4 sc dm1 1112 smaali mondher

4°SC.EXP.
DEVOIR DE MAISON1.
2011/2012.
Smaali. MONDHER.
Exercice 1
Soit f une fonction continue sur [0,1] et dérivable sur]0,1[.
On suppose que f (0) =1, f (1) =0 et pour x ∊] 0,1[ : f ' ( x) 
2
 1  x2
.
1. Montrer que : f est strictement décroissante sur [0,1].

2
]  ( x)  f (cos x)  x

2

a) Montrer que  est continue sur [0, ]
2

b) Montrer que  est dérivable sur]0, [.
2

2
c) Calculer  ’(x) pour tout x ∊] 0, [. En déduire que f (cos x)  x .

2

3. On pose pour tout x ∊[0, ] h( x)  f (cos x)  f (sin x)
2

a) Montrer que h est dérivable sur]0, [ et calculer h’(x).
2

b) En déduire que pour tout x de [0, ], h(x) = 1.
2
2. On pose pour tout x ∊ [0,
Exercice 2
A- Soit la fonction f définie sur [0,2[par f (0)  0 et f ( x) 
x
si x ∊] 0,2[.
2 x  x²
1. a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en zéro.
b) Etudier les variations de f sur]0,2[.
2. a) Montrer que pour tout x ∊ [0,2[ : f ( x)  x .
b) Tracer dans un même repère orthonormé, la courbe représentative  de f .
On précisera la demi tangente au point d’abscisse zéro.
3. Soit n un entier naturel non nul.
a) Montrer que l’équation f ( x) 
1
admet dans [0,2[une solution unique  n .
n
b) Montrer que la suite (  n ) est décroissante .En déduire qu’elle est
convergente.
c) On désigne par l la limite de (  n ).Montrer que f (l )  0 et déduire la valeur de l .
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Exercice 3 (V-F)
On considère une fonction ƒ définie et deux fois dérivables sur IR. On appelle Γ la
courbe représentative de la fonction ƒ et (C) la courbe représentant sa fonction
dérivée ƒ'.
On a représenté ci-dessous la courbe (C) de ƒ': elle est symétrique par rapport à
l'origine du repère.
La droiteΔest la tangente à (C) au point d'abscisse 0.
1. La courbe Γde ƒ est symétrique par rapport { l'axe des ordonnées.
𝑓(𝑥)
2. lim𝑥→0
= 1.
𝑥
3. La courbe Γ possède une et une seule tangente parallèle à l'axe des abscisses.
4. On a f ' '(0)=1.
Exercice4
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Exercice 5
z et z´ sont deux nombres complexes et on pose :
( z , z ' )  z z ' z z '.
Désignent les conjugués respectifs de z et z´. Le plan est muni d'un repère
 
orthonormé direct (O ; u , v ) (unité graphique 2 cm).
z et z '
i

i
2
3
1. Calculer: φ(i, 3); φ (1 + 2i, - 2 + i), φ (2 + i, - 3 + 2i), ( e , e ).
Montrer que pour tout couple (z, z´) le nombre φ (z, z´) est réel.
6
2. a) On pose z = x + iy et z´ = x´ + iy´ ; x, y, x´, y´ réels. Calculer φ (z, z´) en fonction de
x, x´, y, y´.
b) Déterminer l'ensemble D des points M d'affixe z tels que φ (z, 1 + i) = 2 2 .
 
Dessiner D dans le repère (O ; u , v ) .
3. a) On pose z = re iØ et z´ = r´e iØ’ ; Ø et Ø´ réels, r et r´ réels positifs. Calculer φ (z, z´)
en fonction de r, r´ et cos(Ø-Ø´).
b) Exprimer φ (z, z) en fonction de r.
Déterminer l'ensemble C des points M d'affixe z tels que φ (z, z) = 2.
 
Dessiner C dans le repère. (O ; u , v ) . Que peut-on dire de la position relative de C et D ?
Justifier la réponse.
Exercice 6
On désigne par P le plan complexe. Unité graphique : 2 cm.
1. Résoudre l’équation d’inconnue complexe z : z 2  2z  4  0 . On notera z1 la solution
dont la partie imaginaire est positive et z2 l’autre. Donner le module et l’argument de
chacun des nombres z1, z2, z12, z22. Ecrire sous forme algébrique z12 et z22
2. On considère dans le plan les points A (1  i 3 ) , B(1  i 3 ) , C( 2  2i 3 ) et D( 2  2i 3 ) .
a. Représenter les points A, B, C et D dans le plan P. Quelle est la nature du
quadrilatère ABCD ?
b. Montrer que les points O, A et D d’une part et les points O, B et C d’autre part
sont alignés. Quel est le point d’intersection des diagonales de ABCD ?




c. Quelles sont les affixes des vecteurs AB et AC ? Montrer que les droites (AB)
et (AC) sont perpendiculaires.
Exercice 7
α étant un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; π] et z un nombre complexe, on
considère le polynôme P(z), défini par :
P(z) = z3 - (1 - 2 sin α) z2 + (1 - 2 sin α) z - 1.
1. a) Calculer P(1).
b) En déduire les trois nombres réels a, b, c tels que :
P(z) = (z -1) (az2 + bz + c).
c) Résoudre, dans C, l'équation P(z) = 0.
2. On considère trois nombres complexes :
z1 = 1 ; z2 = - sin α + i cos α ; z3 = - sinα - i cos α.
Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres complexes z1, z2 et z3.
Exercice8.
La courbe Cf ci-dessous représente la fonction f définie et dérivable sur [−4; 5] et on
note f0 la fonction dérivée de f sur [−4; 5].
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Les droites (d), (d’) représentent les tangentes a la courbe Cf respectivement aux
points A et B d’abscisses 1 et 0
Partie 1 : Partie graphique
Déterminer en utilisant le graphique :
1. f(1)
2. f’(0) et f’(1) en justifiant soigneusement les réponses.
Partie 2 : Partie algébrique
On donne f(x) = (x2 + x – 1)/(x2 − x + 1)
1. Montrer que f’(x) = −2x(x − 2)/(x2 − x + 1)2
2. Retrouver par le calcul la valeur de f’(1)
Exercice9
U 0  2
2
Un
On considère la suite réelle (Un) définie sur IN par : 
U n1  2U  1
n

1) a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : U n  1
b) Etudier la monotonie de la suite (Un)
c) En déduire que la suite (Un) est convergente et calculer sa limite.
2) a) Etudier les variations de la fonction f : x 
x2
, x [1,+  [
2x  1
b) En utilisant les inégalités des accroissements finis, montrer que,
1
2
pour tout entier naturel n, U n1  1  U n  1
c) En déduire que, pour tout entier naturel n, U n1  1  1 / 2n
d) Trouver alors la limite de (Un).
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