Loi de composition

UMMTO-Faculté des sciences
1ere année LMD- ST et SM (Sections E et F)
Module d’Algebre 1
Année 2016/2017
Lois de composition internes - Structures Algèbriques
1)Lois de composition internes
1.1) Définition et notations
Définition 1 On appelle loi de composition interne (en abrégé l.c.i) sur un ensemble E, toute
application f : E × E → E
c est le composé de a par b.
(a, b) 7→ f (a, b) = c
En général l’application f est notée par un symbol tel que ?, >, ⊥, +, ×, ∪, ∩, ou ◦ ... et on écrit
c = a ? b, c = a>b, ou c = a ⊥ b...
L’ensemble E muni de la l.c.i ? est noté (E, ?).
Un sous ensemble F de E est dit stable par rapport à la loi ? si :
∀a, b ∈ F, a ? b ∈ F.
Exemple 1
1. L’addition et la multiplication usuelles sont des l.c.i dans N, Z, Q, R et C,
2. Soit F un ensemble l’intersection 88 ∩ 00 et la réunion 88 ∪ 00 sont des l.c.i sur P(F ).
3. Soient F un ensemble et A(F, F ) est l’ensemble des applications de F dans F , la composée
des aplications 88 ◦ 00 est une l.c.i sur A(F, F ).
4. L’addition définie sur Rn pour tout (x1 , x2 , ..., xn ) et (y1 , y2 , ..., yn ) de Rn par :
(x1 , x2 , ..., xn ) + (y1 , y2 , ..., yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn )
est une l.c.i sur Rn
5. La soustraction 88 −
00
n’est pas une l.c.i sur N.
1.2)Propriétés des lois de composition internes
Soit E un ensemble muni de deux l.c.i ? et >
Définition 2 (Commutativité) La l.c.i ? est commutative si et seulement si :
∀a, b ∈ E,
a ? b = b ? a.
Exemple 2
1.
2.
3.
4.
5.
L’addition et la multiplication usuelles dans N, Z, Q, R et C, sont commutatives.
l’intersection et la réunion dans P(F ) sont commutatives.
La composée des aplications dans A(F, F ) n’est pas commutative.
L’addition dans Rn définie dans l’exemple 1 est commutative.
La loi ? définie sur R par ; ∀a, b ∈ R a ? b = a + 2b n’est pas commutative, car on a par
exemple 2 ? 3 = 8 et 3 ? 2 = 7.
Définition 3 (Associativité) La l.c.i ? est associative si et seulement si :
∀a, b, c ∈ E,
(a ? b) ? c = a ? (b ? c).
Définition 4 (Distibutivité d’une loi par rapport à une autre) on dit que ? est distributive
par rapport à > si et seulement si :
a ? (b>c) = (a ? b)>(a ? c)
(1)
∀a, b, c ∈ E,
(b>c) ? a = (b ? a)>(c ? a)
(2)
(1) exprime la distributivité à gauche et (2) exprime la distributivité à droite.
Remarque 1 Si la l.c.i ? est commutative alors (1) et (2) se confondent.
Exemple 3
1. Dans N, Z, Q, R et C la multiplication est distributive par rapport à l’addition .
2. Dans P(F ) l’intersection (resp. la réunion) est distributive par rapport à la réunion (resp.l’intersection).
Définition 5 (Elément neutre ) Un élément e de E est appelé élément neutre pour la loi ? si
et seulement si :
∀a ∈ E, a ? e = e ? a = a.
Proposition 1 Si la l.c.i ? est commutative alors, e est l’élément neutre pour la loi ? si et seulement
si :
∀a ∈ E, a ? e = a ou e ? a = a.
Exemple 4
1. Dans (N, +) (Z, +) (Q, +) (R, +) et (C, +) l’élément neutre est 0, dans (N, ·) (Z, ·) (Q, ·) (R, ·)
et (C, ·) l’élément neutre est 1.
2. Dans (P(F ), ∩) l’élément neutre est F, et dans (P(F ), ∪) l’élément neutre est ∅.
3. Dans (A(F, F ), ◦) l’élément neutre est IdF .
4. Dans (Rn , +) l’élément neutre est (0, 0..., 0).
Proposition 2 Si l’élément neutre existe pour la loi ? alors il est unique.
Autrement dit : Si e1 ∈ E et e2 ∈ E sont des éléments neutres pour ? alors e1 = e2 .
Preuve Soit e1 et e2 deux éléments neutres pour ? , en utilisant la définition 5 on obtient :
e1 ? e2 = e2 ? e1 = e1 et e2 ? e1 = e1 ? e2 = e2 donc on a bien e1 = e2 .
Définition 6 (Elément symétrique) Soit ? une loi de composition interne sur un ensemble
E admettant un élément neutre e. On dit qu’un élément a ∈ E admet un symétrique , ou a est
symétrisable, s’il existe a0 ∈ E tel que
a ? a 0 = a0 ? a = e
On dit que a0 est le symétrique de a pour ?
2
Remarque 2
• Le symétrique d’un élément n’est pas toujours unique.
• Si la l.c.i ? est commutative alors, a0 est l’élément symétrique de a pour la loi ? si et seulement
si :
a ? a0 = e ou a0 ? a = e.
Exemple 5
1. Dans (Z, +) (Q, +) (R, +) et (C, +) le symétrique d’un élément a est −a, dans (N, +) aucun
élément non nul n’est symétrisable.
2. Dans (Q? , ·) (R? , ·) et (C? , ·) le symétrique d’un élément a est a1 noté a−1 .
3. Dans (A(F, F ), ◦) seules les applications bijectives ont des symétriques.
4. Dans (Rn , +) le symétrique de (x1 , x2 ..., xn ) est (−x1 , −x2 ..., −xn ).
Proposition 3 Soit ? une loi de composition interne dans E, associative et admettant un élément
neutre e. le symétrique d’un élément quand il existe il est unique.
Preuve Soit e l’élément neutre , soit a un élément de E , supposons que a possède deux symétriques
a00 et a0 , en appliquant la définition 6 et l’associativité de ? on obtient :
a0 = a0 ? e = a0 ? (a ? a00 ) = (a ? a0 ) ? a00 = e ? a00 = a00
d’où l’unicité.
Remarque 3 De cette propriété on déduit que l’associativité de la loi assure l’unicité du symétrique
d’un élément s’il existe.
Conventions Etant donnée une loi de composition interne associative dans un ensemble E.
– Si la loi est notée +, son élément neutre est noté 0E ou 0, et on parle du symétrique de a qu’on
note a0 = −a.
– Si la loi est notée multiplicativement, son élément neutre est noté 1E ou 1, et on parle de
l’inverse de a qu’on note a0 = a−1 .
Proposition 4 Soit ? une l.c.i dans un ensemble E, associative et admettant un élément neutre
e, alors si a et b sont deux éléments symétrisables il en est de même de a ? b et on a :
(a ? b)0 = b0 ? a0 .
Preuve Soit e l’élément neutre , les symétriques de a et b étant a0 et b0 , alors
(a ? b) ? (b0 ? a0 ) = a ? (b ? b0 ) ? a0 (car ? est associative.)
= (a ? e) ? a0
= a ? a0 = e.
De la même manière on montre que
(b0 ? a0 ) ? (a ? b) = e
3
d’où on déduit que a ? b est symétrisable et que
(a ? b)0 = b0 ? a0 .
Définition 7 ( Elément régulier) On dit qu’un élément r de E est régulier à droite (respectivement à gauche) pour la l.c.i ? si et seulement si
∀a, b ∈ E, a ? r = b ? r ⇒ a = b
(respectivement ∀a, b ∈ E, r ? a = r ? b ⇒ a = b.
Si r est un élement régulier à droite et à gauche pour ?, on dit que r est un élément régulier de
? dans E.
Exemple 6
1. Tout élément de R est régulier pour l’addition de R.
2. Tout élément non nul de R est régulier pour la multiplication de R.
Définition 8(Elément Absorbant) Un élément s de E est élément absorbant pour la l.c.i ? si
et seulement si
∀a ∈ E, a ? s = s ? a = s.
Exemple 7
1. 0 est élément absorbant pour la multiplication de R.
2. Dans P(F ) l’ensemble ∅ est un élément absorbant pour l’intersection, et F est un élément
absorbant pour la réunion.
2) Structures Algèbriques
2.1) Groupe
Définition 9(Structure de groupe) Soit E un ensemble muni de la l.c.i ? ; (E, ?) est un groupe
si :
1. la loi ? est associative,
2. il existe dans E un élément neutre,
3. tout élément de E est symétrisable.
Si de plus ? est commutative, on dit que (E, ?) est un groupe commutatif ou Abelien.
Exemple 8
1. (Z, +) (Q, +) (R, +) et (C, +) sont des groupes commutatifs, (Q? , ·) (R? , ·) et (C? , ·) sont
des groupes commutatifs
2. (Rn , +) est un groupe commutatif.
4
Définition 10(Sous groupe) Soit (E, ?) est un groupe et H une partie non vide de E. On dit
que H est un sous groupe de E si :
1. Pour tout a et b dans H
a ? b ∈ H,
2. l’élément neutre e de E appartient à H ( e ∈ H,)
3. le symétrique de tout élément de H appartient à H (∀a ∈ H, a0 ∈ H), où a0 est le symétrique
de a pour ?.
Remarque 4
1) Un sous groupe n’est jamais vide car il contient au moins l’élément neutre.
2) Si H est un sous groupe de (E, ?) alors ? induit sur H une l.c.i et H muni de cette loi est un
groupe.
Théorème 1 Soient (E, ?) un groupe et H une partie de E, pour que H soit un sous groupe de
E il faut et il suffit que les conditions suivantes soient vérifiées :
1. H est non vide,
2. pour tout a et b dans H, a ? b0 ∈ H.
Preuve Supposons que H est un sous groupe de E, il s’en suit de la remarque 4 que H est non
vide . Soit a et b deux élément de H, comme le symétrique b0 de b appartient à H, en appliquant la
stabilité de H pour ? on aura a ? b0 ∈ H.
Réciproquement supposons que les conditions 1 et 2 du théorème vérifiées, on obtient en posant
b = a que l’élément neutre e de E est dans H, et en posant a = e que le symétriques b0 de b est aussi
dans H, et en appliquant la condition 2, on aura :
a ? (b0 )0 = a ? b ∈ H
ainsi H est un sous- groupe de H.
Exemple 9
1. Si E est un groupe d’élément neutre e, alors {e} et E sont des sous groupes de E.
2. La partie H définie par :H = {(x, y, z) ∈ R3 , x + 2y − z = 0} est un sous-groupe de (R3 , +)?
3. (Z, +) est un sous groupe de (Q, +) qui est un sous groupe de (R, +) qui est lui même un
sous groupe de (C, +).
4. Soit n ∈ Z, alors nZ = {n.p; p ∈ Z} est un sous groupe de Z.
En effet :
i) 0 ∈ nZ, car : ∃p = 0 ∈ Z; 0 = n.p.
ii) Soient x, y ∈ nZ, alors il existe p1 , p2 ∈ Z tels que x = n.p1 et y = n.p2 , donc
x − y = n.p1 − n.p2 = n.(p1 − p2) = n.p ∈ nZ
par suite
∀x, y ∈ nZ, x − y ∈ nZ.
De i) et ii) on déduit que nZ est un sous groupe de Z.
Théorème 2 Soient E un groupe et H1 , H2 deux sous groupes de E alors H1 ∩ H2 est un sous
groupe de E.
5
Preuve H1 ∩ H2 6= ∅ car l’élément neutre e ∈ H1 et e ∈ H2 donc e ∈ H1 ∩ H2 . Comme H1 et H2
sont des sous groupes, alors
∀a ∈ H1 ∩ H2 , ∀b ∈ H1 ∩ H2 , a ? b0 ∈ H1 et a ? b0 ∈ H2 ,
il s’en suit alors que a ? b0 ∈ H1 ∩ H2 .
Remarque 5 La réunion de deux sous groupes d’un groupe n’est en général pas un sous groupe.
Exemple 10 Considérons dans (R2 , +) les deux sous groupes H1 = R × {0} et H2 = {0} × R
alors :
1. H1 ∩ H2 = {(0, 0)} est un sous groupe de (R2 , +)
2. H1 ∪ H2 n’est pas un sous groupe de (R2 , +), car la condition 1 de la définition du sous groupe
n’est pas vérifiée (on a par exemple (1, 0) ∈ H1 ∪ H2 et (0, 2) ∈ H1 ∪ H2 mais (1, 0) + (0, 2) =
(1, 2) ∈
/ H1 ∪ H2 ).
2.2) Homomorphismes de Groupes
Soient (E, ?) et (G, ⊥) deux groupes d’éléments neutres e et h respectivement.
Définition 11 Une application f : E → G est appelée homomorphisme de groupes ou morphisme
de E dans G si :
∀a, b ∈ E, f (a ? b) = f (a) ⊥ f (b).
– Si de plus f est bijective, on dit que f est un isomorphisme (de groupes) de E dans G. On dit
alors que E est isomorphe à G, ou que E et G sont isomorphes.
– Si E = G et ? =⊥ , on dit que f est un endomorphisme de E, et si de plus f est bijective, on
dit que f est un automorphisme de E.
Propriété 1 Soit f : E → G un morphisme de groupes, alors
1. f (e) = h.
2. ∀a ∈E (f (a))−1 = f (a−1 ) où a−1 est le symétrique de a .
Preuve
1. h étant l’élément neutre de ⊥ et e celui de ?, alors f (e ? e) = f (e) = h ⊥ f (e) et comme f
est un homomorphisme on déduit que h ⊥ f (e) = f (e) ⊥ f (e) en multipliant (à droite par
exemple) par (f (e))−1 on obtient h = f (e).
2. Soit a ∈ E et montrons que f (a−1 ) est l’inverse de f (a) dans le groupe (G, ⊥). f étant un
homomorphisme de groupe alors
f (a) ⊥ f (a−1 ) = f (a ? a−1 ) = f (e) et f (a−1 ) ⊥ f (a) = f (a−1 ? a) = f (e)
sachant que f (e) = h, d’après la première propriété, on déduit que (f (a))−1 = f (a−1 ).
Propriété 2 Soit f : E → G un homomorphisme de groupes, alors
1. L’image d’un sous groupe de E est un sous groupe de G.
2. L’image réciproque d’un sous groupe de G est un sous groupe de E.
6
Exemple 11
1. L’application
f : (R, +) → (R, ·)
x 7→ ex
est un homomorphisme de groupes
En effet :
∀a, b ∈ R,
2.
L’application
f (a + b) = ea+b = ea · eb = f (a) · f (b).
g : (R, +) → (R, +)
x 7→ 2x
est un isomorphisme de groupes
En effet :
– g est un morphisme car
∀a, b ∈ R,
g(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f (a) + f (b).
– g est bijective car ∀y ∈ R, ∃!x ∈ R tel que y = 2x.
3. L’application h : (R, +) → (R, ·)
n’est pas un isomorphisme de groupes
x 7→ 2x
2.3) Anneau
Définition 12 Soit A un ensemble muni de deux l.c.i ? et >,
(A, ?, >) est un anneau si :
1. (A, ?) est un groupe commutatif,
2. > est associative,
3. > est distributive par rapport à ?.
• Lorsque > admet un élément neutre, l’anneau (A, ?, >) est appelé anneau unitaire.
• Si > est commutative (A, ?, >) est dit anneau commutatif.
Définition 13 Un anneau (A, ?, >) est dit intègre si :
∀x, y ∈ A, x>y = 0A =⇒ x = 0A ou y = 0A
0A est l’élément neutre pour ?.
Exemple 12
- (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·) et (Z, +, ·) sont des anneaux commutatifs unitaires et intègres .
2.4) Corps
Définition 14 Soit K un ensemble muni de deux l.c.i ? et >,
(K, ?, >) est un Corps si :
1. (K, ?, >) est un anneau unitaire,
2. Tout élément de K autre que 0K ( 0K est l’élément neutre pour ? )
possède un inverse(symétrique ) pour >.
• Si de plus > est commutative, le corps (K, ?, >) est dit commutatif.
Exemple 13
- (R, +, ·) et (C, +, ·) sont des corps commutatifs.
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