Les nombres complexes-partie 1

[Les nombres complexes \
Partie 1
Table des matières

Les nombres complexes
I Un nouvel ensemble de nombres
•L’équation x+1=0 n’admet pas de solution dans N, on a donc construit un ensemble appelé Zqui
contient Net dans lequel cette équation admet −1 comme solution.
•L’équation 3x−2=0 n’admet pas de solution dans D, on a donc construit un ensemble appelé Qqui
contient Ddans lequel cette équation admet 2
3comme solution.
•L’équation x2=2 n’admet pas de solution dans Q, on a donc construit un ensemble appelé Rqui contient
Qdans lequel cette équation admet - p2 et −p2 comme solutions.
•L’équation x2=−1 n’admet pas de solution dans R, il faut donc construire un nouvel ensemble.
En Italie : Dès le XVIe siècle, les algébristes italiens, dont Tartaglia (1500-1557)Cardan(1501-1576) et Bom-
belli (1526-1573), utilisent la notation p−aoù aest un réel strictement positif. Ils se rendent compte que
l’extraction de la racine carrée dans le cas d’un nombre négatif est impossible. Pour manipuler ces nombres
qu’ils appellent « nombres impossibles » ; ils définissent des règles de calcul prolongeant celles définies sur
R.
En France : Au début du XVII ème siècle, DESCARTES introduit l’appellation « nombres imaginaires ».
En Suisse : Au début du XVIII ème siècle, EULER déclare que la notation p−1 est absurde car elle conduit à
une contradiction : ¡p−1¢2= −1 par définition ; or ¡p−1¢2=p−1×p−1=p(−1)2=p1=1 en appliquant
les propriétés sur les racines carrées.
EULER introduit donc en 1777 la notation i qui désigne le nombre vérifiant i2=−1.
En Allemagne : Au XIXe siècle, GAUSS, les nomme les « nombres complexes ».
Un peu d’histoire
Sachant que i2= −1 et en utilisant les règles de calcul définies sur R, en particulier la régle «un produit est
nul si un des facteurs est nul», résoudre les équations :
1. z2=−1 ; z2=−9 ; z2=−7
2. Montrer que z2−2z+2=(z−1)2+1. En déduire les solutions de l’équation z2−2z+2=0.
3. En utilisant une méthode analogue, résoudre l’équation z2−4z+13 =0.
II La forme algébrique des nombres complexes
1 Nombres complexes
Un nombre complexe est un nombre de la forme x+iyoù xet ysont deux réels et iun nombre
imaginaire qui vérifie i2=−1.
L’ensemble des nombres complexes se note C.
Définition
Remarque :
Tout réel est un complexe, on a donc R⊂C
Cours http://mathparadise.pagesperso-orange.fr Page 1/??

Les nombres complexes
2 Forme algébrique
◦z=x+iyest la forme algébrique de z;
◦xest la partie réelle de zon note x=Re(z) ;
◦yest la partie imaginaire de zon note y=Im(z) ;
◦zest imaginaire pur ⇐⇒ Re(z)=0 ;
◦zest réel ⇐⇒ Im(z)=0 ;
Définition
Tout nombre complexe zs’écrit de façon unique sous la forme x+iyoù xet ysont deux réels.
Propriété
3 Égalité de deux complexes
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie
imaginaire :
z=z′⇐⇒ ½Re(z)=Re(z′)
Im(z)=Im(z′)
Corollaire
III Opérations dans C
On applique les mêmes règles de calcul sur les complexes que sur les réels. En particulier on peut ajouter,
soustraire multiplier et diviser les complexes :
1 Somme et produit
(x+iy)+(x′+iy′)=(x+x′)+i(y+y′)
(x+iy)(x′+iy′)=(xx′−y y′)+i(x y′+y x′)
Remarque :
Re(z+z′)=Re(z)+Re(z′) et Im(z+z′)=Im(z)+Im(z′)
Mais Re(zz′) et Re(z)Re(z′) sont différents en général.
2 Quotient
Le complexe x′+iy′étant différent de 0 on a :
x+iy
x′+iy′=(x+iy)(x′−iy′) (x′+iy′)(x′−iy′)=(xx′+y y′)+i(x′y−y′x) x′2+y′2
Remarque :
Ces formules ne sont pas à savoir, les opérations sur les complexes suivent les mêmes règles que celles sur
les réels ! Tous les calculs s’effectuent donc de manière plutôt automatique, comme sur les réels, il suffit de
remplacer i2par −1.
Cours http://mathparadise.pagesperso-orange.fr Page 2/??

Les nombres complexes
IV Les propriétés utiles pour résoudre les équations
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie
imaginaire.
Propriété
Exemple : Résoudre dans Cl’équation iz+5−2i =3z+i
On pose z=x+iyavec xet ydeux réels, l’équation s’écrit donc :
aet bétant deux complexes, cétant un complexe non nul,
a=b⇐⇒ a+c=b+c
a=b⇐⇒ a×c=b×c
Propriété
Cette propriété permet de résoudre les équations dans Ccomme on le fait dans R
Exemple :
iz+5−2i =3z+i
iz−3z=i−5+2i
(··· )z=···
aet bétant deux complexes,
a×b=0⇐⇒ a=0 ou b=0
Propriété
Cette propriété permet de résoudre les équations de degré supérieur à 1 dans Ccomme on le fait en classe
de seconde
Exemple : Résoudre dans Cl’équation (2 −i)(z−3i) =z(z−3i)
Cours http://mathparadise.pagesperso-orange.fr Page 3/??

Les nombres complexes
V Conjugué d’un complexe
1 Définition
Soit z=x+iyavec xet ydeux réels.
On appelle conjugué de zet on note zle complexe x−iy
Définition
2 Propriétés
Soient zet z′deux nombres complexes quelconques :
◦z=z(1)
◦z+z′=z+z′(2)
◦zz′=zz′(3)
◦³z
z′´=z
z′pour z′non nul (4)
◦zn=znpour n∈N∗(5)
Propriété
Démonstration
◦La propriété (1) est immédiate
◦z=x+iyet z′=x′+iy′donc z+z′=(x+x′)+i(y+y′)
d’où z+z′=(x+x′)−i(y+y′)=(x−iy)+(x′−iy′)=z+z′
◦z=x+iyet z′=x′+iy′donc zz′=(xx′−y y′)+i(x y′+x′y) d’où zz′=(xx′−y y′)−i(x y′+x′y)
Or zz′=(x−iy)(x′−iy′)=(xx′−y y′)−i(x y′+x′y) on a donc zz′=zz′
◦Nous savons que z
z′×z′=zet en utilisant la propriété (3) on obtient ³z z′´×z′=zet en divisant
les deux membres par z′on trouve ³z
z′´=z
z′
◦On démontre la propriété (5) par récurrence : zn=znpour n∈N∗
Initialisation : z1=z=z1la propriétés est vraie au rang le plus bas.
Hérédité : Supposons que pour un entier nfixé, on ait zn=znet sous cette hypothèse prouvons que
zn+1=zn+1:
zn+1=znz
=znzd’après la propriété (3)
=znzd’après l’hypothèse de récurrence
=zn+1
Conclusion : La propriété est vraie pour tout les entiers naturels
Cours http://mathparadise.pagesperso-orange.fr Page 4/??