TD DU CHAPITRE 2 – Polynômes `a coefficients dans R ou C

Université de Bordeaux - 2016 2017
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T D DU CHAPITRE 2
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L2 - 4TTI302U (Algèbre 2)
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Polynômes à coefficients dans R ou C ✆
E XERCICE 1
Déterminer le groupe des inversibles de K[X ], noté (K[X ])∗ , c’est-à-dire l’ensemble
(K[X ])∗ = {P ∈ K[X ], ∃Q ∈ K[X ]/PQ = 1}.
E XERCICE 2
1 ) Définir l’opération de composition notée ◦ sur K[X ] avec K = R ou C.
Quel est le degré de P ◦ Q ?
2 ) Déterminer les P tels que P ◦ P = P.
E XERCICE 3
Soit a, b deux nombres complexes. Donner une forme réduite de A =
n
∏ (a + bωk ), où les ωk désignent les
k=1
racines n-ième de l’unité.
E XERCICE 4
Soit P = a0 + a1 X + ... + an X n ∈ C[X ]. On pose
M = sup |P(z)|.
|z|=1
Montrer que tous les coefficients de P sont majorés par M.
♣ I NDICATION – Commencer par calculer P(1) + ... + P(ω n ) avec ω une racine (n + 1)-ième de l’unité.
E XERCICE 5
À quelle condition nécessaire et suffisante sur λ ∈ C et µ ∈ C le polynôme X 4 + X 3 + λ X 2 + µ X + 2 est-il
divisible par X 2 + 2 ?
E XERCICE 6
Montrer que le polynôme Q = X 3 − 3X 2 + 3X − 1 divise
P = 2X n+2 − (n + 1)(n + 2)X 2 + 2n(n + 2)X − n(n + 1).
E XERCICE 7
Montrer que pour tout n ∈ N∗ , nX n+2 − (n + 2)X n+1 + (n + 2)X − n est divisible par (X − 1)3 .
E XERCICE 8
Calculer le reste dans la division Euclidienne de (cos α + X sin α )n avec α ∈]0, π [ et n ∈ N∗ .
E XERCICE 9
Soit P ∈ K[X ].
1 ) Montrer que P(X ) − X divise P ◦ P(X ) − P(X ).
2 ) En déduire que P(X ) − X divise P ◦ P(X ) − X .
3 ) On note Pn (X ) le polynôme P ◦ P ◦ ... ◦ P. Établir que P(X ) − X divise Pn (X ) − X .
E XERCICE 10
Soit (Pn )n∈N la suite de K[X ] définie par
P0 = 0, P1 = 1,
∀n ∈ N, Pn+2 = X Pn+1 − Pn.
2
1 ) Montrer que pour tout entier n ∈ N, Pn+1
= 1 + Pn Pn+2 .
2 ) En déduire que pour tout entier n, Pn et Pn+1 sont premiers entre eux.
3 ) Établir que pour tout m ∈ N et tout n ∈ N∗ , on a
Pm+n = Pn Pm+1 − Pn−1 Pm .
4 ) Montrer que pour tout m ∈ N, et pour tout n ∈ N∗ ,
PGCD(Pm+n , Pn ) = PGCD(Pn , Pm ) .
En déduire que PGCD(Pm , Pn ) = PGCD(Pn , Pr ) où r est le reste de la division euclidienne de m par n.
5 ) Conclure que PGCD(Pn , Pm ) = PPGCD(m,n) .
E XERCICE 11
1 ) Soit (P, a, b) ∈ C[X ] × C2. Quel est le reste de la division Euclidienne de P par (X − a)(X − b) ? Traiter le
cas a 6= b puis a = b.
2 ) En déduire le reste de la division Euclidienne de (X + 1)2n+1 − X 2n+1 par X 2 + X + 1 pour tout entier
n ∈ N.
E XERCICE 12
1 ) Soit p un premier, n1 , . . . , n p des entiers strictement positifs et d leur pgcd. Soit z une racine de X n1 + . . . +
X n p − p. Montrer que |z| ≥ 1.
2 ) Soit
X n1 + . . . + X n p − p
Q=
Xd − 1
Montrer que Q est une somme de monômes du type (X d ) j avec j entier strictement positif.
E XERCICE 13
Soient K un corps et a1 , ..., an ∈ K deux à deux distincts.
1 ) Calculer
n
X − aj
∑ ∏ ai − a j .
i=1 j6=i
n
2 ) On pose A(X ) = ∏ (X − a j ). Calculer
j=1
n
1
∑ A′(ai ) .
i=1
E XERCICE 14
Soit P ∈ Z[X ] unitaire. Montrer que toute racine rationnelle est nécessairement un entier.
E XERCICE 15
Soit n ∈ N, montrer que le polynôme
n
Xk
∑ n’admet pas de racines multiples dans C.
k=0 k!
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E XERCICE 16
1 ) Étant donné un polynôme P ∈ K[X ], justifier l’existence d’un polynôme primitif de P, c’est-à-dire l’existence de Q ∈ K[X ] tel que Q′ = P où ′ désigne la dérivée formelle habituelle sur les polynômes.
2 ) Trouver les polynômes P ∈ R[X ] tels que
∀k ∈ Z,
Z k+1
P(t)dt = k + 1.
k
E XERCICE 17
Soit P ∈ R[X ]. Montrer qu’il y a équivalence entre les deux assertions suivantes
— ∀x ∈ R, P(x) > 0,
— ∃(A, B) ∈ R[X ]2 ; P = A2 + B2 .
E XERCICE 18 (L AGUERRE )
Pour n ∈ N, on définit Ln : R → R par
Ln (x) = ex e−x xn )(n) .
Observer que Ln est une fonction polynomiale dont on déterminera le degré et le coefficient dominant.
E XERCICE 19
On définit une suite de polynômes (Pn )n∈N par
P0 = 2, P1 = X ,
∀n ∈ N, Pn+2 = X Pn+1 − Pn .
1 ) Calculer P2 et P3 . Déterminer degré et coefficient dominant de Pn .
2 ) Montrer que pour tout n ∈ N, et tout z ∈ C∗ , on a
1
1
= zn + n .
Pn z +
z
z
3 ) En déduire une expression simple de Pn (2 cos θ ) pour θ ∈ R.
4 ) Déterminer les racines de Pn .
E XERCICE 20
1 ) Soit P ∈ R[X ]. Donner le degré et le coefficient dominant du polynôme
1
(P(X + 1) − P(X − 1)) .
2
2 ) Montrer qu’il existe un unique polynôme Pn ∈ Rn [X ] tel que
1
(Pn (X + 1) − Pn (X − 1)) = X n .
2
3 ) Calculer P0 , P1 , P2 , P3 .
4 ) Montrer que la famille (Pk )06k6n est une base de Rn [X ].
(k)
5 ) Trouver une relation entre Pn′ , Pn−1 et en déduire Pn en fonction de Pn−k .
6 ) Exprimer Pn (X +2) en fonction de P0 , ..., Pn et en déduire une relation de récurrence donnant Pn en fonction
de P0 , ..., Pn .
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E XERCICE 21
On souhaite déterminer les couples (P, Q) ∈ R[X ]2 tels que
P2 + (1 − X 2)Q2 = 1.
1 ) Déterminer les couples tels que P soit constant.
2 ) Supposons à présent que deg(P) = n > 0. Montrer que nécessairement P′ = ±nQ avec n ∈ N∗ puis que
l’on peut se contenter de la relation P′ = nQ.
3 ) Montrer alors que P est solution d’une équation différentielle scalaire du second ordre à coefficients non
constants et la résoudre.
♣ I NDICATION – On pourra effectuer le changement de variable t = cos θ où t désigne la variable de
l’équation différentielle.
1 ′
4 ) Montrer alors que (P, Q) = ±Tn , ± Tn où Tn désigne le n-ième polynôme de T CHEBYCHEV
n
Tn = cos(n arccos(θ )).
Justifier que Tn est un polynôme.
E XERCICE 22 (P ROBL ÈME )
On définit pour tout entier n ∈ N les polynômes
Un =
1)
1 n
X (X − 1)n ,
n!
(n)
Pn = Un .
a. Expliciter P0 , P1 , P2 , P3 .
b. Pour tout entier n ∈ N, montrer que Pn (1−X ) = (−1)n Pn (X ). Qu’en déduit-on sur la courbe représentative
de Pn ?
c. Montrer que Pn ∈ Z[X ] et est de degré n. On développera le polynôme Un avant de le dériver.
Préciser ensuite le coefficient dominant et le coefficient constant de Pn ainsi que Pn (1).
d. En appliquant la formule de L EIBNIZ, montrer que
n 2
n
Pn = ∑
X n−k (X − 1)k .
k
k=0
Retrouver ainsi la valeur du coefficient constant de Pn et Pn (1). Justifier également que :
n 2
2n
n
∑ k = n .
k=0
2 ) Propriétés intégrales
a. Soient n ∈ N et f : [0, 1] → R une application C n .
En intégrant par parties n fois, montrer que :
Z 1
0
Un (t) f
En déduire que pour tout Q ∈ R[X ], deg Q < deg P ⇒
(n)
Z 1
0
b. Par des intégrations par parties, calculer
En déduire que pour tout n ∈ N,
Z 1
0
Z 1
n
(t) dt = (−1)
Z 1
0
Pn (t)Q(t) dt = 0.
t n (1 − t)m dt où m, n sont deux entiers.
0
Un (t) dt =
(−1)n n!
.
(2n + 1)!
c. Montrer que
Z 1
0
Pn (t)Pm (t) dt = 0,
si m 6= n,
on dit que (Pn )n∈N est une famille orthogonale dans L2 ([0, 1]). Montrer que
Z 1
0
Pn (t) f (t) dt.
Pn2 (t) dt =
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1
.
2n + 1
3 ) Racines des polynômes Pn — Soit n ∈ N∗ . Dans cette question on démontre par deux méthodes différentes
que le polynôme Pn possède n racines distinctes et que ses racines sont dans ]0, 1[.
a. Soit S = {x1 , ..., x p } l’ensemble éventuellement vide des racines de Pn dans ]0, 1[ et qui sont de
multiplicité impaire, en convenant que x1 < .... < x p .
p
/
Supposer que p < n et utiliser 2a) pour Q = ∏ (X − xk ) (ou Q = 1 si S = 0).
k=1
b. Autre méthode — revenir à la définition de Pn et utiliser le théorème de Rolle.
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