Loi de composition

UMMTO-Faculté des sciences Module d’Algebre 1
1ere année LMD- ST et SM (Sections E et F) Année 2016/2017
Lois de composition internes - Structures Algèbriques
1)Lois de composition internes
1.1) Définition et notations
Définition 1 On appelle loi de composition interne (en abrégé l.c.i) sur un ensemble E, toute
application f:E×E→E
(a, b)7→ f(a, b) = c
cest le composé de apar b.
En général l’application fest notée par un symbol tel que ?, >,⊥,+,×,∪,∩,ou ◦... et on écrit
c=a ? b, c =a>b, ou c=a⊥b...
L’ensemble Emuni de la l.c.i ?est noté (E, ?).
Un sous ensemble Fde Eest dit stable par rapport à la loi ?si :
∀a, b ∈F, a ? b ∈F.
Exemple 1
1. L’addition et la multiplication usuelles sont des l.c.i dans N,Z,Q,Ret C,
2. Soit Fun ensemble l’intersection 88 ∩00 et la réunion 88 ∪00sont des l.c.i sur P(F).
3. Soient Fun ensemble et A(F, F )est l’ensemble des applications de Fdans F, la composée
des aplications 88 ◦00 est une l.c.i sur A(F, F ).
4. L’addition définie sur Rnpour tout (x1, x2, ..., xn)et (y1, y2, ..., yn)de Rnpar :
(x1, x2, ..., xn)+(y1, y2, ..., yn)=(x1+y1, x2+y2, ..., xn+yn)
est une l.c.i sur Rn
5. La soustraction 88 −00 n’est pas une l.c.i sur N.
1.2)Propriétés des lois de composition internes
Soit Eun ensemble muni de deux l.c.i ?et >
Définition 2 (Commutativité) La l.c.i ?est commutative si et seulement si :
∀a, b ∈E, a ? b =b ? a.
Exemple 2
1. L’addition et la multiplication usuelles dans N,Z,Q,Ret C, sont commutatives.
2. l’intersection et la réunion dans P(F)sont commutatives.
3. La composée des aplications dans A(F, F )n’est pas commutative.
4. L’addition dans Rndéfinie dans l’exemple 1 est commutative.
5. La loi ?définie sur Rpar ; ∀a, b ∈Ra ? b =a+ 2bn’est pas commutative, car on a par
exemple 2?3=8et 3?2 = 7.

Définition 3 (Associativité) La l.c.i ?est associative si et seulement si :
∀a, b, c ∈E, (a?b)? c =a ? (b?c).
Définition 4 (Distibutivité d’une loi par rapport à une autre) on dit que ?est distributive
par rapport à >si et seulement si :
∀a, b, c ∈E, a ? (b>c)=(a?b)>(a?c) (1)
(b>c)? a = (b?a)>(c?a) (2)
(1) exprime la distributivité à gauche et (2) exprime la distributivité à droite.
Remarque 1 Si la l.c.i ?est commutative alors (1) et (2) se confondent.
Exemple 3
1. Dans N,Z,Q,Ret Cla multiplication est distributive par rapport à l’addition .
2. Dans P(F)l’intersection (resp. la réunion) est distributive par rapport à la réunion (resp.l’intersection).
Définition 5 (Elément neutre ) Un élément ede Eest appelé élément neutre pour la loi ?si
et seulement si :
∀a∈E, a ? e =e?a=a.
Proposition 1 Si la l.c.i ?est commutative alors, eest l’élément neutre pour la loi ?si et seulement
si :
∀a∈E, a ? e =aou e?a=a.
Exemple 4
1. Dans (N,+) (Z,+) (Q,+) (R,+) et (C,+) l’élément neutre est 0, dans (N,·) (Z,·) (Q,·) (R,·)
et (C,·)l’élément neutre est 1.
2. Dans (P(F),∩)l’élément neutre est F, et dans (P(F),∪)l’élément neutre est ∅.
3. Dans (A(F, F ),◦)l’élément neutre est IdF.
4. Dans (Rn,+) l’élément neutre est (0,0..., 0).
Proposition 2 Si l’élément neutre existe pour la loi ?alors il est unique.
Autrement dit : Si e1∈Eet e2∈Esont des éléments neutres pour ?alors e1=e2.
Preuve Soit e1et e2deux éléments neutres pour ?, en utilisant la définition 5 on obtient :
e1? e2=e2? e1=e1et e2? e1=e1? e2=e2donc on a bien e1=e2.
Définition 6 (Elément symétrique) Soit ?une loi de composition interne sur un ensemble
Eadmettant un élément neutre e. On dit qu’un élément a∈Eadmet un symétrique , ou aest
symétrisable, s’il existe a0∈Etel que
a?a0=a0? a =e
On dit que a0est le symétrique de apour ?
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Remarque 2
•Le symétrique d’un élément n’est pas toujours unique.
•Si la l.c.i ?est commutative alors, a0est l’élément symétrique de apour la loi ?si et seulement
si :
a?a0=eou a0? a =e.
Exemple 5
1. Dans (Z,+) (Q,+) (R,+) et (C,+) le symétrique d’un élément aest −a, dans (N,+) aucun
élément non nul n’est symétrisable.
2. Dans (Q?,·) (R?,·)et (C?,·)le symétrique d’un élément aest 1
anoté a−1.
3. Dans (A(F, F ),◦)seules les applications bijectives ont des symétriques.
4. Dans (Rn,+) le symétrique de (x1, x2..., xn)est (−x1,−x2..., −xn).
Proposition 3 Soit ?une loi de composition interne dans E, associative et admettant un élément
neutre e. le symétrique d’un élément quand il existe il est unique.
Preuve Soit el’élément neutre , soit aun élément de E, supposons que apossède deux symétriques
a00 et a0, en appliquant la définition 6 et l’associativité de ?on obtient :
a0=a0? e =a0?(a?a00)=(a?a0)? a00 =e?a00 =a00
d’où l’unicité.
Remarque 3 De cette propriété on déduit que l’associativité de la loi assure l’unicité du symétrique
d’un élément s’il existe.
Conventions Etant donnée une loi de composition interne associative dans un ensemble E.
– Si la loi est notée +, son élément neutre est noté 0Eou 0, et on parle du symétrique de a qu’on
note a0=−a.
– Si la loi est notée multiplicativement, son élément neutre est noté 1Eou 1,et on parle de
l’inverse de aqu’on note a0=a−1.
Proposition 4 Soit ?une l.c.i dans un ensemble E, associative et admettant un élément neutre
e, alors si aet bsont deux éléments symétrisables il en est de même de a?bet on a :
(a?b)0=b0? a0.
Preuve Soit el’élément neutre , les symétriques de aet bétant a0et b0, alors
(a?b)?(b0? a0) = a ? (b?b0)? a0(car ?est associative.)
= (a?e)? a0
=a?a0=e.
De la même manière on montre que
(b0? a0)?(a?b) = e
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d’où on déduit que a?best symétrisable et que
(a?b)0=b0? a0.
Définition 7 ( Elément régulier) On dit qu’un élément rde Eest régulier à droite (respecti-
vement à gauche) pour la l.c.i ?si et seulement si
∀a, b ∈E, a ? r =b?r⇒a=b
(respectivement ∀a, b ∈E, r ? a =r ? b ⇒a=b.
Si rest un élement régulier à droite et à gauche pour ?, on dit que rest un élément régulier de
?dans E.
Exemple 6
1. Tout élément de Rest régulier pour l’addition de R.
2. Tout élément non nul de Rest régulier pour la multiplication de R.
Définition 8(Elément Absorbant) Un élément sde Eest élément absorbant pour la l.c.i ?si
et seulement si
∀a∈E, a ? s =s?a=s.
Exemple 7
1. 0est élément absorbant pour la multiplication de R.
2. Dans P(F)l’ensemble ∅est un élément absorbant pour l’intersection, et Fest un élément
absorbant pour la réunion.
2) Structures Algèbriques
2.1) Groupe
Définition 9(Structure de groupe) Soit Eun ensemble muni de la l.c.i ?;(E, ?)est un groupe
si :
1. la loi ?est associative,
2. il existe dans Eun élément neutre,
3. tout élément de Eest symétrisable.
Si de plus ?est commutative, on dit que (E, ?)est un groupe commutatif ou Abelien.
Exemple 8
1. (Z,+) (Q,+) (R,+) et (C,+) sont des groupes commutatifs, (Q?,·) (R?,·)et (C?,·)sont
des groupes commutatifs
2. (Rn,+) est un groupe commutatif.
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Définition 10(Sous groupe) Soit (E, ?)est un groupe et Hune partie non vide de E. On dit
que Hest un sous groupe de Esi :
1. Pour tout aet bdans H a ? b ∈H,
2. l’élément neutre ede Eappartient à H(e∈H,)
3. le symétrique de tout élément de Happartient à H(∀a∈H, a0∈H),où a0est le symétrique
de apour ?.
Remarque 4 1) Un sous groupe n’est jamais vide car il contient au moins l’élément neutre.
2) Si Hest un sous groupe de (E, ?)alors ?induit sur Hune l.c.i et Hmuni de cette loi est un
groupe.
Théorème 1 Soient (E, ?)un groupe et Hune partie de E, pour que Hsoit un sous groupe de
Eil faut et il suffit que les conditions suivantes soient vérifiées :
1. Hest non vide,
2. pour tout aet bdans H,a?b0∈H.
Preuve Supposons que Hest un sous groupe de E, il s’en suit de la remarque 4 que Hest non
vide . Soit aet bdeux élément de H, comme le symétrique b0de bappartient à H, en appliquant la
stabilité de Hpour ?on aura a?b0∈H.
Réciproquement supposons que les conditions 1 et 2 du théorème vérifiées, on obtient en posant
b=aque l’élément neutre ede Eest dans H, et en posant a=eque le symétriques b0de best aussi
dans H, et en appliquant la condition 2, on aura :
a ? (b0)0=a?b∈H
ainsi Hest un sous- groupe de H.
Exemple 9
1. Si Eest un groupe d’élément neutre e, alors {e}et Esont des sous groupes de E.
2. La partie Hdéfinie par :H={(x, y, z)∈R3, x + 2y−z= 0}est un sous-groupe de (R3,+)?
3. (Z,+) est un sous groupe de (Q,+) qui est un sous groupe de (R,+) qui est lui même un
sous groupe de (C,+).
4. Soit n∈Z, alors nZ={n.p;p∈Z}est un sous groupe de Z.
En effet :
i) 0∈nZ,car : ∃p= 0 ∈Z; 0 = n.p.
ii) Soient x, y ∈nZ,alors il existe p1, p2∈Ztels que x=n.p1et y=n.p2,donc
x−y=n.p1−n.p2=n.(p1−p2) = n.p ∈nZ
par suite
∀x, y ∈nZ, x −y∈nZ.
De i) et ii) on déduit que nZest un sous groupe de Z.
Théorème 2 Soient Eun groupe et H1, H2deux sous groupes de Ealors H1∩H2est un sous
groupe de E.
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