Smaali. MONDHER. http://alphamaths.12r.org 4°SC.
Exercice 5
z
et
z´
sont deux nombres complexes et on pose :
Désignent les conjugués respectifs de
z
et
z
´. Le plan est muni d'un repère
orthonormé direct
(unité graphique 2 cm).
1. Calculer: φ(
i
, 3); φ (1 + 2
i
, - 2 +
i
), φ (2 +
i
, - 3 + 2
i
),
Montrer que pour tout couple (
z
,
z
´) le nombre φ (
z
,
z
´) est réel.
2.
a)
On pose
z
=
x
+
iy
et
z
´ =
x
´ +
iy
´ ;
x
,
y
,
x
´,
y
´ réels. Calculer φ (
z
,
z
´) en fonction de
x
,
x
´,
y
,
y
´.
b)
Déterminer l'ensemble D des points M d'affixe
z
tels que φ (
z
, 1 +
i
) = 2
.
Dessiner D dans le repère
.
3.
a)
On pose
z
=
r
e
iØ
et
z
´ =
r
´e
iØ’
; Ø et Ø´ réels,
r
et
r
´ réels positifs. Calculer φ (
z
,
z
´)
en fonction de
r
,
r
´ et cos(Ø-Ø´).
b)
Exprimer φ (
z
,
z
) en fonction de
r
.
Déterminer l'ensemble C des points M d'affixe
z
tels que φ (
z
,
z
) = 2.
Dessiner C dans le repère.
. Que peut-on dire de la position relative de C et D ?
Justifier la réponse.
Exercice 6
On désigne par P le plan complexe. Unité graphique : 2 cm.
1. Résoudre l’équation d’inconnue complexe
z
:
. On notera
z1
la solution
dont la partie imaginaire est positive et
z2
l’autre. Donner le module et l’argument de
chacun des nombres
z1, z2, z1
2, z2
2.
Ecrire sous forme algébrique
z1
2
et
z2
2
2. On considère dans le plan les points
,
,
et
.
a. Représenter les points A, B, C et D dans le plan P. Quelle est la nature du
quadrilatère ABCD ?
b. Montrer que les points O, A et D d’une part et les points O, B et C d’autre part
sont alignés. Quel est le point d’intersection des diagonales de ABCD ?
c. Quelles sont les affixes des vecteurs
? Montrer que les droites (AB)
et (AC) sont perpendiculaires.
Exercice 7
α étant un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; π] et
z
un nombre complexe, on
considère le polynôme P(
z
), défini par :
P(
z
) =
z
3 - (1 - 2 sin α)
z
2 + (1 - 2 sin α)
z
- 1.
1.
a)
Calculer P(1).
b)
En déduire les trois nombres réels
a
,
b
,
c
tels que :
P(
z
) = (
z
-1) (
az
2 +
bz
+
c
).
c)
Résoudre, dans C, l'équation P(
z
) = 0.
2. On considère trois nombres complexes :
z
1 = 1 ;
z
2 = - sin α +
i
cos α ;
z
3 = - sinα -
i
cos α.
Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres complexes
z
1,
z
2 et
z
3.
Exercice8.
La courbe Cf ci-dessous représente la fonction f définie et dérivable sur [−4; 5] et on
note f0 la fonction dérivée de f sur [−4; 5].