Analyse Fonctionnelle I, feuille TD No. 3 : topolgies faibles

UNIVERSITE de SAVOIE Ann´ee 2008-2009
Master 1 Math´ematiques
Analyse Fonctionnelle I, feuille TD No. 3 : topolgies faibles
I). Exercices de topologie g´en´erale
a) Soit (X, T) un espace topologique. Ecrire les d´efinitions de l’interieur, de la fermeture et de
la connexit´e d’un ensemble A. Montrer qu’une fonction continue entre deux espaces topologiques
transforme un compact dans un compact et un connexe dans un connexe.
b) Montrer qu’il n’existe pas d’hom´eomorphisme (i.e. bijection continue avec inverse continue)
entre IR2et IR avec les topologies usuelles.
c) On d´efinit (IR,Ts) o`u Ts={∅,IR} ∪ {]a, +∞[: a∈IR}. Montrer que Tsest une topologie sur
IR. Est-elle s´epar´ee ? Peut-on trouver une distance dsur IR telle que la topologie engendr´ee par dsoit
Ts? Soit A={1,3} ∪ [4,+∞[. Calculer l’int´erieur et la fermeture de A. M.q. xnconverge vers xdans
Tss.s.i. x≤lim infn→∞ xn(attention, la limite n’st pas unique !).
d) On d´efinit (IR,Tc) o`u
Tc={∅,IR}∪{IR \A:A⊂IR, A au plus d´enombrable}.
Montrer que Tcest une topologie sur IR. D´emontrer qu’elle n’est pas s´epar´ee. Soit x∈IR. On suppose
que la suite (xn) converge vers x. Que peut on dire sur la suite (xn) ? Donner un exemple d’une
fonction s´equentiellement continue mais pas continue (attention, il n’y a pas de base de voisinages
denombrable !).
II). Soit Eun espace de Banach et soit A⊂Eun sous-ensemble de E, compact pour la topologie
faible σ(E, E0). Montrer que Aest born´e.
Indication. D’apr`es le th´eor`eme de Banach-Steinhaus, il suffit de v´erifier que pour tout f∈E0l’ensemble f(A) est born´e.
Or fest continue pour la topologie σ(E, E0) et Aest compact pour la topologie σ(E, E0). Donc f(A) est compact et par
suite born´e.
III). Soit Eun espace de Banach s´eparable ; soit Mun sous-espace vectoriel de Eet soit f0∈E0.
Montrer qu’il existe g0∈M⊥tel que
Inf
g∈M⊥kf0−gk=kf0−g0k.
en utilisant la topologie faible * σ(E0, E).
Indication. On utilise le fait que : (i) BE0est compact pour la topologie faible * σ(E0, E), (ii) M⊥est ferm´e pour la
topologie faible * σ(E0, E).
IV). Soit Eun espace de Banach.
1). Soit (fn) une suite de E0. On suppose que pour tout x∈E, hfn, xiconverge vers une limite.
Montrer qu’il existe f∈E0tel que fn
∗
* f pour la topologie faible * σ(E0, E).
2). On suppose maintenant que Eest r´eflexif. Soit (xn) une suite de Etelle que pour tout f∈
E0,hf , xniconverge vers une limite. Montrer qu’il existe x∈Etel que xn* x pour la topologie faible
σ(E, E0).
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V). 1). Soit (xn) une suite d’´el´ements de `pavec 1 ≤p≤ ∞. On suppose que xn−−−*
n→∞ xpour la
topologie σ(`p, `p0). Montrer que : (i) (xn) est born´e dans `p, (ii) xn
i*
n→∞ xipour tout i, o`u l’on note
xn= (xn
1, xn 2, . . . , xn
i, . . .) et x= (x1, x2, . . . , xi, . . .).
2). R´eciproquement, soit (xn) une suite d’´el´ements de `pavec 1 < p ≤ ∞. On suppose que : (i)
(xn) est born´e dans `p, (ii) xn
i−−−→
n→∞ xipour tout i. Montrer que x∈`pet que xn* n→∞ xpour la
topologie σ(`p, `p0).
VI). Pour chaque entier n≥1 on pose
en= (0,0,...,1
| {z }
ntermes
,0, . . .).
1). Montrer que en−−−*
n→∞ 0 dans `ppour la topologie σ(`p, `p0) avec 1 < p ≤ ∞.
2). Montrer qu’il n’existe aucune sous-suite extraite (enk) qui converge dans `1pour la topologie
σ(`1, `∞).
3). Donner un exemple d’espace de Banach Eet d’une suite (fn) de E0telle que kfnk= 1, ∀net
telle que (fn) ne poss`ede aucune sous-suite convergente pour la topologie faible * σ(E0, E). Y-a-t-il
contradiction avec la compacit´e de BE0pour σ(E0, E) ? (On pourra choisir E=`∞.)
Indication. 2). Supposons par l’absurde que enk−−−*
n→∞ adans `1pour la topologie σ(`1, `∞). Alors hξ , enki −−−→
k→∞ hξ , ai,
∀ξ∈`∞. On consid`ere l’´el´ement particulier ξ∈`∞d´efini par
ξ= (0,0,...,−1
↑
position n1
,0,0,...,+1
↑
position n2
,0,0,...,−1
↑
position n3
, . . .)
et donc hξ , enki= (−1)kne converge pas quand k→ ∞ — contradiction. 3). Soit E=`∞de sorte que `1⊂E0. On pose
fn=en. Supposons que fnk
∗
* f dans E0pour la topologie σ(E0, E), c’est-`a-dire hfnk, ξi → hf , ξipour tout ξ∈E. On
consid`ere l’´el´ement particulier ξd´efini comme `a la question 2 et donc hfnk, ξi= (−1)kne converge pas — absurde. Il
n’y a pas de contradiction avec le th´eor`eme du cours ; ceci montre seulement que BE0muni de la topologie σ(E0, E) est
ici un espace compact non m´etrisable. On retrouve aussi le fait que E=`∞n’est pas s´eparable.
VII). Soit Eun espace de Banach uniform´ement convexe, i.e. ∀ > 0, ∃δ > 0 tel que
x, y ∈E, kxk ≤ 1,kyk ≤ 1 et kx−yk ≥ ⇒ kx+y
2k<1−δ.
Important : tout espace de Banach uniform´ement convexe est r´eflexif (th´eor`eme de Milman-Pettis).
1). Montrer (on pourra raisonner par l’absurde) que ∀M > 0,∀ε > 0,∃δ > 0 tel que
x+y
2
2
≤1
2kxk2+1 2kyk2−δ, ∀x, y ∈Eavec kxk ≤ M, kyk ≤ Met kx−yk> ε.
2). Mˆeme question si l’on remplace k k2par k kpavec 1 <p<∞.
Indication. 1). Supposons, par l’absurde, qu’il existe M0>0, ε0>0 et deux suites (xn), (yn) telles que kxnk ≤
M, kynk ≤ M, kxn−ynk> ε0et
(?)‚
‚
‚
xn+yn
2‚
‚
‚
2
>1
2kxnk2+1 2kynk2−1 n.
Quitte `a extraire une sous-suite, on peut supposer que kxnk → aet kynk → b. On obtient alors a+b≥ε0et 1
2a2+1 2b2≤
`a+b
2´2. Par suite a=b6= 0. On pose x0
n=xn/kxnket y0 n=yn/kynk. Pour nassez grand on a kx0 n−y0 nk ≥ ε0
a+o(1)
(ici, et dans la suite, on d´esigne par o(1) diverses quantit´es positives ou n´egatives qui tendent vers 0 quand n→ ∞).
Gr`ace `a l’uniforme convexit´e, il existe δ0>0 tel que k(x0
n+y0 n)/2k ≤ 1−δ0.Donck(xn+yn)/22k ≤ a(1 −δ0) + o(1).
D’apr`es (?) on a k(xn+yn)/2k2≥a2+o(1).D’o`u a2≤a2(1 −δ0)2+o(1) — absurde.
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