l1td4 correction

Université Abdelhamid Ibn Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et d’Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : AlgébreI
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Correction de la …che N 4
Ecrite par Mlle LADJEL Noria assistante de TD
Relations d’équivalence et classes d’équivalence
Exercise 1 Soit < une relation sur un ensemble E.
a) < n’est pas ré‡exive s’ il existe un x 2 E telque x n’est pas en relation
avec x:
b) < n’est pas symétrique s’il existe (x; y) 2 E 2 telque x a une relation avec
y et y n’est pas en relation avec x:
c) < n’est pas transitive s’il existe (x; y; z) 2 E 3 telque x a une relation avec
y et y a une relation avec z et x n’est pas en relation avec z:
Exercise 2 Déterminons les propriétés de la relation d’équivalence des relations
suivantes
a)pour a; b 2 Z : a<b , a divise b.
*) (< est re‡exive),(8a 2 Z : a<a)
Soit a 2 Z
cette relation n’est pas re‡exive car 0 2 Z mais le zéro ne
divise pas le zéro.
**) (< est symétrique),(8a; b 2 Z : a<b ) b<a)
Soient a; b 2 Z. Supposons que a<b
a<b
) a divise b
) 9 2 Z : b = a:
Ainsi b ne divise pas toujours a et par suite < n’est pas symétrique.
***)(< est transitive),(8a; b; c 2 Z :
1
a<b
) a<c)
b<c
Soient a; b; c 2 Z. Supposons que :
a<b
b<c
)
a divise b
b divise c
)
9 2 Z : b = a:
9 2 Z : c = b:
a<b
b<c
) 9 ; 2 Z : c = (a: ):
) 9 = : 2 Z : c = a:
) a<c
donc < est transitive.
Puisque < est non re‡exive alors <ne dé…nie pas une relation d’équivalence.
b) Pour A; B 2 P (Z) : A<B , A \ B = ;:
*) (< est re‡exive),(8A 2 P (Z) : A<A)
La relation < n’est pas ré‡exive car, pout tout A 2 P (Z) n;,
A \ A = A 6= ;:
**) (< est symétrique),(8A; B 2 P (Z) : A<B ) B<A)
Soient A; B 2 P (Z), on suppose que A<B :
A<B
) A\B =;
) B\A=;
) B<A:
d’où < est symétrique.
A<B
) A<C)
B<C
A<B
Soient A; B; C 2 P (Z) et on suppose qu’on a
alors
B<C
***) (< est transitive),(8A; B; C 2 P (Z) :
A<B
B<C
A\B =;
B\C =;
)
; A\C =;
f 2; 4g 2 P (Z)
Car, si on prend par exemple, A = f 2; 3g ; B = f1g ; C =
on a A \ B = ; et B \ C = ; mais A \ C = f 2g =
6 ;:
alors < n’est pas transitive.
Ainsi < n’est une relation d’équivalence.
c) Pour a; b 2 R : a<b ) ab = 0:
*) (< est ré‡exive),(8a 2 R : a<a)
2
La relation < n’est par ré‡éxive car pour tout a 2 R a:a 6= 0:
**) (< est symétrique),(8a; b 2 R : a<b ) b<a)
Soient a; b 2 R: Supposons que a<b;
a<b
)
)
)
ab = 0
ba = 0 (car le produit est commutatif )
b<a
d’ou < est symétrique.
***) (< est transitive),(8a; b; c 2 R :
Soient a; b; c 2 R et supposons que
a<b
b<c
d’équivalence.
a:a = 0:
a<b
) a<c)
b<c
a<b
b<c
ab = 0
bc = 0
; ac = 0 si a 6= 0; b = 0 et c 6= 0:
)
d’où < n’est pas transitive. Donc < n’est pas une relation
d) Pour a; b 2 R : a<b ) ab 6= 0:
*) (< est ré‡exive),(8a 2 R : a<a)
La relation < n’est pas ré‡exive car pour a = 0 2 R;on a:
**) (< est symétrique),(8a; b 2 R : a<b ) b<a)
Soient a; b 2 R; supposons qu’on a a<b;
a<b
) ab 6= 0
) ba =
6 0 (car le produit est commutatif )
) b<a
d’ou < est symétrique.
***) (< est transitive),(8a; b; c 2 R :
Soient a; b; c 2 R et supposons que
a<b
b<c
ab 6= 0
bc 6= 0
) ac 6= 0
) a<c
)
3
a<b
) a<c)
b<c
a<b
b<c
d’ou < est transitive. Donc < ce n’est une relation d’équivalence
car elle n’est pas re‡exive.
e) Pour a; b 2 R : a<b , ja bj < 5:
*) (< est ré‡exive),(8a 2 R : a<a)
Soit a 2 R
on a ja aj = 0 < 5 donc a<a et par suite < est ré‡exive.
**)(< est symétrique),(8a; b 2 R : a<b ) b<a)
Soient a; b 2 R; on suppose qu’on a a<b;
a<b
)
)
)
)
ja bj < 5
j (b a)j < 5
jb aj < 5
b<a
d’ou < est symétrique
a<b
) a<c)
b<c
a<b
Soient a; b; c 2 R et on suppose qu’on a
b<c
***) (< est transitive),(8a; b; c 2 R :
a<b
b<c
ja
jb
)
bj < 5
cj < 5
5<a
5<b
)
b<5
c<5
) ja cj < 10
; a<c
donc < est non transitive; et par quancéquant < n’est pas une
relation d’équivalence.
Exercise 3 Pour x; y 2 R; dé…nissons la relation suivante :
x<y , x
y 2 Z:
Montrons que < est une relation d’équivalence:
On doit montrer que < est ré‡exive, symétrique et transitive.
*) (< est ré‡exive),(8x 2 R : x<x)
Soit x 2 R
on a x x = 0 2 Z alors 8x 2 R : x<x.
Donc < est ré‡exive.
4
**) (< est symétrique),(8x; y 2 R : x<y ) y<x)
Soient x; y 2 R; on suppose qu’on a x<y;
x<y
) x y2Z
) y x = (x
) y<x
y) 2 Z
d’où < est symétrique.
x<y
) x<z)
y<z
x<y
Soient a; b; c 2 R et supposons qu’e
y<z
**) (< est transitive),(8x; y; z 2 R :
x<y
y<z
)
x
y
y2Z
z2Z
) x z = (x
) x<z;
y) + (y
z) 2 Z
d’où < est transitive.
Puisque < est ré‡exive, symétrique et transitive alors < est une relation
d’équivalence sur R.
Exercise 4 Pour (a; b) ; (c; d) 2 R2 ; dé…nissons la relation suivante :
(a; b) < (c; d) , 2a
b = 2c
d:
Montrons que < est une relation d’équivalence
On doit montrer que < est ré‡exive, symétrique et transitive.
*) (< est ré‡exive),(8 (a; b) 2 R2 : (a; b) < (a; b))
Soit (a; b) 2 R2
on a 2a b = 2a b alors 8 (a; b) 2 R2 : (a; b) < (a; b).
Donc < est ré‡exive.
**) (< est symétrique),(8 (a; b) ; (c; d) 2 R2 : (a; b) < (c; d) ) (c; d) < (a; b))
Soient (a; b) ; (c; d) 2 R2 ; on suppose qu’on a (a; b) < (c; d) ;
(a; b) < (c; d) ) 2a b = 2c d
) 2c d = 2a b
) (c; d) < (a; b)
d’où < est symétrique.
5
**) (< est transitive),(8 (a; b) ; (c; d) ; (e; f ) 2 R2 :
(a; b) < (e; f ))
Soient (a; b) ; (c; d) ; (e; f ) 2 R2 et on suppose qu’on a
(a; b) < (c; d)
(c; d) < (e; f )
(a; b) < (c; d)
(c; d) < (e; f )
)
(a; b) < (c; d)
(c; d) < (e; f )
2a b = 2c d
2c d = 2e f
) 2a b = 2e f
) (a; b) < (e; f ) ;
)
d’où < est transitive.
Puisque < est ré‡exive, symétrique et transitive alors < est une relation
d’équivalence sur R2 .
Exercise 5 Dé…nissons une application f : R ! R par f (x) = x2 + 1:
Pour a; b 2 R; dé…nissons la relation suivante :
a<b , f (a) = f (b) :
a) Montrons que < est une relation d’équivalence sur R
(< est une relation d’équivalence sur R),(< est ré‡exive, symétrique et
transitive)
*) (< est ré‡exive),(8a 2 R : a<a)
Soit a 2 R on a f (a) = f (a) alors a<a; et donc < est ré‡exive.
**) (< est symétrique), (8a; b 2 R : a<b ) b<a)
Soient a; b 2 R; on suppose qu’on a a<b;
a<b
) f (a) = f (b)
) f (b) = f (a)
) b<a
d’où < est symétrique.
a<b
) a<c)
b<c
a<b
Soient a; b; c 2 R et on suppose qu’on a
b<c
***) (< est transitive),(8a; b; c 2 R :
a<b
b<c
f (a) = f (b)
f (b) = f (c)
)
) f (a) = f (c) ;
) a<c
d’où < est transitive.
6
Puisque < est re‡exive, symétrique et transitive alors < dé…nie bien une
relation d’équivalence sur R.
b)
fx 2 R=x<3g = fx 2 R=f (x) = f (3)g
=
x 2 R=x2 + 1 = 10
=
x 2 R=x2 = 9
= f 3; 3g :
Exercise 6 Pour (a; b) ; (c; d) 2 R2 ; dé…nissons la relation suivante :
(a; b) < (c; d) , a2 + b2 = c2 + d2 :
a) Montrons que < est une relation d’équivalence c-à-dire on doit montrer
que < est ré‡exive, symétrique et transitive.
*) (< est ré‡exive),(8 (a; b) 2 R2 : (a; b) < (a; b))
Soit (a; b) 2 R2
on a a2 + b2 = a2 + b2 alors 8 (a; b) 2 R2 : (a; b) < (a; b).
Donc < est ré‡exive.
**) (< est symétrique) , 8 (a; b) ; (c; d) 2 R2 : (a; b) < (c; d) ) (c; d) < (a; b) :
Soient (a; b) ; (c; d) 2 R2 ; on suppose qu’on a (a; b) < (c; d) ;
(a; b) < (c; d) ) a2 + b2 = c2 + d2
) c2 + d2 = a2 + b2
) (c; d) < (a; b)
d’où < est symétrique.
(a; b) < (c; d)
) (a; b) < (e; f )
(c; d) < (e; f )
(a; b) < (c; d)
Soient (a; b) ; (c; d) ; (e; f ) 2 R2 et on suppose qu’on a
(c; d) < (e; f )
**) (< est transitive) ,
8 (a; b) ; (c; d) ; (e; f ) 2 R2 :
(a; b) < (c; d)
(c; d) < (e; f )
a2 + b2 = c2 + d2
c2 + d2 = e2 + f 2
)
) a2 + b2 = e2 + f 2
) (a; b) < (e; f ) ;
d’où < est transitive.
Puisque < est ré‡exive, symétrique et transitive alors < est une relation
d’équivalence sur R2 .
7
b)
(x; y) 2 R2 = (x; y) < (0; 0)
=
(x; y) 2 R2 =x2 + y 2 = 0
= f(0; 0)g :
c)
(x; y) 2 R2 = (x; y) < (1; 0)
=
(x; y) 2 R2 =x2 + y 2 = 1
= l’ensemble des points d’un cercle de centre (0; 0) et de rayon 1:
les cinq éléments distincts de l’ensemble sont par exemple :
(1; 0) ; (0; 1) ; ( 1; 0) ; (0; 1) ; p12 ; p12 :
Exercise 7 a) Trouvons tous les entiers x tels que 0
On a
2x
x < 8 et 2x
6(mod 8)
6(mod 8) ) (2x 6) est divisible par 8
) 9k 2 Z : 2x 6 = 8k
) 9k 2 Z : x 3 = 4k;
or 0 x < 8 alors 3 x 3 < 5 ainsi (x 3) 2 f0; 4g
et par suite x 2 f3; 7g :
b) Si m (le dividend) et d (le diviseur) sont deux entiers positifs, alors la
division de m par d implique un quotient q et un reste r comme suit :
d
:
q
m
r
De plus, on sait que 0
r < d.
Theorem 8 L’algorithme de division des entiers. Soit m un entier quelconque
et soit d un entier positif. Alors il existe des entiers uniques q et r tels que
0 r < d and m = dq + r.
0
Ainsi, pour m entier quelconque et d = 8; il existe un unique r tels que
r < 8 et m r (mod 8) :
c) D’aprés l’algorithme de division :
1038
6
8
129
c’est à dire : 1038 = 129 8 + 6 = 6 (mod 8) donc r1 = 6:
De même, on trouve par une division simple : 1038 =
6 (mod 8) donc r2 = 6:
8
129
8
6 =
Exercise 9 Soit n > 1
a)
30
6 (mod n) ) 24 0 (mod n)
) n 2 f2; 3; 4; 6; 8; 12; 24g :
30
7 (mod n) ) 23
) n 2 f23g :
b)
0 (mod n)
Exercise 10 Soit m; n 2 N tels que m divise n;
m divise n ) 9 2 Z : n = m :
Montrons que a
Supposons que a
a
b (mod n) ) a
b (mod n)
b (mod n) )
)
)
)
b (mod m)
9k
9k
9
a
2 Z : a = nk + b
2 Z : a = (m ) k + b
=k 2Z:a=m +b
b (mod m) :
Exercise 11 Soit n 2 N
a) Prouvons ou désaprouvons que a
Suposons que a b (mod n)
a
b (mod n) )
)
)
)
)
9k
9k
9k
9k
a2
b (mod n) ) a2
b2 (mod n)
2 Z : a = nk + b
2
2 Z : a2 = (nk + b)
2
2 2
2 Z : a = n k + 2nkb + b2
2 Z : a2 = n nk 2 + 2kb + b2
b2 (mod n) :
Donc nous avons : a b (mod n) ) a2 b2 (mod n)
b) Prouvons ou désaprouvons que a2 b2 (mod n) ) a b (mod n)
Suposons que a2 b2 (mod n) . Alors :
a2
b2
0 (mod n) ) (a b) (a + b) 0 (mod n)
) 9k 2 Z : (a b) (a + b) = kn
k
) 9k 2 Z : (a b) = (a+b)
n si
Donc :
k
2 Z; alors l’implication est prouvée;
si (a+b)
k
mais si si (a+b)
2
= Z; alors l’implication est désaprouvée.
9
k
(a+b)
2 Z:
Exercise 12 Soit la relation d’équivalence dé…nit comme suit :pour (a; b) ; (c; d) 2
R2 on a
(a; b) < (c; d) , a2 + b2 = c2 + d2 :
a) déterminons la classe d’équivalence
[(3; 4)]
(x; y) 2 R2 = (3; 4) < (x; y)
=
(x; y) 2 R2 =32 + 42 = x2 + y 2
=
=
(x; y) 2 R2 =x2 + y 2 = 25
= Cercle de centre (0; 0) et de rayon 5:
b) Le graphe de [(3; 4)]
y
5
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
5
x
-2
-3
-4
-5
c) Montrons les propositions
suivantes :
p
a) [(0; 2)] = 1; 3
p 2
p
On a 02 + 22 = 12 +
3 = 4 donc (0; 2) < 1; 3 alors
p
h
p i
(0; 2)
p 2 1; 3
) [(0; 2)] = 1; 3 :
1; 3 2 [(0; 2)]
b) [(0; 2)] 6= [(1; 1)]
On a 12 + 12 = 2 6= 4 alors (1; 1) 2
= [(0; 2)] ainsi [(0; 2)] 6= [(1; 1)] :
c) (2; 0) 2 [(0; 2)]
on a 22 + 02 = 02 + 22 = 4 alors (0; 2) < (2; 0) ainsi (2; 0) 2 [(0; 2)] :
d) [(1; 1)] \ [(2; 1)] = ;:
On a 12 + 12 6= 22 + 12 ; donc (1; 1) n’a pas de relation avec (2; 1) et
par suite (1; 1) 2
= [(2; 1)]
10
ainsi [(1; 1)] \ [(2; 1)] = ;:
e) (1; 0) 2
= [(1; 1)] :
On a 12 + 02 6= 12 + 12 ; donc (1; 0) n’a pas de relation avec (1; 1) et
par suite (1; 0) 2
= [(1; 1)]
d) Montrons que pour tout (a; b) 2 R2 ; il existe c 2 R tel que c
0 et
[(a; b)] = [(c; 0)] :
Soit (a; b) 2 R2
on a
[(a; b)]
=
,
[(c; 0)] ,
(a; b) < (c; 0)
;
(c; 0) < (a; b)
a2 + b2 = c2 + 02
c2 + 02 = a2 + b2
, a2 + b2 = c2
p
, c = a2 + b2
p
alors 8 (a; b) 2 R2 ; 9 c = a2 + b2 2 R tel que c 0 et [(a; b)] = [(c; 0)] :
e) Montrons que pour tous nombres réels non négatifs c et d , [(c; 0)] =
[(d; 0)] , c = d:
Soient c; d 2 R+ , et supposons que [(c; 0)] = [(d; 0)]
On a :
[(c; 0)]
=
,
,
,
[(d; 0)] ,
(d; 0) < (c; 0)
;
(c; 0) < (d; 0)
d2 + 02 = c2 + 02
c2 + 02 = d2 + 02
d2 = c2
c = d:
11