Série 8

EPFL
Section de Math´ ematiques
Introduction `a la th´eorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre de Printemps, 2009 - 2010
Semaine du 19.04.2010
S´erie 8
Exercice 1.
1. On a vu en cours que si d6= 1 est un entier sans facteurs carr´es, le corps Q(√d) est un
corps de nombres de degr´e 2. On dit que c’est un corps quadratique.
L’objectif de cette question est de montrer la r´eciproque : tout corps quadratique s’´ecrit
Q(√d), pour un certain entier d6= 1 sans facteur carr´e.
(a) Soit Lun corps quadratique. Soit x∈Ltel que x6∈ Q. Montrer que la famille {1, x}
forme une Q-base de Lcomme espace vectoriel.
(b) En particulier, x2∈L. Il existe donc deux nombres rationnels b, c ∈Qtels que
z2+bz +c= 0. Soit d:= b2−4c. Montrer que d∈Qpuis que dn’a pas de racine
dans Q, mais toutes ses racines dans L.
(c) Soit √d∈Lune racine de ddans L. Montrer alors : L=Q(√d).
2. Soient bet ddeux nombres rationnels sans facteurs carr´es. Montrer que Q(√d) = Q(√b)
si et seulement si b/d est un carr´e non nul de Q.
Exercice 2. On sait qu’un nombre premier ps’´ecrit comme somme de deux carr´es si et seule-
ment si p= 2 ou p≡1 mod 4. Le but de cet exercice est de montrer une autre ´equivalence,
pour tout nombre premier p:
il existe a, b ∈Ztels que p=a2+ 2b2⇔p= 2 ou p≡1,3 mod 8.
Pour cela, on consid`ere l’anneau Z[√−2] := {a+b√−2 ; a, b ∈Z} ⊂ C. Dans la s´erie 6,
nous avons vu que cet anneau est principal, en montrant qu’il est euclidien pour l’application
norme N:Z[√−2]\{0} → Ndonn´ee par N(a+b√−2) = a2+ 2b2.
Soit p6= 2 un nombre premier.

1. Montrer que l’id´eal pZ[√−2] est maximal si et seulement si p6≡ 1,3 mod 8.
Indication. On pourra consid´erer l’isomorphisme d’anneaux :
Z[√−2]/pZ[√−2] 'Fp[X]/(X2+ 2)Fp[X].
2. On suppose p≡1 ou 3 mod 8. Montrer qu’il existe a, b ∈Ztels que p=a2+ 2b2.
Indication. On pourra utiliser la propri´et´e suivante, que l’on d´emontrera :
α∈Z[√−2] non inversible ⇔N(α)6= 1
pour en d´eduire p=N(α) = N(β).
3. On suppose p≡5 ou 7 mod 8. Montrer que pne peut pas s’´ecrire sous la forme a2+ 2b2,
avec a, b ∈Z.
Exercice 3. D’apr`es l’exercice 4 de la s´erie 7, nous avons vu que si d6= 1 est un entier sans
facteur carr´e tel que d≡1 (mod 4), alors l’anneau des entiers de Q(√−d) n’est pas factoriel.
Voici d’autres corps quadratiques imaginaires dont l’anneau des entiers n’est pas factoriel.
Soit d6= 1 un entier sans facteur carr´e qui n’est pas premier. Soit pun diviseur premier de d;
on ´ecrit d=pd0. On note OKl’anneau des entiers du corps quadratique K=Q(√−d). Nous
allons montrer que l’anneau OKn’est pas factoriel.
1. Montrer que les ´el´ements √−det psont irr´eductibles dans OK.
2. En cherchant deux d´ecompositions de den produit d’´el´ements irr´eductibles dans OK, en
d´eduire que OKn’est pas factoriel.
Exercice 4. On admet que l’anneau des entiers de Q(√−7) est factoriel.
1. Donner l’anneau des entiers de Q(√−7).
2. Trouver la d´ecomposition de 33 + 11√−7 en produit d’´el´ements irr´eductibles.
3. Pouvez-vous montrer que cette d´ecomposition est unique ?
En fait, il n’y a que 9 corps quadratiques imaginaires, c’est-`a-dire du type Q(√−d)avec d≥1
entier sans facteur carr´e, dont l’anneau des entiers est factoriel : ce sont les corps Q(√−d)
pour d= 1,2,3,7,11,19,43,67 et 163. Ce r´esultat avait ´et´e conjectur´e par Gauss, il a ´et´e
d´emontr´e en 1967 par Baker et Stark, ind´ependamment.