TD3 : Espace de Probabilité Université Paris Dauphine

Université Paris Dauphine
Probabilités discrètes
A.M.Boussion
DE MI2E 1
2012-2013
TD3 : Espace de Probabilité
Exercice 1
On tire au sort parmi 40 candidats, dont 60 % de garçons, les 5 qui bénéficieront d’une bourse
pour un voyage d’étude.
Quelle est la probabilité que le tirage au sort respecte la répartition des sexes ?
Exercice 2 Paradoxe du prince de Toscane
Le prince de Toscane avait remarqué que, bien qu’il y ait autant de façons d’écrire 9 et 10 comme
somme de trois nombres compris entre 1 et 6, on obtient plus souvent un total de 10 qu’un total
de 9 lorsqu’on lance trois dés non pipés. Cette observation est-elle justifiée ?
Exercice 3
Les 60 membres d’une association élisent leur bureau, composé d’un président, un vice-président,
un secrétaire et un trésorier, tous les résultats possibles de l’élection étant équiprobables.
Modéliser l’univers correspondant.
Alphonse et Barnabé sont membres de l’association. Quelle est la probabilité qu’ils fassent tous
les deux partie du bureau ? Quelle est la probabilité qu’ils fassent tous les deux partie du bureau,
avec l’un des deux élu président ? Alphonse voudrait bien être élu, mais surtout pas comme
trésorier. Quelle est la probabilité que son souhait se réalise ?
Exercice 4
Soit pn la probabilité qu’au moins deux membres d’un groupe de n personnes aient le même jour
d’anniversaire. Montrer que la suite (pn )n≥2 est croissante. Comment doit-on choisir n pour que
pn soit supérieure à 12 ? Calculer p50 .
On ne tiendra pas compte des années bissextiles.
Exercice 5
Vous rangez au hasard vos deux livres d’Analyse, vos trois livres d’Algèbre et vos quatre livres
de Probabilités sur une étagère.
Quelle est la probabilité que les livres soient regroupés par matières ?
Quelle est la probabilité que les livres de Probabilités soient regroupés ?
Exercice 6
On tire 8 cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes.
Si le tirage se fait en une seule fois, comment modélise-t-on l’espace de probabilité correspondant ?
Quelle est la probabilité de :
1. tirer au moins un as ?
2. tirer les 4 as ?
3. tirer exactement 4 piques, 3 coeurs et un trèfle ?
4. tirer exactement 4 piques et 2 as ?
Reprendre les questions précédentes si les cartes sont tirées une à une sans remise.
Que constate-t-on ? Quelle est la probabilité de tirer les 4 as consécutivement ?
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Exercice 7
Soient A, B, C trois événements d’un espace probabilisable (Ω, A).
Exprimer en termes d’ensembles, et illustrer à l’aide de dessins les événements suivants :
1. les trois événements A, B, C sont réalisés.
2. au moins l’un des trois événements A, B, C est réalisé.
3. aucun des trois événements A, B, C n’est réalisé.
4. des trois événements, seul A est réalisé.
5. au moins deux des trois événements A, B, C sont réalisés.
6. au plus deux des trois événements A, B, C sont réalisés.
7. exactement deux des trois événements A, B, C sont réalisés.
Exercice 8
Montrer que si A et B sont deux événements d’un espace de probabilité (Ω, A, P ) :
P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B)
En déduire que pour toute suite finie (Ai )1≤i≤n d’événements :
P(
n
[
Ai ) ≤
i=1
n
X
P (Ai )
i=1
Montrer enfin que pour toute suite infinie (Ai )i≥1 d’événements :
P(
∞
[
Ai ) ≤
i=1
∞
X
P (Ai )
i=1
Exercice 9 Formule de Poincaré
Soient A, B, C trois événements d’un espace de probabilité (Ω, A, P ). Montrer que :
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
On admettra la généralisation de cette formule pour n événements A1 , ..., An :
P(
n
[
i=1
Ai ) =
n
X
k=1
X
(−1)k−1
1≤i1 <i2 <...<ik ≤n
P(
k
\
Aij )
j=1
Problème des coïncidences : Une personne écrit à 3 correspondants, met les lettres dans les
enveloppes et écrit les adresses au hasard.
1. Quelle est la probabilité que chaque lettre parvienne à son destinataire ?
2. Quelle est la probabilité qu’au moins une lettre parvienne à son destinataire ?
3. Généraliser à n correspondants, et étudier la limite des expressions trouvées quand n tend
vers l’infini.
Surjections : Chaque année quatre maisons d’édition se disputent six grands prix littéraires.
On suppose que chaque prix est attribué à une seule maison (pas d’ex-aequo) et que toutes les
répartitions sont équiprobables. On demande la probabilité :
1. qu’une même maison obtienne tous les prix.
2. que la ième n’obtienne aucun prix (i = 1, 2, 3, 4).
3. que chaque maison obtienne au moins un prix.
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