ts centresetrangers2012

[ Sujet du baccalauréat S Centres étrangers juin 2012 \
EXERCICE 1
4 points
On considère un cube ABCDEFGH d’arête
longueur
1.
³ −→de −
→ −→´
On se place dans le repère orthonormal A ; AB ; AD ; AE .
¶ µ
¶ µ
¶
µ
2
3
1
On considère lespoints I 1 ; 0 , J 0 ; ; 1 , K ; 0 ; 1 et L(a ; 1 ; 0) avec a un nombre réel appartenant à
3
3
4
l’intervalle [0 ; 1].
E
H
F
G
A
D
B
C
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).
2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique
¶
µ

3
3

′
 x = +t a−

4
4
, t′ ∈ R
′
y
=
t



z = 1− t′
1
3. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, a = .
4
Partie B
1
Dans la suite de l’exercice, on pose a = .
¶
µ 4
1
; 1; 0 .
Le point L a donc pour coordonnées
4
1. Démontrer que le quadrilatère IKLJ est un parallélogramme.
2. La figure ci-dessous fait apparaître l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle
qu’elle a été obtenue à l’aide d’un mogiciel de géométrie dynamique. .
On désigne par M le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d’intersection
du plan (IJK) et de la droite (DH).
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E
H
b
J
b
F
K
G
N
M
A
D
L
b
B
C
I
Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.
−
(a) Prouver que le vecteur →
n de coordonnées (8 ; 9 ; 5) est un vecteur normal au plan (IJK).
(b) En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x + 9y + 5z − 11 = 0.
(c) En déduire les coordonnées des points M et N
EXERCICE 2
5 points
On considère la suite (I n ) définie pour n entier naturel non nul par :
In =
1.
Z1
0
2
x n ex dx.
2
(a) Soit g la fonction définie par g (x) = xex .
1 2
Démontrer que la fonction G définie sur R par G(x) = ex est une primitive sur R de la fonction g .
2
(b) En déduire la valeur de I 1 .
(c) À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal
à 1, on a :
1
n +1
I n+2 = e −
In .
2
2
(d) Calculer I 3 et I 5 .
2. On considère l’algorithme suivant :
Initialisation
Sortie
Affecter à n la valeur 1
1
1
Affecter à u la valeur e −
2
2
Tant que n < 21
n +1
1
u
Affecter à u la valeur e −
2
2
Affecter à n la valeur n + 2
Afficher u
Quel terme de la suite (I n ) ontient-on en sortie de cet algorithme ?
3.
(a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, I n Ê 0.
(b) Montrer que la suite (I n ) est décroissante.
(c) En déduire que la suite (I n ) est convergente. ? ? On note ℓ sa limite.
4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer la valeur de ℓ.
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EXERCICE 3
6 points
¢
On considère l’équation (E) d’inconnue x réelle : ex = 3 x 2 + x 3 .
¡
Partie A : Conjecture graphique
Le graphique ci-dessous donne
la¢ courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction f
¡
définie sur R par f (x) = 3 x 2 + x 3 telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
5
4
3
2
1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
À l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) et leur encadrement par
deux entiers consécutifs.
Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
1.
(a) Étudier selon les valeurs de x, le signe de x 2 + x 3 .
(b) En déduire que l’équation (E)n’a pas de solution sur l’intervalle ] − ∞ ; −1].
(c) Vérifier que 0 n’est pas solution de (E).
2. On considère la fonction h, définie pour tout nombre réel de ] − 1 ; 0[∪]0 ; +∞[ par :
¡ ¢
h(x) = ln 3 + ln x 2 + ln(1 + x) − x.
3.
Montrer que , sur ] − 1 ; 0[∪]0 ; +∞[, l’équation (E) équivaut à h(x) = 0.
(a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à ] − 1 ; 0[∪]0 ; +∞[, on a :
h ′ (x) =
−x 2 + 2x + 2
.
x(x + 1)
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(b) Déterminer les variations de la fonction h.
(c) Déterminer le nombre de solutions de l’équation h(x) = 0 et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
(d) Conclure quant à la conjecture de la partie A.
EXERCICE 4
5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Les cinq questions sont indépendantes.
Pour cheque question , une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Toute trace de recherche sera valorisée.
1. On considère l’arbre de probabilités suivant :
0, 68
B
b
A
0, 2
b
b
B
b
B
b
A
b
B
0, 4
Affirmation : la probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé est égale à 0,32.
b
2. On considère une urne contenant n boules rouges et trois boules noires., où n désigne un entier naturel
non nul. Les boules sont indiscernables au toucher.
On tire simultanément deux boules dans l’urne.
Affirmation : il existe une valeur de n pour laquelle la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs
9
différentes est égale à
.
22
¡
¢
−
−
3. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonomal O ; →
u ;→
v , on considère la transformation t
d’écriture complexe
iz + 5 + i.
π
Affirmation : la transformation t est la rotation de centre A d’affixe 3 − 2i et d’angle − .
2
4. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation (E) d’inconnue z :
z 2 − zz − 1 = 0.
Affirmation : l’équation (E) admet au moins une solution.
¡
¢
−
−
5. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonomal O ; →
u ;→
v , on considère les points A, B et C d’afp
p
fixes respectives a = −1, b = i et c = 3 + i(1 − 3).
Affirmation : le triangle ABC possède un angle dont une mesure est égale à 60˚.
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EXERCICE 4
5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Les cinq questions sont indépendantes.
Pour cheque question , une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Toute trace de recherche sera valorisée.
1. On considère l’équation (E) : 3x − 2y = 1, où x et y sont des entiers relatifs.
Affirmation : les solutions de l’équation (E) sont les couples (9 + 2k ; 13 + 3k), avec k appartenant à
l’ensemble Z des entiers relatifs.
2. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :
a = 3n + 1 et b = 2n + 3.
Affirmation : le PGCD de a et b est égal à 7 si et seulement si n est congru à 2 modulo 7.
3. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :
a = 2n 2 + 7n + 21 et b = 2n + 2.
Affirmation : pour tout entier naturel n, le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b sont
respectivement égaux à n + 2 et n + 17.
4. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère le point A d’affixe 3 + 4i.
p
π
On note s la similitude directe s de centre A, de rapport 2 et d’angle .
4
Affirmation : la similitude directe réciproque s −1 a pour écriture complexe :
z′ =
−1 + 7i
1−i
z+
.
2
2
5. Dans le plan muni d’un repère orthonormal
p
p direct, on considère
p
ples points A, B, C et D d’affixes respectives a = 1 + 2i, b = 4 − i, c = 1 − 2 3 + i(3 + 3) et d = 4 + 3 + 4i 3.
Affirmation : la similitude directe qui transforme A en C et B en D a pour angle
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π
.
3