ts centresetrangers2012

[Sujet du baccalauréat S Centres étrangers juin 2012 \
EXERCICE 1 4 points
On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.
On se place dans le repère orthonormal ³A ; −→ AB ; −→ AD ; −→ AE´.
On considère lespoints Iµ11
3; 0¶, Jµ0 ; 2 3; 1¶, Kµ3 4; 0 ; 1¶et L(a; 1 ; 0) avec aun nombre réel appartenant à
l’intervalle [0 ; 1].
B C
D
A
FG
H
E
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).
2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique
x=3
4+t′µa−3 4¶
y=t′
z=1−t′
,t′∈R
3. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, a=1
4.
Partie B
Dans la suite de l’exercice, on pose a=1
4.
Le point L a donc pour coordonnées µ1
4; 1 ; 0¶.
1. Démontrer que le quadrilatère IKLJ est un parallélogramme.
2. La figure ci-dessous fait apparaître l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle
qu’elle a été obtenue à l’aide d’un mogiciel de géométrie dynamique. .
On désigne par M le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d’intersection
du plan (IJK) et de la droite (DH).
Page 1/5

B C
D
A
FG
H
E
I
K
J
M
N
L
Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.
(a) Prouver que le vecteur −→ nde coordonnées (8 ; 9 ; 5) est un vecteur normal au plan (IJK).
(b) En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x+9y+5z−11 =0.
(c) En déduire les coordonnées des points M et N
EXERCICE 2 5 points
On considère la suite (In)définie pour nentier naturel non nul par :
In=Z1
0xnex2dx.
1. (a) Soit gla fonction définie par g(x)=xex2.
Démontrer que la fonction Gdéfinie sur Rpar G(x)=1
2ex2est une primitive sur Rde la fonction g.
(b) En déduire la valeur de I1.
(c) À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal
à 1, on a :
In+2=1
2e−n+1 2In.
(d) Calculer I3et I5.
2. On considère l’algorithme suivant :
Initialisation Affecter à nla valeur 1
Affecter à ula valeur 1
2e−1 2
Tant que n<21
Affecter à ula valeur 1
2e−n+1 2u
Affecter à nla valeur n+2
Sortie Afficher u
Quel terme de la suite (In)ontient-on en sortie de cet algorithme ?
3. (a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n,InÊ0.
(b) Montrer que la suite (In)est décroissante.
(c) En déduire que la suite (In)est convergente. ? ? On note ℓsa limite.
4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer la valeur de ℓ.
Page 2/5

EXERCICE 3 6 points
On considère l’équation (E) d’inconnue xréelle : ex=3¡x2+x3¢.
Partie A : Conjecture graphique
Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction f
définie sur Rpar f(x)=3¡x2+x3¢telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
123456−1−2−3−4−5−6−7
À l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) et leur encadrement par
deux entiers consécutifs.
Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
1. (a) Étudier selon les valeurs de x, le signe de x2+x3.
(b) En déduire que l’équation (E)n’a pas de solution sur l’intervalle ]−∞ ;−1].
(c) Vérifier que 0 n’est pas solution de (E).
2. On considère la fonction h, définie pour tout nombre réel de ] −1 ; 0[∪]0 ; +∞[ par :
h(x)=ln3+ln¡x2¢+ln(1+x)−x.
Montrer que , sur ] −1 ; 0[∪]0 ; +∞[, l’équation (E) équivaut à h(x)=0.
3. (a) Montrer que, pour tout réel xappartenant à ]−1 ; 0[∪]0 ; +∞[, on a :
h′(x)=−x2+2x+2
x(x+1) .
Page 3/5

(b) Déterminer les variations de la fonction h.
(c) Déterminer le nombre de solutions de l’équation h(x)=0 et donner une valeur arrondie au cen-
tième de chaque solution.
(d) Conclure quant à la conjecture de la partie A.
EXERCICE 4 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Les cinq questions sont indépendantes.
Pour cheque question , une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Toute trace de recherche sera valorisée.
1. On considère l’arbre de probabilités suivant :
A
0,2
B
0,68
B
AB
B
0,4
Affirmation : la probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé est égale à 0,32.
2. On considère une urne contenant nboules rouges et trois boules noires., où ndésigne un entier naturel
non nul. Les boules sont indiscernables au toucher.
On tire simultanément deux boules dans l’urne.
Affirmation : il existe une valeur de npour laquelle la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs
différentes est égale à 9
22.
3. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonomal ¡O;−→ u;−→ v¢, on considère la transformation t
d’écriture complexe
iz+5+i.
Affirmation : la transformation test la rotation de centre A d’affixe 3 −2i et d’angle −
π
2.
4. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation (E) d’inconnue z:
z2−zz−1=0.
Affirmation : l’équation (E) admet au moins une solution.
5. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonomal ¡O;−→ u;−→ v¢, on considère les points A, B et C d’af-
fixes respectives a= −1, b=i et c=p3+i(1−p3).
Affirmation : le triangle ABC possède un angle dont une mesure est égale à 60˚.
Page 4/5

EXERCICE 4 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Les cinq questions sont indépendantes.
Pour cheque question , une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Toute trace de recherche sera valorisée.
1. On considère l’équation (E) : 3x−2y=1, où xet ysont des entiers relatifs.
Affirmation : les solutions de l’équation (E) sont les couples (9 +2k; 13 +3k), avec kappartenant à
l’ensemble Zdes entiers relatifs.
2. Soit nun entier naturel. On considère les deux entiers aet bdéfinis par :
a=3n+1 et b=2n+3.
Affirmation : le PGCD de aet best égal à 7 si et seulement si nest congru à 2 modulo 7.
3. Soit nun entier naturel. On considère les deux entiers aet bdéfinis par :
a=2n2+7n+21 et b=2n+2.
Affirmation : pour tout entier naturel n, le quotient et le reste de la division euclidienne de apar bsont
respectivement égaux à n+2 et n+17.
4. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère le point A d’affixe 3 +4i.
On note sla similitude directe sde centre A, de rapport p2 et d’angle π
4.
Affirmation : la similitude directe réciproque s−1a pour écriture complexe :
z′=1−i
2z+−1+7i 2.
5. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d’affixes respec-
tives a=1+2i, b=4−i, c=1−2p3+i(3 +p3) et d=4+p3+4ip3.
Affirmation : la similitude directe qui transforme A en C et B en D a pour angle π
3.
Page 5/5