TD DU CHAPITRE 2 – Polynômes `a coefficients dans R ou C

Universit´e de Bordeaux - 2016 2017 L2 - 4TTI302U (Alg`ebre 2)
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TD DU CHAPITRE 2–Polynˆ omes ` a coefficients dans Rou C
EXERCICE 1
D´eterminer le groupe des inversibles de K[X], not´e (K[X])∗, c’est-`a-dire l’ensemble
(K[X])∗={P∈K[X],∃Q∈K[X]/PQ =1}.
EXERCICE 2
1 ) D´efinir l’op´eration de composition not´ee ◦sur K[X]avec K=Rou C.
Quel est le degr´e de P◦Q?
2 ) D´eterminer les Ptels que P◦P=P.
EXERCICE 3
Soit a,bdeux nombres complexes. Donner une forme r´eduite de A=
n
∏
k=1
(a+b
ω
k), o`u les
ω
kd´esignent les
racines n-i`eme de l’unit´e.
EXERCICE 4
Soit P=a0+a1X+... +anXn∈C[X]. On pose
M=sup
|z|=1
|P(z)|.
Montrer que tous les coefficients de Psont major´es par M.
♣INDICATION – Commencer par calculer P(1) + ... +P(
ω
n)avec
ω une racine (n+1)-i`eme de l’unit´e.
EXERCICE 5
`
A quelle condition n´ecessaire et suffisante sur
λ ∈Cet µ ∈Cle polynˆome X4+X3+ λ X2+ µ X+2 est-il
divisible par X2+2 ?
EXERCICE 6
Montrer que le polynˆome Q=X3−3X2+3X−1 divise
P=2Xn+2−(n+1)(n+2)X2+2n(n+2)X−n(n+1).
EXERCICE 7
Montrer que pour tout n∈N∗,nXn+2−(n+2)Xn+1+ (n+2)X−nest divisible par (X−1)3.
EXERCICE 8
Calculer le reste dans la division Euclidienne de (cos
α +Xsin α )navec α ∈]0, π [et n∈N∗.
EXERCICE 9
Soit P∈K[X].
1 ) Montrer que P(X)−Xdivise P◦P(X)−P(X).
2 ) En d´eduire que P(X)−Xdivise P◦P(X)−X.
3 ) On note Pn(X)le polynˆome P◦P◦... ◦P.´ Etablir que P(X)−Xdivise Pn(X)−X.

EXERCICE 10
Soit (P
n)n∈Nla suite de K[X]d´efinie par
P
0=0,P 1=1,∀n∈N,P n+2=XP n+1−P n.
1 ) Montrer que pour tout entier n∈N,P2
n+1=1+P
nP n+2.
2 ) En d´eduire que pour tout entier n,P
net P n+1sont premiers entre eux.
3 ) ´ Etablir que pour tout m∈Net tout n∈N∗, on a
P
m+n=P nP m+1−P n−1P m.
4 ) Montrer que pour tout m∈N, et pour tout n∈N∗,
PGCD(P
m+n,P n) = PGCD(P n,P m).
En d´eduire que PGCD(P
m,P n) = PGCD(P n,P r)o`u rest le reste de la division euclidienne de mpar n.
5 ) Conclure que PGCD(P
n,P m) = P
PGCD(m,n).
EXERCICE 11
1 ) Soit (P,a,b)∈C[X]×C2. Quel est le reste de la division Euclidienne de Ppar (X−a)(X−b)? Traiter le
cas a6=bpuis a=b.
2 ) En d´eduire le reste de la division Euclidienne de (X+1)2n+1−X2n+1par X2+X+1 pour tout entier
n∈N.
EXERCICE 12
1 ) Soit pun premier, n1,...,npdes entiers strictement positifs et dleur pgcd. Soit zune racine de Xn1+...+
Xnp−p. Montrer que |z| ≥ 1.
2 ) Soit
Q=Xn1+...+Xnp−p
Xd−1
Montrer que Qest une somme de monˆomes du type (Xd)javec jentier strictement positif.
EXERCICE 13
Soient Kun corps et a1,...,an∈Kdeux `a deux distincts.
1 ) Calculer n
∑
i=1∏
j6=i
X−aj
ai−aj
.
2 ) On pose A(X) =
n
∏
j=1
(X−aj). Calculer
n
∑
i=1
1
A′(ai).
EXERCICE 14
Soit P∈Z[X]unitaire. Montrer que toute racine rationnelle est n´ecessairement un entier.
EXERCICE 15
Soit n∈N, montrer que le polynˆome
n
∑
k=0
Xk
k!n’admet pas de racines multiples dans C.
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EXERCICE 16
1 ) ´ Etant donn´e un polynˆome P∈K[X], justifier l’existence d’un polynˆome primitif de P, c’est-`a-dire l’exis-
tence de Q∈K[X]tel que Q′=Po`u ′d´esigne la d´eriv´ee formelle habituelle sur les polynˆomes.
2 ) Trouver les polynˆomes P∈R[X]tels que
∀k∈Z,Zk+1
k
P(t)dt=k+1.
EXERCICE 17
Soit P∈R[X]. Montrer qu’il y a ´equivalence entre les deux assertions suivantes
—∀x∈R,P(x)>0,
—∃(A,B)∈R[X]2;P=A2+B2.
EXERCICE 18 (LAGUERRE)
Pour n∈N, on d´efinit Ln:R→Rpar
Ln(x) = exe−xxn)(n).
Observer que Lnest une fonction polynomiale dont on d´eterminera le degr´e et le coefficient dominant.
EXERCICE 19
On d´efinit une suite de polynˆomes (P
n)n∈Npar
P
0=2,P 1=X,∀n∈N,P n+2=XP n+1−P n.
1 ) Calculer P
2et P 3. D´eterminer degr´e et coefficient dominant de P n.
2 ) Montrer que pour tout n∈N, et tout z∈C∗, on a
P
nz+1
z=zn+1 zn.
3 ) En d´eduire une expression simple de P
n(2cos
θ )pour θ ∈R.
4 ) D´eterminer les racines de P
n.
EXERCICE 20
1 ) Soit P∈R[X]. Donner le degr´e et le coefficient dominant du polynˆome
1
2(P(X+1)−P(X−1)).
2 ) Montrer qu’il existe un unique polynˆome P
n∈Rn[X]tel que
1
2(P
n(X+1)−P n(X−1)) = Xn.
3 ) Calculer P
0,P 1,P 2,P 3.
4 ) Montrer que la famille (P
k)06k6nest une base de Rn[X].
5 ) Trouver une relation entre P′
n,P
n−1et en d´eduire P(k)
nen fonction de P
n−k.
6 ) Exprimer P
n(X+2)en fonction de P 0,...,P net en d´eduire une relation de r´ecurrence donnant P nen fonction
de P
0,...,P n.
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EXERCICE 21
On souhaite d´eterminer les couples (P,Q)∈R[X]2tels que
P2+ (1−X2)Q2=1.
1 ) D´eterminer les couples tels que Psoit constant.
2 ) Supposons `a pr´esent que deg(P) = n>0. Montrer que n´ecessairement P′=±nQ avec n∈N∗puis que
l’on peut se contenter de la relation P′=nQ.
3 ) Montrer alors que Pest solution d’une ´equation diff´erentielle scalaire du second ordre `a coefficients non
constants et la r´esoudre.
♣INDICATION – On pourra effectuer le changement de variable t=cos θ o`u td´esigne la variable de
l’´equation diff´erentielle.
4 ) Montrer alors que (P,Q) = ±Tn,±1
nT′
no`u Tnd´esigne le n-i`eme polynˆome de TCHEBYCHEV
Tn=cos(narccos(
θ )).
Justifier que Tnest un polynˆome.
EXERCICE 22 (PROBL ` EME)
On d´efinit pour tout entier n∈Nles polynˆomes
Un=1
n!Xn(X−1)n,P
n=U(n)
n.
1 ) a. Expliciter P
0,P 1,P 2,P 3.
b. Pour tout entier n∈N, montrer que P
n(1−X) = (−1)nP n(X). Qu’en d´eduit-on sur la courbe repr´esentative
de P
n?
c. Montrer que P
n∈Z[X]et est de degr´e n. On d´eveloppera le polynˆome Unavant de le d´eriver.
Pr´eciser ensuite le coefficient dominant et le coefficient constant de P
nainsi que P n(1).
d. En appliquant la formule de LEIBNIZ, montrer que
P
n=
n
∑
k=0n
k2
Xn−k(X−1)k.
Retrouver ainsi la valeur du coefficient constant de P
net P n(1). Justifier ´egalement que :
n
∑
k=0n
k2
=2n
n.
2 ) Propri´ et´ es int´ egrales
a. Soient n∈Net f:[0,1]→Rune application Cn.
En int´egrant par parties nfois, montrer que : Z1
0
Un(t)f(n)(t)dt= (−1)nZ1
0
P
n(t)f(t)dt.
En d´eduire que pour tout Q∈R[X], deg Q<deg P⇒Z1
0
P
n(t)Q(t)dt=0.
b. Par des int´egrations par parties, calculer Z1
0
tn(1−t)mdto`u m,nsont deux entiers.
En d´eduire que pour tout n∈N,Z1
0
Un(t)dt=(−1)nn!
(2n+1)!.
c. Montrer que
Z1
0
P
n(t)P m(t)dt=0,si m6=n,
on dit que (P
n)n∈Nest une famille orthogonale dans L2([0,1]). Montrer que
Z1
0
P2
n(t)dt=1
2n+1.
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3 ) Racines des polynˆ omes P
n—Soit n∈N∗. Dans cette question on d´emontre par deux m´ethodes diff´erentes
que le polynˆome P
nposs`ede nracines distinctes et que ses racines sont dans ]0,1[.
a. Soit S={x1,...,xp}l’ensemble ´eventuellement vide des racines de P
ndans ]0,1[et qui sont de
multiplicit´e impaire, en convenant que x1< .... < xp.
Supposer que p<net utiliser 2a) pour Q=
p
∏
k=1
(X−xk)(ou Q=1 si S=/0).
b. Autre m´ethode — revenir `a la d´efinition de P
net utiliser le th´eor`eme de Rolle.
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