Série de TD 1

Département de Mathématiques
Probabilités de base
Guelma: 2012-2013
Série de TD 1
Exercice1. Soient Ω = {1, ..., 6} et A = {{1, 3, 5} , {1, 2, 3}} .
1) Décrire F = σ(A), la tribu engendrée par A.
NB : Si Ω est fini, le nombre d’éléments d’une tribu sur Ω est toujours égal à 2m , avec m entier.
2) Donner la liste des éléments non-vides G de F tels que
si F ∈ F et F ⊂ G, alors F = φ ou G
Ces éléments sont appelés les atomes de la tribu F. Ils forment une partition de l’ensemble Ω et engendrent
également la tribu F.
Exercice 2. Soit F une tribu (ou σ-algèbre) définie sur un ensemble Ω. En se basant uniquement sur les
axiomes de la définition d’une tribu, démontrer les propriétés suivantes :
N
1) ∪N
n=1 An ∈ F, si (An )n=1 ⊂ F.
2) Ω ∈ F.
∞
3) ∩∞
n=1 An ∈ F, si (An )n=1 ⊂ F.
N
4) ∩N
n=1 An ∈ F, si (An )n=1 ⊂ F.
5) B\A ∈ F, si B ⊂ A, A, B ∈ F.
Exercice 3. Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. En se basant uniquement sur les axiomes de la définition
d’une mesure de probabilité, démontrer les propriétés suivantes :
1) P(A) ≤ P(B), si A ⊂ B, A, B ∈ F.
2) P (∪∞
n=1 Bn ) ≤
P∞
n=1 P (Bn ) ,
si (Bn )∞
n=1 ⊂ F.
3) P (B\A) = P (B) − P (A) , si A ⊂ B, A, B ∈ F.
4) P(Ac ) = 1 − P(A), si A ∈ F.
5) P(A ∪ B) = P(A) + P (B) − P (A ∩ B), si A, B ∈ F.
Exercice 4.
Soit X une variable aléatoire définie sur un espace de probabilité (Ω, F, P) et Y la variable aléatoire définie
par Y (ω) = exp(X(ω)), ω ∈ Ω.
1) Quelles valeurs la variable aléatoire Y peut-elle prendre ? Exprimer sa fonction de répartition FY en
fonction de FX .
2) Supposons que X soit une variable aléatoire continue. Y est alors également continue ; exprimer sa densité
fY en fonction de fX .
3) Supposons X ∼ N (0, 1) ; calculer fY et P(Y ≤ 1).
Remarque : dans ce dernier cas, la loi de Y est appelée la loi log-normale ; cette loi est fréquemment utilisée
en finance pour modéliser le prix des actions.
(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications
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