Feuille de TD 9 : Anneaux, corps

Feuille de TD 9 : Anneaux, corps
9.1 Anneaux, Corps
Exercice 9.1 KOn pose Q[√2] = {x∈R|∃a, b ∈Q, x =a+b√2}. Montrer que Q[√2] muni de
l’addition et de la multiplication des nombres r´eels est un anneau commutatif. D´eterminer ses ´el´ements
inversibles. Conclure.
Exercice 9.2 KSoient xet ydeux ´el´ements d’un anneau A, diff´erents de 0 et de 1.
1. D´ecrire les ´el´ements du plus petit sous-anneau A0de Acontenant xet y. (On dit que A0est le
sous-anneau de Aengendr´e par xet y.)
2. On suppose de plus qu’il existe un n∈Ztel que xy =n.yx. Reprendre la question pr´ec´edente.
Exercice 9.3 KMontrer qu’en g´en´eral (a+b)Z6=aZ+bZ.
Exercice 9.4 KQuels sont les ´el´ements inversibles de : Z/47Z,Z/50Z,Z/1024Z?
Exercice 9.5 KSoit −→ El’ensemble des vecteurs de l’espace. Est-ce que (−→ E,+,∧) est un anneau ?
Exercice 9.6 KSoit Z[i] = {z∈C|∃a, b ∈Z, z =a+ib}. Montrer que Z[i] est un anneau. Quelles sont
ses propri´et´es remarquables ? Quels sont ses ´el´ements inversibles ?
Exercice 9.7 KK Soit Aun anneau commutatif et x∈A. On dit que xest nilpotent s’il existe k∈Ntel
que xk= 0. Montrer que si xest nilpotent alors 1 −xest inversible. Montrer que si xet ysont nilpotents
alors xy,x+yet x−ysont nilpotents.
Exercice 9.8 KK On dit qu’un anneau Aest un anneau de Boole ssi pour tout x∈A,x2=x(on dit
que xest idempotent). Dans la suite on consid`ere un anneau de Boole A.
1. Montrer que pour tout x∈A,x+x= 0.
2. Montrer que Aest commutatif.
3. Montrer que si on d´efinit la relation Rsur Apar xRy ⇔xy =xalors Rest une relation d’ordre
sur A.
4. Montrer que pour tous x, y ∈A,xy(x+y) = 0.
5. Montrer que si Aest int`egre, alors A={0; 1}.
6. Montrer, en essayant de construire la table d’addition et de multiplication, qu’il n’y a pas d’anneau
de Boole `a 3 ou 5 ´el´ements, mais qu’il y en a un `a 4 ´el´ements.
7. Soit Eun ensemble. Pour X, Y ⊂Eon pose :
X∆Y= (X\Y)∪(Y\X)
On dit que X∆Yest la diff´erence sym´etrique de Xet Y.
Montrer que (P(E),∆,∩) est un anneau de Boole. Quelle est la relation R?
9.2 Arithm´etique
Exercice 9.9 Montrer que 270 + 370 est divisible par 13.
Exercice 9.10 ´ Etudier le reste de la division euclidienne de 2123 + 3121 par 11.
Exercice 9.11 1. Montrer que 35≡1 [11]. En d´eduire que ∀k, r ∈N, 35k+r≡3r[11].
2. Soit n∈N. Quel est le reste de la division de 3npar 11 ?
3. D´eterminer les npour lesquels 3n+ 7 est divisible par 11.
Exercice 9.12 KD´eterminer le chiffre des unit´es des diff´erentes puissances de 2 ´ecrites dans le syst`eme
d´ecimal. Mˆeme question avec les puissances de 7. En d´eduire le chiffre des unit´es du nombre 35489×253731.
1

Exercice 9.13 (Th´eor`eme de Wilson)
Soit p∈N,p≥2. Montrer que pest premier ssi (p−1)! = −1 [p].
Exercice 9.14 Soient a, n ∈N,n≥2. Montrer que si an−1 est premier alors a= 2 et nest premier.
(utiliser une identit´e remarquable)
Exercice 9.15 (Nombres de Fermat) Soit n∈N∗. Montrer que si 2n+ 1 est premier alors nest une
puissance de 2. (La r´eciproque est fausse. Le nombre Fk= 22k+ 1 s’appelle le k-i`eme nombre de Fermat.)
9.3 Probl`emes
Probl`eme: KK (Un raffinement du th´eor`eme de Bezout)
Soient a, b ∈N∗. Pour tout x∈Zon notera ¯xla classe de xmodulo b. On note fal’application :
fa:Z/bZ−→ Z/bZ
¯x7−→ ¯x−¯a
Les questions signal´ees par un ]ne sont pas utilis´ees dans le reste du probl`eme.
Les questions signal´ees par une ∗sont les plus difficiles.
La partie 2 peut ˆetre trait´ee en admettant les r´esultats de la partie 1, et la partie 3 ceux de la partie 2.
1. 1ere Partie.
(a) (]) L’application faest-elle un endomorphisme du groupe (Z/bZ,+) ?
(b) Montrer que faest une permutation de l’ensemble {¯ 0; ¯ 1; . . . ;b−1}.
(c) (]) Dans cette question on prend a= 6 et b= 15. On ´ecrira toutes les classes en choisis-
sant des repr´esentants r´eduits, c’est-`a-dire compris entre 0 et 14. On consid´erera
f6en tant qu’´el´ement du groupe des permutations de {¯ 0; ¯ 1; . . . ; 14}.
i. D´eterminer les orbites de f6.
ii. D´ecomposer f6en produit de cycles `a supports disjoints. En d´eduire la signature et
l’ordre de f6.
(d) (∗) Soient ¯x, ¯y∈Z/bZ. Montrer que les orbites selon fade ¯xet de ¯ysont en bijection.
(e) Soit lla longueur de l’orbite de ¯ 0 selon fa. Montrer que l×a= PPCM(a;b). (Indication :
r´efl´echir sur un exemple en choisissant des repr´esentants non-r´eduits pour les classes.)
(f) Soit rle nombre d’orbites distinctes selon fa. Montrer que r=P GCD(a, b).
2. 2eme partie. Dans cette partie on suppose que aet bsont premiers entre eux.
(a) (]) D´emontrer le th´eor`eme de Bezout `a l’aide de la question 1f.
(b) Montrer que pour tout x∈N, il existe n∈Navec 0 ≤n≤b−1, tel que x−na =¯ 0.
(c) (∗) Montrer que si l’entier xv´erifie x > ab −a−b, alors il existe des entiers net ktels que :
x=na +kb, avec 0 ≤n≤b−1,et k≥0
3. 3e partie. Application. Un train ´el´ectrique se d´eplace sur le parcours repr´esent´e ci-dessous. Un
aiguillage plac´e en Opermet de passer de l’itin´eraire A`a l’itin´eraire Bet inversement. L’itin´eraire
Aa pour longueur 8 m`etres et l’itin´eraire Ba pour longueur 11 m`etres.
Montrer que pour tout entier x≥70, on peut faire parcourir xm`etres au train en le faisant partir
et arriver en O.
2

AB
Ox
♣
Probl`eme: KK Dans un anneau, on dit qu’un ´el´ement xest un carr´e ssi il existe ytel que x=y2.
Dans la suite on consid`ere le corps Z/pZavec p≥3 un nombre premier.
1. Montrer que dans Z/pZil y a exactement p+1
2carr´es.
2. Montrer que pour tout ¯x∈(Z/pZ)×, on a ¯xp−1
2=±¯
1.
3. Montrer que si ¯xest un carr´e non-nul, alors ¯xp−1
2= 1.
4. Montrer la r´eciproque.
5. Montrer que le polynˆome X2+ 1 est irr´eductible dans Z/pZssi pn’est pas congru `a 1 modulo 4.
6. D´ecomposer le polynˆome X2+ 1 en produit de facteurs irr´eductibles dans Z/5Z.♣
Probl`eme: KK (Sous-groupes additifs de R.)
Soit Eun sous-ensemble de R. On dit que Eest dense dans Rssi :
∀x, y ∈R, x < y ⇒ ∃z∈E, x < z < y
Soit Gun sous-groupe de (R,+) et G∗
+=G∩R∗ +.
1. Montrer que si G6={0}, alors G∗
+6=∅.
2. Soit m= inf(G∗
+).
(a) Montrer que si m6= 0 alors G=mZ.
(b) Montrer que si m= 0 alors Gest dense dans R. Donner un exemple montrant que ce cas est
possible.
3. Soient a, b ∈R. Montrer que aZ+bZ:= {am +bn|m, n ∈Z}est un sous-groupe de (R,+). ` A
quelle condition sur aet bce sous-groupe est-il dense dans R?
4. Soit Hun sous-groupe de (Z,+). Montrer qu’il existe n∈Ntel que H=nZ.
5. Soit Kun sous-groupe de (S1,×). Montrer que soit il existe n∈N∗tel que Ksoit l’ensemble
des racines n-`emes de l’unit´e, soit Kest dense dans S1(on d´efinira cette notion de densit´e en
s’inspirant de l’´enonc´e).
6. Montrer que l’ensemble des valeurs de la suite (cos(n))n∈Nest dense dans [−1; 1]. ♣
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