Compléments Séries de Fourier

Théorème de Parseval 1Soit f∈C M2π, cad continue par morceaux et 2π-périodique à valeurs dans Rou C,
alors les sommes partielles Sn(f) de la série de Fourier 2de f«convergent en moyenne quadratique » vers f:
lim
n→∞ °
°Sn(f)−f° °2=0 avec ° °f° °
2
2=1
2πZ2π
0
|f|2
Démo : On se place « restrictivement » dans le cadre d’une fonction continue qui d’ailleurs est la seule démons-
tration au programme. Ceci permet donc d’utiliser l’espace pré-Hilbert 3ien complexe E=C2πmuni du produit
scalaire Hermite 4ien usuel ³f|g´=1
2πZ2π
0
f g . (Sur les fonctions continues par morceaux, ce n’est pas un produit
scalaire car ? ?) On rappelle que (c−n,...,cn) avec ck(t)=ei k t est une famille orthormale de Eet plus précisément
une BON de Pn,C-ev des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à n. On a aussi
Sn(f)(t)=
n
X
k=−n
ck(f)eikt =
n
X
k=−n
(ek|f)ek(t)=pn(f)(t)
Où pndésigne la projection orthogonale sur Pn(pn∈L(E)). Posons dn=°
°Sn(f)−f° °2. On doit démontrer dn→
0. On remarque dn=°
°pn(f)−f° °2=d(f,Pn). Or comme les espaces vectoriels Pnvérifient trivialement Pn⊂Pn+1,
on en déduit immédiatement dn+1≤dn, ou autrement dit (dn) décroissante. Cette suite étant minorée (par 0 car
positive !) est convergente vers l. Reste à prouver l=0 Pour ceci, on va utiliser le théorème de Weierstraß 5, version
trigonométrique :
Soit ε>0.fétant continue et 2π-périodique, il existe un polynôme Qmtrigonométrique (de degré m) qui l’ap-
proche uniformément à εprès cad °
°f−Qm° °∞<ε. Or kgk2
2=1
2πR2π
0|g|2≤1
2πR2π
0kgk2
∞= kgk2 ∞, d’où °
°f−Qm° °2≤
°
°f−Qm° °∞<ε. En se rappelant que la distance est un inf sur tous les éléments, on obtient dm≤ k f−Qmk2et
donc qu’il existe un entier (en l’occurence m) tel que dm<ε. Comme la suite dnest décroissante , il s’en suit que
ceci est vrai pour tous les n≥m, ce qui termine la preuve de Parseval1.
Corollaire ou Formule de Parseval1Soit f∈C M2π. Alors les séries
P|an(f)|2P|bn(f)|2P|cn(f)|2P|c−n(f)|2convergent et
1
2πZ2π
0
|f|2=|a0(f)|2
4+1 2
∞
X
n=1
|an(f)|2+ |bn(f)|2= |c0(f)|2+
∞
X
n=1
|cn(f)|2+ |c−n(f)|2
Démo : Si °
°Sn−f° °2→0, en particulier, ° °Sn(f)° °2−→
n→+∞ °
°f° °2, car |kxk−kyk| ≤ kx−yk. Ensuite, par application du
calcul de la norme euclidienne dans des bases orthonormées, en l’occurence ici (c−n,.. .,cn) :
°
°Sn(f)° °
2
2=°
°
°
°
°
n
X
k=−n³ck|f´ck°
°
°
°
°
2
2
=
n
X
k=−n¯
¯
¯³ck|f´¯
¯
¯
2=
n
X
k=−n
|ck(f)|2−→
n→+∞ °
°f° °
2
2=1
2πZ2π
0
|f|2
1. Marc-Antoine Parseval : mathématicien français (1755-1836).
2. Joseph Fourier : mathématicien français (1768-1830). Travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en série.
3. David Hilbert : mathématicien allemand (1862-1943).
4. Charles Hermite : français (1822-1901). Nom adjectivé : endomorphisme, forme, matrice, norme hermitienne.
5. Karl Weierstraß : allemand (1815-1895). Spécialiste de la théorie des fonctions et du calcul matriciel.
1

Théorème de Dirichlet 6Soit fune fonction de classe C1par morceaux, 2πpériodique et à valeurs dans R
ou C, alors la série de Fourier2de fconverge simplement sur R« vers » 1
2¡f(x+)+f(x−)¢(qui est égal à f(x)
si fest continue en x). Si, en plus,fest continue sur R, alors la convergence est normale et « vers » f(x).
Démo : Dans le cas où fest C1par morceaux et continue. On sait ∀n∈Zcn(f0)=incn(f) ce qui s’écrit encore
∀n∈Z|cn(f)| = ¯
¯
¯
¯
1
in cn(f0)¯
¯
¯
¯
≤1
2µ¯
¯
¯
¯
1
in ¯
¯
¯
¯
2
+ |cn(f0)|2¶=1
2µ1 n2+ |cn(f0)|2¶
La série P1/n2converge ainsi que P|cn(f0)|2par application de Parseval, puisque f0est continue par morceaux et
2π-périodique. On en déduit la convergence absolue des séries Pcnet Pc−nce qui amène la convergence normale
de la série de Fourier de fen vertu d’un théorème du cours.
Pour conclure à la convergence « vers »f, on se rappelle que si l’on note Sla somme de la série de Fourier de
f(qui existe donc ici) un autre théorème démontré en cours apprend que, comme la convergence est uniforme
car normale, les coeffs de la série trigonométrique (ici les cn(f)), sont les coefficients de fourier de la somme,
c’est-à-dire S, donc ∀n∈Z,cn(f)=cn(S). La preuve sera achevée, si l’on peut en déduire S=f, ce qui vient de :
Théorème La fonction ϕ:C2π→CZ, qui à toute fonction continue fet 2π-périodique associe la famille de
ses coefficients de Fourier (cn(f))n∈Zest linéaire et injective
Démo : Cette application étant linéaire, cn(αf+βg)=αcn(f)+βcn(g), considérons son noyau, cad soit fcontinue
telle que tous ses coefficients de Fourier2soient nuls. Alors par application de la formule de Parseval, on obtient
immédiatement R2π
0|f|2=0 et donc |f| = 0 soit f=0, car la fonction est continue.
Remarques
• Retenir que si deux fonctions continues (et 2π-périodiques) ont même coefficients de Fourier, elles sont
égales, et que, si une fonction continue a des coefficients de fourier nuls, c’est la fonction nulle.
• La fonction ϕn’est pas surjective, par application du Lemme de Riemann 7-Lebesgue 8qui donne comme
condition nécessaire cn→0c−n→0. Ces conditions ne sont d’ailleurs pas suffisantes.. .On démontre par
contre que si l’on suppose que les séries P|cn|2et P|c−n|2convergent (l’espace se note alors `2(Z)), alors ce
sont des coefficients de Fourier d’une unique fonction, mais pas nécessairement continue. . .
Par application de l’identité de polarisation à la formule de Parseval1, on obtient
Corollaire
Soient fet gdeux fonctions continues par morceaux, 2π-périodiques à valeurs complexes ou réelles, on a :
1
2πZ2π
0
f g =c0(f)c0(g)+
∞
X
n=1
cn(f)cn(g)+c−n(f)c−n(g)
6. Peter-Gustav Dirichlet : mathématicien allemand (1805-1859).
2. Joseph Fourier : mathématicien français (1768-1830). Travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en série.
7. Bernhard Riemann : mathématicien allemand de génie (1826-1866). Travaux fondamentaux sur les fonctions analytiques, la théorie
de l’intégration, la géométrie différentielle. Sa fonction ζdonne des indications sur la répartition des nombres premiers.
8. Henri-Léon Lebesgue : mathématicien français (1875-1941)
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