MVA101 - ED7 - Séries de Fourier

MVA101 - ED7 - Séries de Fourier
Rappels de cours :
1- Motivations
•A quoi servent les séries de Fourier ? : Les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l’étude des
fonctions périodiques. En effet, la théorie des séries de Fourier permet de décomposer toute fonction
périodique en une somme de sinusoïdes, c’est à dire en une somme de fonctions trigonométriques
que l’on appelle polynôme trigonométrique. Cette décomposition passe par le calcul de ce que l’on appelle
les coefficients de Fourier.
−→ Ainsi, des opérations telles que la dérivation s’écrivent simplement en partant des coefficients de
Fourier, et le calcul d’une fonction périodique solution d’une équation différentielle fonctionnelle peut se
ramener à la construction des coefficients de Fourier correspondants.
•Applications : Les séries de Fourier se rencontrent dans la décomposition de signaux périodiques, dans
l’étude des ondes cérébrales, des courants électriques (i.e. résolution d’équations différentielles associés
aux circuits électriques), dans la synthèse sonore, le traitement d’images, etc ...
2- Les polynômes trigonométriques
a) Définition
Parmi les fonctions périodiques de période Ton dispose de trois types de fonctions remarquables :
cos(nωt),sin(nωt)pour n∈Net einωtpour n∈Z, où ω= 2π/T est la pulsation associée à T.
−→ Ici on s’intéresse aux fonctions périodiques de période T= 2π. Donc ω= 1.
Déf : On appelle polynôme trigonométrique toute fonction périodique de période 2πs’exprimant comme
une combinaison linéaire des fonctions trigonométriques remarquables cos(nt),sin(nt)et eint .
Ainsi, on appelle polynôme trigonométrique en cosinus et sinus, toute fonction gde période 2πde la forme :
(1) g(t) =
N
X
n=0 αncos(nt) + βnsin(nt)=α0+
N
X
n=1 αncos(nt) + βnsin(nt)
et on appelle polynôme trigonométrique en exponentielles, toute fonction gde période 2πde la forme :
(2) g(t) =
n=N
X
n=−N
γneint
b) Calcul des coefficients αn, βn, γn
Il y a un cadre où l’on sait calculer les coefficients de telles décompositions, c’est celui de l’espace euclidien, avec
un produit scalaire entre deux vecteurs xet yde Rn, noté (x|y), et une base orthonormée b1,· · · , bn.
En effet, l’expression du vecteur xdans cette base est : x=
n
X
i=1
xibi, avec xi∈R. Un calcul immédiat montre
que les coefficients xidu vecteur xsont donnés par xi= (x|bi).
Exemple très simple : Soit xun vecteur de R3tel que x= (2,4,−1). Soit b3la base canonique de R3, c’est à
dire e3={(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)}.
−→ Alors on a bien x=
3
X
i=1
xibi, en effet : (2,4,−1) = 2.(1,0,0) + 4.(0,1,0) −1.(0,0,1).
−→ Chaque composante xidu vecteur xpeut être retrouvée en calculant le produit scalaire euclidien xi= (x|bi).
En effet x1= 2 = (2,4,−1).(1,0,0),x2= 4 = (2,4,−1).(0,1,0) et x3=−1 = (2,4,−1).(0,0,1).

C’est exactement la même chose dans le cas complexe. Dans ce cas, le produit scalaire est dit hermicien (au
lieu d’euclidien). Le produit scalaire hermicien de deux fonctions get hcontinues par morceaux de période T
à valeurs complexes est alors défini par la formule suivante :
(3) (g|h) = 1
TZT
0
g(t)h(t)dt
auquel on associe une norme kgk2par la formule :
(4) kgk2= (g|g) = 1
TZT
0
|g(t)|2dt
La proposition suivante est alors essentielle :
Proposition :
1. Les fonctions en(t) := eint pour n∈Zforment une famille orthonormale pour le produit scalaire
ci-dessus.
−→ En effet (ep|eq) = 1
2πR2π
0eipte−iqt dt =1
2πR2π
0eit(p−q)dt. Ce produit scalaire est nul pour p6=qet
est égal à 1 si p=q. Par définition, les fonctions eint forment donc bien une famille orthonormale.
2. Les fonctions ζn(t) := cos(nt)et σn(t) := sin(nt)pour n∈Nforment une famille orthogonale pour
le produit scalaire ci-dessus.
−→ En effet on a (ζp|ζq) = (σp|σq) = 0 pour p6=qet (ζ0|ζ0) = 1 et, pour n≥1,(ζn|ζn) = (σn|σn) = 1/2.
Ainsi, on construit les coefficients αn, βn, γndes expressions (1) et (2) grâce au résultat suivant :
Proposition :
1. Si gest un polynôme trigonométrique en cosinus et sinus, c.a.d g(t) = α0+
N
X
n=1 αncos(nt)+βnsin(nt),
alors on a les formules:
(5) α0= (g|ζ0) = 1
2πZ2π
0
g(t)dt
et, pour n≥1, αn= (g|ζn) = 2
2πZ2π
0
g(t) cos(nt)dt, βn= (g|σn) = 2
2πZ2π
0
g(t) sin(nt)dt
2. Si gest un polynôme trigonométrique en exponentielles, c.a.d g(t) =
n=N
X
n=−N
γneint, alors on a les formules:
(6) γn= (g|en) = 1
2πZ2π
0
g(t)e−int dt
3- Les séries de Fourier
a) Projecteur sur les polynômes trigonométriques
Soit fune fonction périodique de période 2π, continue par morceaux et de carré intégrable. Il n’y a aucune
raison pour que fappartienne à l’espace ENdes polynômes trigonométriques. Or on souhaite pouvoir exprimer
fcomme la somme d’une série trigonométrique. La théorie des séries de Fourier consiste alors à projeter fde
façon orthogonale sur l’espace ENdes polynômes trigonométriques (cf figure ci-dessous) :
Figure 1: Projection orthogonale SNfde la fonction fsur l’espace des polynômes trigonométriques EN.(source
: cours de François Dubois).
On cherche donc SNftel que :

1. SNf∈EN
2. ∀g∈EN,(f−SNf|g) = 0
b) Définition
SNfest appelée série de Fourier de la fonction fet elle est définie par :
(7) SNf(t) = a0+
N
X
n=1 ancos(nt) + bnsin(nt)
et avec les exponentielles complexes par:
(8) SNf(t) =
n=N
X
n=−N
cneint
c) Coefficients de Fourier
Les coefficients de Fourier de fsont alors les coefficients an, bnet cn. On les définit par les formules suivantes:
(9) a0=1
2πZ2π
0
f(t)dt
et, pour n≥1, an=1
πZ2π
0
f(t) cos(nt)dt, bn=1
πZ2π
0
f(t) sin(nt)dt
(10) cn=1
2πZ2π
0
f(t)e−int dt
Remarque : Dans les expressions ci-dessus on peut remplacer toutes les intégrales entre 0 et 2πpar des inté-
grales entre −πet π.
Exemple de décomposition d’une fonction périodique en série de Fourier :
Figure 2: Les quatre premières sommes partielles de la série de Fourier pour un signal carré (ici on va jusqu’à
N= 4). On voit ici que le signal périodique carré de fréquence f peut être obtenu en prenant une sinusoïde
de fréquence fondamentale f (image 1) et en lui ajoutant des sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples
entiers de f (images 2, 3 et 4) (source : wikipédia).

d) Relations entre les coefficients
•a0=c0
•cn=1
2(an−ibn),∀n≥1
•c−n=1
2(an+ibn),∀n≥1
•an=cn+c−n,∀n≥1
•bn=i(cn−c−n),∀n≥1
e) Parité
•(f paire) =⇒(bn= 0),∀n≥1
•(f impaire) =⇒(an= 0),∀n≥0
4- Convergence des séries de Fourier
Le résultat suivant assure la convergence simple de la série de Fourier vers la fonction f, sauf aux points de
discontinuité :
Théorème de Dirichlet : Soit f:R→Cune fonction périodique de période T, de classe C1par morceaux.
Alors, pour tout t∈R, la série de Fourier SNf(t)converge simplement vers f(t+) + f(t−)
2quand Ntend vers
+∞.
En d’autres mots :
- Si fest continue en t, la série SNfconverge vers f(t)(en effet dans ce cas on a f(t+) + f(t−)
2=2f(t) 2=f(t)).
- Si fest discontinue en t, la série SNfconverge vers f(t+) + f(t−)
2
Exercice 1 :
Soit f:R7→ Rla fonction 2π-périodique définie par :
f(x) = (x−π)2, x ∈[0,2π[
1. Représenter graphiquement la fonction f.
2. Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de fet en déduire la série de Fourier Sfde f.
3. Étudier la convergence simple de la série de Fourier de f.
4. En déduire la valeur des séries
+∞
X
n=1
(−1)n
n2et
+∞
X
n=1
1
n2.
Exercice 2 :
Soit f:R7→ Rla fonction 2π-périodique définie par :
f(x) = −1si x∈]−π, 0[
1si x∈[0, π]
1. Reprendre les 3 premières questions de l’exercice 1.
2. En déduire la valeur de la somme :
+∞
X
k=0
(−1)k
2k+ 1.
Chloé Mimeau, 9 novembre 2016.