab= 2abalors 8(a; b)2R2: (a; b)<(a; b).
Donc <est ré‡exive.
**) (<est symétrique),(8(a; b);(c; d)2R2: (a; b)<(c; d))(c; d)<(a; b))
Soient (a; b);(c; d)2R2;on suppose qu’on a (a; b)<(c; d) ;
(a; b)<(c; d))2ab= 2cd
)2cd= 2ab
)(c; d)<(a; b)
d’où <est symétrique.
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