logique

Mathématiques 1 Niv. 2
Deuxième partie
GEOMETRIE
CHAPIT RE CO MPLE ME NT AI RE :
BRI BES DE L OGI QUE
§1 Quelques éléments sommaires de logique
1.1.1 Introduction :
Le rôle de la logique comme instrument de compréhension et d'analyse des faits est très important. En effet,
elle permet de créer un langage explicite et clair pour le besoin de l'énoncé de propositions de type
mathématique (notamment géométrique) et d'indiquer quelques règles de déduction élémentaire. En
géométrie, elle ajoute à l'intuition, méthode et rigueur. L'idée de cette introduction est de donner quelques
définitions de base et quelques principes généraux, en évitant tout formalisme excessif ainsi que l'utilisation
des tables de vérité.
Sauf indication contraire, les propositions mathématiques mentionnées ont pour valeur, "VRAI", que ce
soient les axiomes, les définitions ou les étapes successives d'une démonstration.
1.1.2 Propositions énonciatives
Définition:
Une proposition énonciative est une phrase du type : tel objet possède tel attribut.
Une telle proposition en logique classique est donc un énoncé qui prend une des deux valeurs de
vérité, vrai ou faux.
Exemples :
a)
Pierre calcule
Objet : Pierre
Attribut : (être en train de ) calculer.
b)
4 est un multiple de 2
Objet : 4
Attribut : être multiple de 2.
c)
Les nombres premiers sont impairs
Objet : les nombres premiers
Attribut : être impairs.
Remarque :
Il est important de faire la distinction entre l'énonciation d'une proposition et l'évaluation de celle-ci.
En effet, le fait d'énoncer une proposition ne signifie pas forcément qu'elle est vraie.
S.Z.
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Exemples :
a)
7 est un multiple de 3
b)
4 est un diviseur de 20.
Ce sont deux propositions énonciatives; la première est fausse alors que la seconde est vraie.
Pour éviter des ambiguités d'évaluation, nous n'opérerons que sur des propositions évaluables satisfaisant
aux trois principes suivantes :
i) le principe d'identité :
Une proposition conserve sa valeur de vérité (toute chose est identique à elle-même).
ii) le principe du tiers-exclu :
Une proposition ne peut avoir d'autres valeurs que "VRAI" ou "FAUX".
iii) le principe de non-contradiction :
Une proposition ne peut avoir à la fois les deux valeurs VRAI et FAUX.
En résumé, la proposition doit toujours être vraie ou toujours fausse ( et si elle est vraie, elle n'est pas fausse
et inversement) indépendamment du lieu, du moment et de la personne qui les énonce.
Elle ne peut être à la fois vraie et fausse sans se contredire elle-même.
Elle ne peut être ni optative (exprimant un souhait, un désir), ni prédictive (exprimant un jugement douteux,
incertain).
Contre-exemples:
a)
Je m'appelle Philippe (proposition dépendante du sujet).
b)
Il fait bien chaud ici (proposition dépendante du lieu).
c)
Demain, il pleuvra (proposition prédictive).
d)
Il arrivera probablement dans une heure (proposition optative)
e)
Cette phrase est fausse (proposition à la fois vraie et fausse).
Remarques :
Ordinairement, on introduit deux symboles de constante :
- le symbole 1 (ou V) désignant une proposition vraie;
- le symbole 0 (ou F) désignant une proposition fausse.
Ces constantes vont être d'une grande utilité, lors de l'utilisation de tables de vérité.
S.Z.
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1.1.3 Calcul propositionnel.
Il est possible de définir une variable propositionnelle, qui peut prendre une des deux valeurs 0 ou 1.
D'ordinaire, on utilise les lettres p, q, r ou s pour les variables propositionnelles. On dit que l'on attribue la
valeur "vrai" à la proposition p, lorsque la variable p prend la valeur 1.
A partir de deux propositions simples, une opération binaire va les transformer en une proposition composée
dont la valeur de vérité ne dépend que des propositions considérées et des opérateurs utilisés. Il est ainsi
possible de faire du calcul logique à partir de propositions énonciatives simples.
A) Négation d'une proposition
A l'aide du mot NON (ou d'un équivalent), on formule la négation d'une proposition. Si la proposition est
vraie, alors sa négation est fausse et inversement, si la proposition est fausse, alors sa négation est vraie.
Exemples :
"4 est un nombre premier" est une proposition fausse;
"Il n'est pas vrai que 4 est un nombre premier" est une proposition vraie.
"La somme des angles internes d'un triangle est de 180 degrés" est une proposition vraie, alors que
sa négation, à savoir "la somme des angles intérieurs d'un triangle n'est pas de 180 degrés" est une
proposition fausse.
B) La conjonction de deux propositions
La conjonction de deux propositions est la "jonction" de deux (ou plusieurs propositions) par le mot ET.
Si les deux propositions sont vraies, alors la conjonction est vraie, mais si l'une des propositions au moins
est fausse, la conjonction est fausse.
Exemples :
"2 est un nombre pair et 2 est un nombre premier" est la conjonction des deux propositions "2 est un
nombre pair" et "2 est un nombre premier". La conjonction est vraie, puisque chacune des deux
propositions est vraie.
Dans "2 est un nombre pair et la baleine est un poisson", la proposition "la baleine est un poisson" est
fausse, donc la conjonction est fausse. (Pour les étourdis, une baleine est un mammifère).
C) La disjonction de deux propositions
En joignant des propositions au moyen du mot OU, on obtient la disjonction des propositions.
La disjonction de deux propositions est fausse seulement si les deux propositions sont fausses, autrement
elle est vraie.
S.Z.
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Exemples :
"Le triangle équilatéral a trois angles égaux ou le canard est un mammifère" est la disjonction de deux
propositions. Elle est vraie puisque la proposition "Le triangle équilatéral a trois angles égaux" est
vraie.
Remarque :
Le connecteur ou en logique se distingue du ou en usage dans la langue française, qui est exclusif.
Exemple :
Un père à son enfant, dans un autre temps :
"Tu manges ta soupe" ou "Tu prends une gifle"
Si l'enfant mange sa soupe, il ne prendra pas de gifle et s'il a pris une gifle, c'est qu'il n'a pas mangé
sa soupe.
En logique, cette proposition est fausse seulement si les deux propositions sont fausses.
D) La proposition conditionnelle
Une proposition conditionnelle est une proposition obtenue par la combinaison de deux propositions P et
Q au moyen des mots "si ... , alors ..." (si P alors Q). On appelle la proposition P l'antécédent et la
proposition Q le conséquent.
Une proposition conditionnelle est fausse seulement dans le cas où l'antécédent P est vrai et le conséquent
Q est faux; dans les trois autres cas, elle est vraie.
Exemple :
Si x est un multiple de 4, alors x est multiple de 2
Il s'ensuit que, quiconque accepte une proposition conditionnelle pour vraie et l'antécédent P pour vrai devra
accepter également le conséquent Q pour vrai. De même, quiconque tient une proposition conditionnelle
pour vraie et rejette le conséquent Q comme faux, devra aussi rejeter l'antécédent P.
Exemple :
Au cas où la proposition suivante : "Si je bois un jus d'orange le matin, alors je serai en forme pour la
journée" est vraie, alors, si je ne suis pas en forme pendant la journée, c'est que je n'ai pas bu de jus
d'orange. De même, si j'ai bu mon jus d'orange, alors je devrais être en forme pendant la journée. Par
contre, je pourrais être en forme durant la journée, même si je n'ai pas bu de jus d'orange.
S.Z.
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E) La proposition biconditionnelle
Une proposition biconditionnelle est une proposition obtenue par la combinaison de deux propositions P
et Q au moyen des mots "si ... alors ... et réciproquement"
Une proposition biconditionnelle est fausse dans le cas où l'antécédent P est faux et le conséquent Q est
vrai ou dans le cas où l'antécédent P est vrai et le conséquent Q est faux.
1.1.4 La déduction
En logique, il y a également des règles, les règles d'inférence qui sont des directives sur la manière dont
les propositions déjà connues comme vraies peuvent se transformer de façon à donner naissance à de
nouvelles propositions vraies.
La déduction consiste à construire une chaîne de propositions avec les propriétés suivantes : les membres
initiaux de la chaîne sont des propositions déjà tenues précédemment pour vraies (les hypothèses); chaque
membre suivant s'obtient des précédents en appliquant une règle d'inférence; le dernier membre de la
chaîne est la proposition à prouver (la conclusion).
En géométrie, il est clair que chaque chaînon d'une chaîne déductive doit pouvoir être justifié par un axiome,
une définition, un théorème (cf paragraphe suivant) ou par des règles logiques.
Voici, quelques règles utilisées couramment dans les démonstrations géométriques :
A) La règle de contraposition
Si la proposition de la forme "Si P alors Q" est acceptée comme vraie et si NON Q est vraie, alors NON P est
vraie.
Exemple :
Si le chat échaudé craint l'eau froide
donc si notre chat ne craint pas l'eau froide,
alors, il n'a pas été échaudé.
S.Z.
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B) La règle du détachement (ou du modus ponens)
Si deux propositions sont acceptées comme vraies, l'une ayant la forme d'une proposition conditionnelle de
la forme "Si P alors Q" et l'autre étant l'antécédent P de cette proposition, alors la proposition qui constitue le
conséquent Q de cette proposition conditionnelle peut être reconnue comme vraie.
Exemple :
S'il pleut, alors je prends mon parapluie.
Il pleut,
Alors, je prends mon parapluie.
C) La règle du modus tollens
Si deux propositions sont acceptées comme vraies, l'une ayant la forme d'une proposition conditionnelle de
la forme "Si P alors Q" et l'autre étant la négation du conséquent Q de cette proposition, alors la proposition
qui constitue la négation de l'antécédent P de cette proposition conditionnelle peut être reconnue comme
vraie.
Exemple :
S'il pleut, je prends mon parapluie
Je ne prends pas mon parapluie
Cela veut donc dire qu'il ne pleut pas.
D) la règle du syllogisme :
Si les deux propositions conditionnelles suivantes, à savoir "Si P alors Q" et "Si Q alors R" sont vraies,
la proposition "Si P alors R" est vraie également.
Exemple :
Si les poissons sont des animaux
et si les truites sont des poissons
alors les truites sont des animaux.
Attention, il n'y a pas de réciproque. Même si la proposition "Si P alors R" est vraie, les propositions "Si P
alors Q" et "Si Q alors R" ne sont pas nécessairement vraies.
S.Z.
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On peut trouver une aide précieuse dans le raisonnement déductif en utilisant les diagrammes d'Euler. Ainsi,
nous pouvons contrôler l'exactitude du raisonnement dans l'exemple ci-dessus :
Soient
T l'ensemble des truites
P l'ensemble des poissons
et A l'ensemble des animaux.
On a donc la situation ci-contre.
On peut analyser aussi l'inexactitude de la déduction suivante de la même manière :
Si les canards sont des oiseaux
et si les palmipèdes sont des oiseaux
alors les canards sont des palmipèdes
Même si zoologiquement, la conclusion
est exacte, la déduction n'est pas
exacte.
Pour s'en rendre compte, il suffit de
remplacer canard par autruche.
On obtiendra ainsi le diagramme
d'Euler ci-contre.
S.Z.
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En résumé, voici les quatre règles de déduction définies formellement
Prémisses
Conclusion
Contraposition
r→a
¬a → ¬r
Modus ponens
r→a
a
r
Modus tollens
r→a
¬r
¬a
Syllogisme
r→s
r→t
s→t
et leur illustration
Prémisses
Contraposition
Conclusion
Si vous êtes en retard, vous vous Si vous ne vous excusez pas,
excusez
c'est que vous n'avez pas été en
retard.
Modus ponens
Si vous êtes en retard, vous vous Vous vous excusez.
excusez.
Vous êtes en retard.
Modus tollens
Si vous êtes en retard, vous vous Vous n'avez pas été en retard.
excusez.
Vous ne vous excusez pas.
Syllogisme
Socrate est un homme. Tout Socrate est mortel.
homme est mortel
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