DÉVELOPPEMENT 25 FORMES LINÉAIRES ET CONNEXITÉ

D´ EVELOPPEMENT 25
FORMES LIN´ EAIRES ET CONNEXIT´ E
Soit Eun R-espace vectoriel norm´e et φune forme lin´eaire sur E, on pose H= ker φ.
Proposition. — φest continue si et seulement si E\Hn’est pas connexe par arcs.
D´emonstration. — Si φest continue alors E\Hest la r´eunion disjointe des deux ouverts
{x∈E;φ(x)>0}et {x∈E;φ(x)<0}
donc E\Hn’est pas connexe.
R´eciproquement, supposons que φne soit pas continue. Puisque les ensembles {x∈E;φ(x)>0}et
{x∈E;φ(x)<0}sont convexes, il s’agit de parties connexes par arcs donc il suffit de construire un
chemin continu entre a∈Etel que φ(a) = 1 et −a. Le fait que φne soit pas continue si traduit par
∃ε > 0/∀α > 0,∃x∈E / kxk< α et φ(x)> ε.
Posons x0=aalors (pour α=εkx0k
2), on a
∃fx1∈E / kfx1k<εkx0k
2et φ(fx1)> ε
puis on pose
x1=1
φ(fx1)fx1
de sorte que φ(x1) = 1 et
kx1k=1
φ(fx1)kfx1k<1 εkfx1k<1 ε
εkx0k
2=kx0k 2.
En r´eit´erant le proc´ed´e, on construit ainsi une suite (xn)n≥0de Ev´erifiant pour tout n≥0
φ(xn) = 1 ,kxn+1k<kxnket xn−−−−−→
n→+∞0.
Par ailleurs, on a E=H⊕Radonc, pour tout n≥0, on peut ´ecrire xn=hn+λnaavec hn∈Het
λn∈R. Mais on a φ(xn) = φ(a) = 1 et φ(hn) = 0 donc λn= 1 i.e. xn=hn+apour tout n≥0.
On peut donc consid´erer une application f:]0,kx0k]→Een posant
∀t∈]kxn+1k,kxnk], f (t) = 1
kxn+1k−kxnk((kxn+1k − t)(xn+hn)+(t− kxnk)(xn+1 +hn+1))
et cette application est continue sur ]0,kx0k] puisque f(kxnk) = xn+hnet fest affine par morceaux.
Pour tout t∈]kxn+1k,kxnk], on a
φ(f(t)) = 1
kxn+1k−kxnk((kxn+1k − t)φ(xn+hn)+(t− kxnk)φ(xn+1 +hn+1))
=1
kxn+1k−kxnk((kxn+1k − t)+(t− kxnk)) = 1
donc fest un chemin continu dans E\H.

78 Formes lin´ eaires et connexit´ e
Enfin, pour tout t∈]kxn+1k,kxnk], on a
f(t) + a=f(t) + a(kxn+1k − t) + a(t− kxnk)
kxn+1k−kxnk
=1
kxn+1k−kxnk((kxn+1k − t)(xn+hn+a)+(t− kxnk)(xn+1 +hn+1 +a))
=2
kxn+1k−kxnk((kxn+1k − t)xn+ (t− kxnk)xn+1)
d’o`u
kf(t) + ak ≤ 2
kxnk−kxn+1k((t− kxn+1k)kxnk+ (kxnk − t)kxn+1k) = 2t
et il s’ensuit que
f(t)−−−→
t→0+−a.
Ainsi, quitte `a prolonger fpar continuit´e en 0 en posant f(0) = −a, on a bien construit un chemin
continu dans E\Hd’extr´emit´es −aet f(kx0k) = x0+h0=a.
Le¸cons concern´ees
04 Connexit´e. Exemples et applications
10 Applications lin´eaires continues entre espaces vectoriels norm´es. Exemples et applications
S´ebastien Pellerin