Série 8

EPFL
Section de Mathématiques
Introduction à la théorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre de Printemps, 2009 - 2010
Semaine du 19.04.2010
Série 8
Exercice 1.
√
1. On a vu en cours que si d 6= 1 est un entier sans facteurs carrés, le corps Q( d) est un
corps de nombres de degré 2. On dit que c’est un corps quadratique.
L’objectif
de cette question est de montrer la réciproque : tout corps quadratique s’écrit
√
Q( d), pour un certain entier d 6= 1 sans facteur carré.
(a) Soit L un corps quadratique. Soit x ∈ L tel que x 6∈ Q. Montrer que la famille {1, x}
forme une Q-base de L comme espace vectoriel.
(b) En particulier, x2 ∈ L. Il existe donc deux nombres rationnels b, c ∈ Q tels que
z 2 + bz + c = 0. Soit d := b2 − 4c. Montrer que d ∈ Q puis que d n’a pas de racine
dans Q, mais toutes ses racines dans L.
√
√
(c) Soit d ∈ L une racine de d dans L. Montrer alors : L = Q( d).
√
√
2. Soient b et d deux nombres rationnels sans facteurs carrés. Montrer que Q( d) = Q( b)
si et seulement si b/d est un carré non nul de Q.
Exercice 2. On sait qu’un nombre premier p s’écrit comme somme de deux carrés si et seulement si p = 2 ou p ≡ 1 mod 4. Le but de cet exercice est de montrer une autre équivalence,
pour tout nombre premier p :
il existe a, b ∈ Z tels que p = a2 + 2b2 ⇔ p = 2 ou p ≡ 1, 3 mod 8.
√
√
Pour cela, on considère l’anneau Z[ −2] := {a + b −2 ; a, b ∈ Z} ⊂ C. Dans la série 6,
nous avons vu√que cet anneau est principal, en montrant
qu’il est euclidien pour l’application
√
norme N : Z[ −2]\{0} → N donnée par N (a + b −2) = a2 + 2b2 .
Soit p 6= 2 un nombre premier.
√
1. Montrer que l’idéal pZ[ −2] est maximal si et seulement si p 6≡ 1, 3 mod 8.
Indication. On pourra considérer l’isomorphisme d’anneaux :
√
√
Z[ −2]/pZ[ −2] ' Fp [X]/(X 2 + 2)Fp [X].
2. On suppose p ≡ 1 ou 3 mod 8. Montrer qu’il existe a, b ∈ Z tels que p = a2 + 2b2 .
Indication. On pourra utiliser la propriété suivante, que l’on démontrera :
√
α ∈ Z[ −2] non inversible
⇔ N (α) 6= 1
pour en déduire p = N (α) = N (β).
3. On suppose p ≡ 5 ou 7 mod 8. Montrer que p ne peut pas s’écrire sous la forme a2 + 2b2 ,
avec a, b ∈ Z.
Exercice 3. D’après l’exercice 4 de la série 7, nous avons vu que si√d 6= 1 est un entier sans
facteur carré tel que d ≡ 1 (mod 4), alors l’anneau des entiers de Q( −d) n’est pas factoriel.
Voici d’autres corps quadratiques imaginaires dont l’anneau des entiers n’est pas factoriel.
Soit d 6= 1 un entier sans facteur carré qui n’est pas premier. Soit p un diviseur premier
de d ;
√
on écrit d = pd0 . On note OK l’anneau des entiers du corps quadratique K = Q( −d). Nous
allons montrer que l’anneau OK n’est pas factoriel.
√
1. Montrer que les éléments −d et p sont irréductibles dans OK .
2. En cherchant deux décompositions de d en produit d’éléments irréductibles dans OK , en
déduire que OK n’est pas factoriel.
√
Exercice 4. On admet que l’anneau des entiers de Q( −7) est factoriel.
√
1. Donner l’anneau des entiers de Q( −7).
√
2. Trouver la décomposition de 33 + 11 −7 en produit d’éléments irréductibles.
3. Pouvez-vous montrer que cette décomposition est unique ?
√
d≥1
En fait, il n’y a que 9 corps quadratiques imaginaires, c’est-à-dire du type Q( −d) avec √
entier sans facteur carré, dont l’anneau des entiers est factoriel : ce sont les corps Q( −d)
pour d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163. Ce résultat avait été conjecturé par Gauss, il a été
démontré en 1967 par Baker et Stark, indépendamment.