Compléments Séries de Fourier Théorème de Parseval 1 Soit f ∈ C M 2π , cad continue par morceaux et 2π-périodique à valeurs dans R ou C, alors les sommes partielles S n ( f ) de la série de Fourier 2 de f « convergent en moyenne quadratique » vers f : Z ° ° ° °2 1 2π ° ° ° ° lim S n ( f ) − f 2 = 0 avec f 2 = | f |2 n→∞ 2π 0 Démo : On se place « restrictivement » dans le cadre d’une fonction continue qui d’ailleurs est la seule démonstration au programme. Ceci permet donc d’utiliser l’espace pré-Hilbert 3 ien complexe E = C 2π muni du produit Z ³ ´ 1 2π scalaire Hermite 4 ien usuel f |g = f g . (Sur les fonctions continues par morceaux, ce n’est pas un produit 2π 0 scalaire car ? ?) On rappelle que (c −n , . . . , c n ) avec c k (t ) = e i kt est une famille orthormale de E et plus précisément une BON de P n , C-ev des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à n. On a aussi S n ( f )(t ) = n X c k ( f )e i kt = n X (e k | f )e k (t ) = p n ( f )(t ) k=−n k=−n ° ° Où p n désigne la projection orthogonale sur P n (p n ∈ L (E ) ). Posons d n = °S n ( f ) − f °2 . On doit démontrer d n → ° ° 0. On remarque d n = °p n ( f ) − f °2 = d ( f , P n ). Or comme les espaces vectoriels P n vérifient trivialement P n ⊂ P n+1 , on en déduit immédiatement d n+1 ≤ d n , ou autrement dit (d n ) décroissante. Cette suite étant minorée (par 0 car positive !) est convergente vers l . Reste à prouver l = 0 Pour ceci, on va utiliser le théorème de Weierstraß 5 , version trigonométrique : Soit ε > 0. f étant continue et 2π-périodique, il existe un polynôme Q m trigonométrique (de degré m) qui l’ap° ° ° ° R 2π 2 R 2π 1 1 2 2 ° ° proche uniformément à ε près cad ° f −Q m °∞ < ε. Or kg k22 = 2π 0 |g | ≤ 2π 0 kg k∞ = kg k∞ , d’où f −Q m 2 ≤ ° ° ° f −Q m ° < ε. En se rappelant que la distance est un inf sur tous les éléments, on obtient d m ≤ k f − Q m k2 et ∞ donc qu’il existe un entier (en l’occurence m) tel que d m < ε. Comme la suite d n est décroissante , il s’en suit que ceci est vrai pour tous les n ≥ m, ce qui termine la preuve de Parseval1 . Corollaire ou Formule de Parseval1 P P P P |a n ( f )|2 |b n ( f )|2 |c n ( f )|2 |c −n ( f )|2 1 2π 2π Z 0 | f |2 = Soit f ∈ C M 2π . Alors les séries convergent et ∞ ∞ X |a 0 ( f )|2 1 X + |a n ( f )|2 + |b n ( f )|2 = |c 0 ( f )|2 + |c n ( f )|2 + |c −n ( f )|2 4 2 n=1 n=1 ° ° ° ° ° ° Démo : Si °S n − f °2 → 0, en particulier, °S n ( f )°2 −→ ° f °2 , car |kxk−kyk| ≤ kx − yk. Ensuite, par application du n→+∞ calcul de la norme euclidienne dans des bases orthonormées, en l’occurence ici (c −n , . . . , c n ) : ° ° Z ¯³ ³ ´ °2 ´¯2 n n n X X X ° °2 ° °2 ° 1 2π ° ¯ ° ¯ 2 °S n ( f )° = ° ° ° c | f ck ° = |c k ( f )| −→ f 2 = | f |2 ¯ ck | f ¯ = 2 n→+∞ °k=−n k ° 2π 0 k=−n k=−n 2 1. Marc-Antoine Parseval : mathématicien français (1755-1836). 2. Joseph Fourier : mathématicien français (1768-1830). Travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en série. 3. David Hilbert : mathématicien allemand (1862-1943). 4. Charles Hermite : français (1822-1901). Nom adjectivé : endomorphisme, forme, matrice, norme hermitienne. 5. Karl Weierstraß : allemand (1815-1895). Spécialiste de la théorie des fonctions et du calcul matriciel. 1 Théorème de Dirichlet 6 Soit f une fonction de classe C 1 par morceaux, 2π périodique et à valeurs dans R ¡ ¢ ou C, alors la série de Fourier2 de f converge simplement sur R « vers » 21 f (x + ) + f (x − ) (qui est égal à f (x) si f est continue en x). Si, en plus, f est continue sur R, alors la convergence est normale et « vers » f (x). Démo : Dans le cas où f est C 1 par morceaux et continue. On sait ∀ n ∈ Z c n ( f 0 ) = i nc n ( f ) ce qui s’écrit encore ¯ ¯ µ¯ ¯ µ ¶ ¶ ¯ 1 ¯ 1 ¯ 1 ¯2 ¯ ¯ + |c n ( f 0 )|2 = 1 1 + |c n ( f 0 )|2 ∀n ∈ Z |c n ( f )| = ¯¯ c n ( f 0 )¯¯ ≤ in 2 ¯in ¯ 2 n2 P P La série 1/n 2 converge ainsi que |c n ( f 0 )|2 par application de Parseval, puisque f 0 est continue par morceaux et P P 2π-périodique. On en déduit la convergence absolue des séries c n et c −n ce qui amène la convergence normale de la série de Fourier de f en vertu d’un théorème du cours. Pour conclure à la convergence « vers » f , on se rappelle que si l’on note S la somme de la série de Fourier de f (qui existe donc ici) un autre théorème démontré en cours apprend que, comme la convergence est uniforme car normale, les coeffs de la série trigonométrique (ici les c n ( f )), sont les coefficients de fourier de la somme, c’est-à-dire S, donc ∀ n ∈ Z, c n ( f ) = c n (S). La preuve sera achevée, si l’on peut en déduire S = f , ce qui vient de : Théorème La fonction ϕ : C 2π → CZ , qui à toute fonction continue f et 2π-périodique associe la famille de ses coefficients de Fourier (c n ( f ))n∈Z est linéaire et injective Démo : Cette application étant linéaire, c n (α f +βg ) = αc n ( f )+βc n (g ), considérons son noyau, cad soit f continue telle que tous ses coefficients de Fourier2 soient nuls. Alors par application de la formule de Parseval, on obtient R 2π immédiatement 0 | f |2 = 0 et donc | f | = 0 soit f = 0, car la fonction est continue. Remarques • Retenir que si deux fonctions continues (et 2π-périodiques) ont même coefficients de Fourier, elles sont égales, et que, si une fonction continue a des coefficients de fourier nuls, c’est la fonction nulle. • La fonction ϕ n’est pas surjective, par application du Lemme de Riemann 7 -Lebesgue 8 qui donne comme condition nécessaire c n → 0 c −n → 0. Ces conditions ne sont d’ailleurs pas suffisantes. . .On démontre par P P contre que si l’on suppose que les séries |c n |2 et |c −n |2 convergent (l’espace se note alors `2 (Z)), alors ce sont des coefficients de Fourier d’une unique fonction, mais pas nécessairement continue. . . Par application de l’identité de polarisation à la formule de Parseval1 , on obtient Corollaire Soient f et g deux fonctions continues par morceaux, 2π-périodiques à valeurs complexes ou réelles, on a : Z 2π ∞ X 1 f g = c 0 ( f )c 0 (g ) + c n ( f )c n (g ) + c −n ( f )c −n (g ) 2π 0 n=1 6. Peter-Gustav Dirichlet : mathématicien allemand (1805-1859). 2. Joseph Fourier : mathématicien français (1768-1830). Travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en série. 7. Bernhard Riemann : mathématicien allemand de génie (1826-1866). Travaux fondamentaux sur les fonctions analytiques, la théorie de l’intégration, la géométrie différentielle. Sa fonction ζ donne des indications sur la répartition des nombres premiers. 8. Henri-Léon Lebesgue : mathématicien français (1875-1941) 2