Analyse Fonctionnelle I, feuille TD No. 3 : topolgies faibles

UNIVERSITE de SAVOIE
Année 2008-2009
Master 1 Mathématiques
Analyse Fonctionnelle I, feuille TD No. 3 : topolgies faibles
I). Exercices de topologie générale
a) Soit (X, T ) un espace topologique. Ecrire les définitions de l’interieur, de la fermeture et de
la connexité d’un ensemble A. Montrer qu’une fonction continue entre deux espaces topologiques
transforme un compact dans un compact et un connexe dans un connexe.
b) Montrer qu’il n’existe pas d’homéomorphisme (i.e. bijection continue avec inverse continue)
entre IR 2 et IR avec les topologies usuelles.
c) On définit (IR, Ts ) où Ts = {∅, IR} ∪ {]a, +∞[: a ∈ IR}. Montrer que Ts est une topologie sur
IR. Est-elle séparée ? Peut-on trouver une distance d sur IR telle que la topologie engendrée par d soit
Ts ? Soit A = {1, 3} ∪ [4, +∞[. Calculer l’intérieur et la fermeture de A. M.q. xn converge vers x dans
Ts s.s.i. x ≤ lim inf n→∞ xn (attention, la limite n’st pas unique !).
d) On définit (IR, Tc ) où
Tc = {∅, IR} ∪ {IR \ A : A ⊂ IR, A au plus dénombrable}.
Montrer que Tc est une topologie sur IR. Démontrer qu’elle n’est pas séparée. Soit x ∈ IR. On suppose
que la suite (xn ) converge vers x. Que peut on dire sur la suite (xn ) ? Donner un exemple d’une
fonction séquentiellement continue mais pas continue (attention, il n’y a pas de base de voisinages
denombrable !).
II). Soit E un espace de Banach et soit A ⊂ E un sous-ensemble de E, compact pour la topologie
faible σ(E, E 0 ). Montrer que A est borné.
Indication. D’après le théorème de Banach-Steinhaus, il suffit de vérifier que pour tout f ∈ E 0 l’ensemble f (A) est borné.
Or f est continue pour la topologie σ(E, E 0 ) et A est compact pour la topologie σ(E, E 0 ). Donc f (A) est compact et par
suite borné.
III). Soit E un espace de Banach séparable ; soit M un sous-espace vectoriel de E et soit f0 ∈ E 0 .
Montrer qu’il existe g0 ∈ M ⊥ tel que
Inf kf0 − gk = kf0 − g0 k.
g∈M ⊥
en utilisant la topologie faible * σ(E 0 , E).
Indication. On utilise le fait que : (i) BE 0 est compact pour la topologie faible * σ(E 0 , E), (ii) M ⊥ est fermé pour la
topologie faible * σ(E 0 , E).
IV). Soit E un espace de Banach.
1). Soit (fn ) une suite de E 0 . On suppose que pour tout x ∈ E, hfn , xi converge vers une limite.
∗
Montrer qu’il existe f ∈ E 0 tel que fn * f pour la topologie faible * σ(E 0 , E).
2). On suppose maintenant que E est réflexif. Soit (xn ) une suite de E telle que pour tout f ∈
E 0 , hf , xn i converge vers une limite. Montrer qu’il existe x ∈ E tel que xn * x pour la topologie faible
σ(E, E 0 ).
1
V). 1). Soit (xn ) une suite d’éléments de `p avec 1 ≤ p ≤ ∞. On suppose que xn −−−* x pour la
n→∞
0
topologie σ(`p , `p ). Montrer que : (i) (xn ) est borné dans `p , (ii) xni * xi pour tout i, où l’on note
n→∞
xn = (xn1 , xn2 , . . . , xni , . . .) et x = (x1 , x2 , . . . , xi , . . .).
2). Réciproquement, soit (xn ) une suite d’éléments de `p avec 1 < p ≤ ∞. On suppose que : (i)
n
(x ) est borné dans `p , (ii) xni −−−→ xi pour tout i. Montrer que x ∈ `p et que xn * x pour la
n→∞
0
n→∞
topologie σ(`p , `p ).
VI). Pour chaque entier n ≥ 1 on pose
en = (0, 0, . . . , 1, 0, . . .).
| {z }
n termes
0
1). Montrer que en −−−* 0 dans `p pour la topologie σ(`p , `p ) avec 1 < p ≤ ∞.
n→∞
2). Montrer qu’il n’existe aucune sous-suite extraite (enk ) qui converge dans `1 pour la topologie
σ(`1 , `∞ ).
3). Donner un exemple d’espace de Banach E et d’une suite (fn ) de E 0 telle que kfn k = 1, ∀n et
telle que (fn ) ne possède aucune sous-suite convergente pour la topologie faible * σ(E 0 , E). Y-a-t-il
contradiction avec la compacité de BE 0 pour σ(E 0 , E) ? (On pourra choisir E = `∞ .)
Indication. 2). Supposons par l’absurde que enk −−−* a dans `1 pour la topologie σ(`1 , `∞ ). Alors hξ , enk i −−−→ hξ , ai,
n→∞
k→∞
∀ξ ∈ `∞ . On considère l’élément particulier ξ ∈ `∞ défini par
ξ = (0, 0, . . . , −1, 0, 0, . . . , +1, 0, 0, . . . , −1, . . .)
↑
↑
↑
position n1
nk
et donc hξ , e
position n2
position n3
i = (−1) ne converge pas quand k → ∞ — contradiction. 3). Soit E = `∞ de sorte que `1 ⊂ E 0 . On pose
k
∗
fn = en . Supposons que fnk * f dans E 0 pour la topologie σ(E 0 , E), c’est-à-dire hfnk , ξi → hf , ξi pour tout ξ ∈ E. On
considère l’élément particulier ξ défini comme à la question 2 et donc hfnk , ξi = (−1)k ne converge pas — absurde. Il
n’y a pas de contradiction avec le théorème du cours ; ceci montre seulement que BE 0 muni de la topologie σ(E 0 , E) est
ici un espace compact non métrisable. On retrouve aussi le fait que E = `∞ n’est pas séparable.
VII). Soit E un espace de Banach uniformément convexe, i.e. ∀ > 0, ∃δ > 0 tel que
x+y
x, y ∈ E, kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 et kx − yk ≥ ⇒ k
k < 1 − δ.
2
Important : tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif (théorème de Milman-Pettis).
1). Montrer (on pourra raisonner par l’absurde) que ∀M > 0, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que
x + y 2 1
1
2
2
2 ≤ 2 kxk + 2 kyk − δ, ∀x, y ∈ E avec kxk ≤ M, kyk ≤ M et kx − yk > ε.
2). Même question si l’on remplace k k2 par k kp avec 1 < p < ∞.
Indication. 1). Supposons, par l’absurde, qu’il existe M0 > 0, ε0 > 0 et deux suites (xn ), (yn ) telles que kxn k ≤
M, kyn k ≤ M, kxn − yn k > ε0 et
‚
‚
1
1
1
‚ xn + yn ‚2
2
2
(?)
‚
‚ > kxn k + kyn k − .
2
2
2
n
Quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que kxn k → a et kyn k → b. On obtient alors a + b ≥ ε0 et 12 a2 + 12 b2 ≤
` a+b ´2
. Par suite a = b 6= 0. On pose x0n = xn /kxn k et yn0 = yn /kyn k. Pour n assez grand on a kx0n − yn0 k ≥ εa0 + o (1)
2
(ici, et dans la suite, on désigne par o (1) diverses quantités positives ou négatives qui tendent vers 0 quand n → ∞).
Gràce à l’uniforme convexité, il existe δ0 > 0 tel que k(x0n + yn0 )/2k ≤ 1 − δ0 . Donck(xn + yn )/22k ≤ a(1 − δ0 ) + o (1).
D’après (?) on a k(xn + yn )/2k2 ≥ a2 + o (1). D’où a2 ≤ a2 (1 − δ0 )2 + o(1) — absurde.
2