Utilisation des matrices en algèbre linéaire.

Chapitre 3
Utilisation des matrices en algèbre linéaire.
I. Où interviennent les matrices ?........................................................2
1/ Matrice associée à un vecteur, à une famille de vecteurs. ......................2
2/ Matrice associée à une application linéaire, à un endomorphisme. ............ 3
3/ Savoir interpréter les 0 d’une matrice.............................................4
4/ Matrices associées à un système linéaire..........................................5
5/ Liens entre ces 3 objets. ........................................................... 5
II. Le rang : un outil puissant. ...........................................................6
1/ Rang d’une famille de vecteurs ....................................................6
2/ Rang d’une application linéaire....................................................6
3/ Rappel : théorème du rang.........................................................7
III. Changement de bases. ................................................................7
1/ Matrice de passage .................................................................7
2/ Changement de base pour les vecteurs ...........................................8
3/ Changement de base les applications linéaires ...................................8
4/ Changement de base les endomorphismes ........................................8
5/ Invariants. ...........................................................................9
IV. Dualité ................................................................................. 10
1/ Espace dual.........................................................................10
2/ Formes linéaires et hyperplans...................................................10
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Chapitre 3
Utilisation des matrices en algèbre linéaire.
I. Où interviennent les matrices ?
I.1/ Matrice associée à un vecteur, à une famille de vecteurs.
Définitions. Soit Eun K-ev et β= (e1, . . . , en)une base de E.
1. Soit x = x1e1 + . . . xnen la décomposition de x dans la base β alors la matrice associée à x ,
relativement à la base β, s’écrit
[x]β=
x1
.
.
.
xn
2. Soit une famille de vecteurs ( u1, . . . , up ). Pour tout k dans { 1 , . . . , p} , notons ( u1k, . . . , unk )les
coordonnées du vecteurs uk dans β . La matrice associée à la famille de vecteurs ( u1, . . . , uk )est
alors : relativement à la base βest :
[(u1, . . . , up)]β=
u11 u12 . . . u1p
.
.
..
.
..
.
.
un1un2. . . unp
Pour obtenir la matrice de ( u1, . . . , up )dans β , il suffit de coller les matrices associées aux vecteurs
u1, . . . , updans β. Ainsi la kième colonne de la matrice contient les coordonnées de uk.
Propriétés.1Soient βune base d’un K-ev et Ede dimension n.
1. L’application [. . . ]βest un isomorphisme (d’espaces vectoriels) de Edans Mn1(K)cad :
•[λx +µy ]β=λ[x]β+µ[y]βpour tous x,ydans Eet λ,µdans K.
•[x]β= [ y]β⇐⇒ x=ypour tous x,ydans E
•Pour toute matrice colonne Cde Mn1(K), il existe xdans Etel que [x]β=C.
2. Idem pour les familles de vecteurs.
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I.2/ Matrice associée à une application linéaire, à un endomorphisme.
Définitions. Soient E1et E2des K-ev et β1= (e1, . . . , ep)et β2des bases respectives de E1et E2.
1. La matrice d’une AL f, relativement aux bases β1et β2est notée [f]β1β2et est égale à :
[f]β1β2= [ (f(e1), . . . , f(ep) ]β2
Ainsi sur la kième colonne de la matrice de [ f ]
β1β2
se trouvent les coordonnées de f ( ek )dans la
base β2
2. Si E=Fet βe=βf, on note plus simplement la matrice [f]βe.
Propriétés.2Soient E1,E2et E3des K-ev et β1,β2,β3des bases respectives de E1,E2,E3.
1. [f(x) ]β2= [ f]β1β2×[x]β1pour fdans L(E1, E2)et xdans E1.
2. [f o g ]β1β3= [ f]β2β3×[g]β1β2pour fdans L(E2, E3)et pour gdans L(E1, E2).
3. L’application [. . . ]β1β2est un isomorphisme (d’espaces vectoriels) cad :
•[λf +µg ]β1β2=λ[f]β1β2+µ[g]β1β2pour f,gdans L(E2, E3)et λ,µdans K.
•[f]β1β2= [ g]β1β2⇐⇒ f=gpour f,gdans L(E1, E2)
• Pour toute matrice A dans Mdim(E2)dim(E1) ( K ), il existe f dans L ( E1, E2 ),[ f ]
β1β2
= A .
Définition. En vertu de la propriété 3 précédente, pour toute matrice A de Mpq ( K ), il existe une unique
AL de Rq dans Rp ayant A pour matrice via les bases canoniques. On l’appelle l’AL canoniquement
associée à Aet on la note souvent fA.
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I.3/ Savoir interpréter les 0 d’une matrice.
Cadre général. Soit Mla matrice d’un endomorphisme fdans une base (e1, . . . , en)de la forme :
M=
f(e1). . . f(ep). . . f(eq). . . f(en)
...0. . . 0
....
.
..
.
.∗
...0 0
∗A∗
0. . . 0...
∗.
.
..
.
....
0. . . 0...
e1
.
.
.
ep−1
ep
.
.
.
eq
eq+1
.
.
.
en
Propriétés.3
1. L’espace vectoriel F=vect{ep, . . . , eq}est stable par f
2. Si Aest la matrice nulle F⊂Ker(f)
3. Si Aest triangulaire supérieure, les Fk=V ect(ep, . . . , ek)pour kdans [[p, q]] sont stables par f.
4. Si Aest triangulaire inférieure, les Fk=V ect(ek, . . . , eq)pour kdans [[p, q]] sont stables par f.
Remarques. En particulier :
1. Si Mest une matrice diagonale alors tous les droites vectorielles Keisont stables par f.
2. Si Mest triangulaire supérieure alors les Fk=V ect(e1, . . . , ek)sont stables par f.
Exercice.4 Soit β = ( e1, . . . , e5 )une base d’un K -ev E . En utilisant les propriétés précédentes, donner
des sev stables par f:
[f]β=
12000
04000
00500
00030
00032
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I.4/ Matrices associées à un système linéaire.
Définition. Soit AX =Bun système linéaire.
1. La matrice associée est A.
2. La matrice augmentée associée est (A|B).
Remarque. Si Aest inversible alors le système a une unique solution. Il est dit de Cramer.
Méthode de résolution des systèmes..
1. Pour résoudre un système linéaire AX = B , on réduit la matrice augmentée associée ( A|B ). Les
variables correspondant à des colonnes avec un pivot sont appelées des variables principales. Les
autres sont des variables secondaires.
• S’il existe un pivot dans la colonne des constantes (la dernière colonne), le système n’a
pas de solution.
•Sinon, s’il n’y a pas de variables secondaires, le système a une unique solution.
•
Dans les autres cas, le système a une infinité de solutions. Pour les décrire, on exprime les
variables principales en fonction des variables secondaires.
2. Dans les cas où le système est un système linéaire homogène (cad B=0), on ne fait pas apparaître
la dernière colonne puisqu’elle ne contient que des 0. Le premier cas est donc exclu, il y a toujours
une solution. Enfin les solutions du système forment un sev de Rn où n est le nombre d’inconnues.
I.5/ Liens entre ces 3 objets.
Remarques. Considérons :
•une AL fde Edans Fayant Apour matrice dans les bases β= (e1, . . . , ep)de Eet β0de F
•une famille F= (u1, . . . , uq)de Fde même matrice Adans β0.
On a alors :
1. F= ( f(e1), . . . , f(en))
2. f ( x ) = x1u1 + . . . + xnun avec ( x1, . . . , xn ), les coordonnées de x dans β . C’est en fait la seule
application linéaire transformant (e1, . . . , ep)en
3. Enfin :
fest injective ⇐⇒ F est libre ⇐⇒ Le système AX = 0
a une unique solution
fest surjective ⇐⇒ F est génératrice ⇐⇒ Les systèmes AX = [y]β0avec y
dans Font au moins une solution.
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