Chapitre I – arithm é

Chapitre I
Chapitre I – –arithm arithmé étique enti tique entiè ère re
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[e-mail] , le 17/10/2012 divisibilit
divisibilité é
Ensembles de référence:
On parle d'arithmétique entière lorsque l'on
travaille dans l'ensemble IN des entiers
'naturels' ou Z des entiers relatifs
Divisibilité dans IN
Définition:
Si n et d sont deux entiers, on dit que d est
un diviseur de n si il existe un entier k tel
que n=k x d.
On dit aussi que n est divisible par d ou que
n est un multiple de d
On note d| n(d divise n)
Propriétés:
Tout diviseur de n est compris entre 1 et n
Tout entier a donc un nombre fini de
diviseurs
Exemples
Comme 56 = 7 x 8 on peut dire que
7 est un diviseur de 56
8 est un diviseur de 56
56 est un multiple de 7, ou de 8
Comme 56 = 14 x 4 on a également
14 et 4 sont des diviseurs de 56
56 est un multiple de 4, de 14…
Démonstration
Soit d un diviseur d'un entier n
Par définition, il existe k tel que n=kd
Comme n,d>0, k>0 donc k≥1
Comme k≥1, kd≥d donc n≥dou d≤n
Divisibilité dans Z
On étend la définition aux entiers relatifs en
disant que si d|n, alors
d|(-n) ; (-d) | n ; (-d) | (-n)
Théorèmes (dans Z)
1) Si a | b et b| c alors a | c
2) Si a | b et a | c alors
pour tout m et n entiers
a | mb + nc
Preuves
a | b  il existe k tel que b = ka
b | c  il existe k' tel que c = k'b
donc c = k'(ka) = (k'k) a soit a | c
a | b  il existe k tel que b = ka
a | c  il existe k' tel que c = k'a
donc mb+nc = mka+nk'a = (mk+nk')a
soit a | mb+nc

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Division enti
Division entiè ère re
Démonstration (a,b naturels)
Unicité
Supposons l'existence de deux solutions
(q,r) et (q',r'). Alors
a=bq+r=bq'+r' soit
b(q-q')=(r'-r)
r-r' est donc un multiple de b
Or 0 ≤ r < b et 0 ≤ r' < b
donc –b < r-r' < b
Le seul multiple de b vérifiant cette
condition est r-r'=0 soit r=r' et q=q'.
Existence
On considère tous les multiples de b (k x b)
inférieurs à a. Il y en a au moins 1 (0) et il
n'y en a pas une infinité car si
k.b ≤ a, k ≤ b/a
Donc il y en a un plus grand que les autres,
que j'appelle q.
Alors qb ≤ a < (q+1)b
En posant r = a-qb, on a bien
a = qb+r
qb ≤ a  a-qb ≥0 soit r ≥ 0
a < qb+b  a-qb < b soit r <b
Division Euclidienne (dans IN ou Z)
On appelle division euclidienne la division
entière avec reste
Définition/Théorème
Quels que soient a et b entiers, il existe un
unique couple d'entiers naturels q et r tels
que a=bq+r, avec 0 ≤ r < |b|
q est le quotient de a par b
r est le reste de la division de a par b
On dit aussi que q est la partie entière de
a/b
Exemple
Division euclidienne de 17 par 8:
En 17 il y a 2 fois 8, 2x8=16, 17-16=1
donc
17=8x2+1
2 est le quotient de 17 par 8, 1 est le reste
Division euclidienne de -94 par 7:
En 94 il y a 13 fois 7, 13x7=91, 94-91=3
donc
94=7x13+3, -94=-7x13-3 ne marche pas
On rajoute et on enlève 7
-94 = -7x14-3+7=7x(-14)+4
-14 est le quotient de 94 par 7, +4 est le
reste

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A la calculatrice
A la calculatrice
Déterminer q
Avec a et b, on calcule a/b
la partie entière du résultat est q
On peut aussi utiliser la fonction Partie Entière :
E(x) en notation mathématique
IPart(a/b) ou partEnt(a/b) sur TI (MATH/num)
Int(a/b) sur Casio (menu OPTN/num)
ENT(a/b) sur Excel
Attention, sur calculatrice, les négatifs
donnent de mauvaises valeurs
Déterminer r
Une fois que l'on a q, on a r=a-qb
MOD(a,b) sur Excel
exercices : n°19p26
Méthode
valeurs possibles de b
On sait que la division de 1399 par b a pour
reste 340. Quel est le diviseur b ?
1387 = bq+340
bq = 1399-340 = 1059
Les diviseurs de 1059 sont
1,1059,3,353
Or le reste doit être inférieur à b, donc b≥340
Il reste donc 1059 ou 353
Soit 1387=1059x1+340
ou 1387 = 353x3+340
Conséquences
dans une division euclidienne de a par b
r = 0 si et seulement si a divise b
Tout intervalle de la forme ]N-b;N] (N entier
quelconque) contient un et un seul multiple de
b
Preuve
Si l'on a deux diviseurs d et d', on a
bd = N+k (0≤k<b)
bd' = N+k' (0≤k<b). Supposons k≥k'
soit bd-bd' = b(d-d') = N+k-N-k' = k-k'
donc 0≤b(d-d')<b, soit d-d'=0, d=d', k=k'
Application importante
tout entier N s'écrit sous la forme
2n ou 2n+1
en effet, ]N-2;N]={N-1,N} contient un seul
multiple de 2, soit N-1=2n, soit N=2n
tout entier s'écrit sous la forme 3n, 3n+1
ou 3n+2
en effet, ]N-3;N]={N-2,N-1,N} contient un
seul multiple de 3, soit N-2=3n, soit N-1=3n,
soit N=3n.

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M
Mé éthodes classiques thodes classiques
Factoriser
On sait que la division de n par 5 a pour reste
3. Montrer que 2n2-n est un multiple de 5
Traduction
Il existe k tel que n=5k+3
Développement, factorisation
2n2-n=2(5k+3)2-(5k+3)
=50k2+60k+18-5k-3=50k2+55k+15
=5(10k2+11k+3) qui est bien multiple de 5
Tester les cas possibles
Quels sont les restes possibles de la division
par 6 de k2 ?
Les valeurs possibles de k peuvent s'écrire
6n, 6n+1,6n+2,6n+3,6n+4,6n+5
(6n)2=36n2=6(6n2), le reste est nul
(6n+1)2=36n2+12n+1=6(6n2+2n)+1,
le reste est 1
(6n+2)2=36n2+24n+4=6(6n2+4n)+4,
le reste est 4
(6n+3)2=36n2+36n+9=6(6n2+6n+1)+3,
le reste est 3
(6n+4)2=36n2+48n+16=6(6n2+8n+2)+4,
le reste est 4
(6n+5)2=36n2+60n+25=6(6n2+10n+4)+1,
le reste est 1
Les restes sont donc 0,1,3 ou 4
un algorithme donnant tous les diviseurs
d'un nombre donné
Demander a
POUR compteur VARIANT de 1 A racine(a)
SI a/compteur = ENT(a/compteur)
ALORS
afficher compteur
afficher a/compteur
FIN SI
FIN POUR
un algorithme donnant tous les multiples
d'un entier a, inférieurs à une borne M
Demander a, demander M
A) compteur 0
B) TANT QUE a * compteur < M
c) afficher a * compteur
d) compteur  compteur+1
FIN TANT QUE
Trace avec a=19, M=60
étape compteur affichage
A 0
B,C,D 119
B,C,D 238
B,C,D 357

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Nombres premiers
Définition
un nombre premier est un nombre entier
naturel, supérieur ou égal à 2, n’ayant que
deux diviseurs: 1 et lui même.
Par exemple
101, 599, 32971, 999983
Définition
Un nombre qui n'est pas premier est
composé
Le problème fondamental en arithmétique
est de savoir si un nombre N donné est
premier ou composé.
La définition très simple, donne un
algorithme également très simple, il suffit
de regarder pour tous les nombres allant de
2 à N-1, s'ils divisent ou non N.
Cet algorithme est malheureusement très
long puisqu'il demande N-2 tests et
opérations
Algorithme
DEMANDER n>2
POUR d variant de 2 à n-1
SI d divise n
Afficher 'pas premier'
FIN du programme
FIN SI
Afficher n ’est premier'
Exemple