Exercice n°1

Exercice n°1
(sur 4,50 points)
On considère l`équation E  d`inconnue z dans l`ensemble des nombres complexes C
suivante: z 3   8  i  z 2  17  8i  z  17i  0
E  .
1. Montrer que – i est solution de E  .
2. Déterminer les réels a, b et c tels que:
z 3   8  i z 2  17  8i z  17i  z  i  az 2  bz  c .
3. Résoudre l`équation E  dans dans l`ensemble des nombres complexes C.
On appelle A, B, C les points d`affixes respectives  i, 4  i, 4  i .
z  zC
4. Calculer l`argument de A
.
z B  zC
5. Quelle est la nature du triangle ABC?
En déduire l`affixe du cetre S de cercle circonscrit au triangle ABC, calculer le
rayon de ce cercle.




6. Faire la figure dans un repère orthonormal O; u, v .
Exercice n°2
(sur 5,00 points)
On considère le polynôme P de la variable complexe z tel que:
Pz   z 3  2 3  i z 2  4 1  i 3 z  8i .




1. Montrer que l`équation Pz   0 admet une solution imaginaire pure z0 que l`on
déterminera.


2. Déterminer a, b et c tels que: Pz   z  2i  az 2  bz  c .
3. Résoudre l`équation Pz   0 dans l`ensemble des nombres complexes C.
4. Soit z 0  2i , z1  3  i et z 2  3  i . Ecrire les nombres z 0 , z1 et z 2 sous forme
exponentielle.
 
5. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O; u , v  . Placer A, B et C
d’affixes
respectives z 0 , z1 et z 2 .
6. Montrer que les points A, B et C sont situés sur le cercle  de centre O et de rayon r.
Déterminer la valeur du rayon r.
7. Déterminer la nature du quadrilatère OABC. Justifier la réponse.