![](//s1.studylibfr.com/store/data-gzf/432d5a7ed224d291ba538823e44868d9/1/000833075.htmlex.zip/bg2.jpg)
Les nombres complexes
I Un nouvel ensemble de nombres
•L’équation x+1=0 n’admet pas de solution dans N, on a donc construit un ensemble appelé Zqui
contient Net dans lequel cette équation admet −1 comme solution.
•L’équation 3x−2=0 n’admet pas de solution dans D, on a donc construit un ensemble appelé Qqui
contient Ddans lequel cette équation admet 2
3comme solution.
•L’équation x2=2 n’admet pas de solution dans Q, on a donc construit un ensemble appelé Rqui contient
Qdans lequel cette équation admet - p2 et −p2 comme solutions.
•L’équation x2=−1 n’admet pas de solution dans R, il faut donc construire un nouvel ensemble.
En Italie : Dès le XVIe siècle, les algébristes italiens, dont Tartaglia (1500-1557)Cardan(1501-1576) et Bom-
belli (1526-1573), utilisent la notation p−aoù aest un réel strictement positif. Ils se rendent compte que
l’extraction de la racine carrée dans le cas d’un nombre négatif est impossible. Pour manipuler ces nombres
qu’ils appellent « nombres impossibles » ; ils définissent des règles de calcul prolongeant celles définies sur
R.
En France : Au début du XVII ème siècle, DESCARTES introduit l’appellation « nombres imaginaires ».
En Suisse : Au début du XVIII ème siècle, EULER déclare que la notation p−1 est absurde car elle conduit à
une contradiction : ¡p−1¢2= −1 par définition ; or ¡p−1¢2=p−1×p−1=p(−1)2=p1=1 en appliquant
les propriétés sur les racines carrées.
EULER introduit donc en 1777 la notation i qui désigne le nombre vérifiant i2=−1.
En Allemagne : Au XIXe siècle, GAUSS, les nomme les « nombres complexes ».
Un peu d’histoire
Sachant que i2= −1 et en utilisant les règles de calcul définies sur R, en particulier la régle «un produit est
nul si un des facteurs est nul», résoudre les équations :
1. z2=−1 ; z2=−9 ; z2=−7
2. Montrer que z2−2z+2=(z−1)2+1. En déduire les solutions de l’équation z2−2z+2=0.
3. En utilisant une méthode analogue, résoudre l’équation z2−4z+13 =0.
II La forme algébrique des nombres complexes
1 Nombres complexes
Un nombre complexe est un nombre de la forme x+iyoù xet ysont deux réels et iun nombre
imaginaire qui vérifie i2=−1.
L’ensemble des nombres complexes se note C.
Définition
Remarque :
Tout réel est un complexe, on a donc R⊂C
Cours http://mathparadise.pagesperso-orange.fr Page 1/??