algebre1

Alg`ebre 1 : Calculs alg´ebriques & Alg`ebre
lin´eaire
1
−1
1 2−1−2(1,0)
(-2,1)
(0,1)
x
y
v
O
Illustration de la base canonique de R2. Les vecteurs bleu et orange sont les ´el´ements de cette base ; le vecteur
vert peut ˆetre exprim´e en fonction des autres vecteurs, et donc est lin´eairement d´ependant.

Sommaire
I´ El´ements de logique et de th´eorie des ensembles 1
1´ El´ements de logique 2
1.1 Proposition et connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Raisonnement math´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2´ El´ements de th´eorie des ensembles 4
2.1 Op´erations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 L’ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II Polynˆomes 11
3 G´en´eralit´es 12
3.1 D´efinitions et op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 D´eriv´ees d’un polynˆome et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.1 D´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.2 Racines d’un polynˆome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Arithm´etique dans K[X]16
4.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Polynˆomes irr´eductibles et P GCD de 2 polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 D´ecomposition en facteurs irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3.1 Cas C[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3.2 Cas R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
III Espaces vectoriels 18
5 D´efinitions et exemples 19
5.1 E={0}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2 E=Kn, n ∈N∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.3 K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.4 L’ensemble des suites `a valeurs dans K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5 L’ensemble des applications de T`a valeurs dans K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 Sous-espaces vectoriels 22
6.1 D´efinitions-exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.2 Intersection et somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.3 Sous-espace vectoriel engendr´e par une famille finie de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7 Familles g´en´eratrices et libres 26
7.1 Familles g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.2 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2

8 Bases et dimension 27
8.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.2 Th´eor`emes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.3 Cons´equences du th´eor`eme de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9 D´etermination pratique de la dimension d’un espace vectoriel 29
9.1 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9.2 Calcul du rang d’une famille finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
IV Applications lin´eaires et Matrices 30
10 Applications lin´eaires 31
10.1 D´efinitions, propri´et´es, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10.2 Noyau et image d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10.3 Homoth´eties, projections, sym´etries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10.3.1 Homoth´eties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10.3.2 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.3.3 Sym´etries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
11 Matrices 35
11.1 D´efinitions, op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
11.2 Repr´esentation des applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
11.3 Matrices carr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3

Premi`ere partie
´
El´ements de logique et de th´eorie des
ensembles
1

Chapitre 1
´
El´ements de logique
1.1 Proposition et connecteurs logiques
D´efinition : Une proposition est un ´enonc´e math´ematique (ou non) qui poss`ede l’une des valeurs de v´erit´e
suivante : vraie (V) ou fausse (F).
Exemples :
1. «Il existe des hommes immortels »F (par exp´erience).
2. «L’ensemble des nombres entiers naturels premiers est infini »V (d´emontrable math´ematiquement).
N´egation : Soit P une proposition.
P non(P)
V F
F V
non(P) contraire logique de (P).
Conjonction et : Soient P et Q deux propositions.
P Q P et Q
V V V
V F F
F V F
F F F
(P et Q) est V si P et Q sont simultan´ements V.
Disjonction ou :
P Q P ou Q
V V V
V F V
F V V
F F F
(P ou Q) est V si l’une des propositions est V.
Implication : ⇒
(P ⇒Q) est synonyme de (non(P) ou Q) .
P non(P) Q P ⇒Q
V F V V
V F F F
F V V V
F V F V
– Le F implique n’importe quoi.
– (P ⇒Q) est F uniquement lorsque P vraie et Q fausse.
(P ⇒Q) V si et seulement si on a : si P est vraie alors Q est vraie.
2