27 Continuité, dérivabilité des fonctions d`une variable réelle

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Continuité, dérivabilité des fonctions
d’une variable réelle
Pour ce chapitre Idésigne un intervalle réel et fune fonction définie sur Iet à valeurs réelles
ou complexes.
27.1 Continuité en un point, continuité sur I
Définition 27.1 On dit que la fonction fest continue au point a∈Isi :
∀ε > 0,∃η > 0| ∀x∈I∩]a−η, a +η[,|f(x)−f(a)|< ε. (27.1)
Dans le cas des fonctions d’une variable réelle qui nous occupe, on peut aussi définir les
notions de continuité à gauche ou à droite.
Définition 27.2 On dit que la fonction est continue à gauche [resp. à droite ] au point a∈I
si pour tout réel ε > 0il existe un réel η > 0tel que :
∀ε > 0,∃η > 0| ∀x∈I∩]a−η, a[,|f(x)−f(a)|< ε
[resp. ∀ε > 0,∃η > 0| ∀x∈I∩]a, a +η[,|f(x)−f(a)|< ε]
Dans le cas où aest l’extrémité gauche [resp. droite] de I, on ne s’intéresse qu’à la continuité
à droite [resp. à gauche].
La fonction fest discontinue en a∈Isi, et seulement si, l’une des deux situations suivantes
se produit :
–soit fn’a pas de limite à gauche ou à droite en a;
–soit ces deux limites existent et l’une d’elles est distincte de f(a).
Des définitions, on déduit immédiatement les résultats suivants.
Théorème 27.1 La fonction fest continue [resp. continue à gauche [resp. à droite]] au point
a∈Isi, et seulement si, lim
x→af(x) = f(a)[resp. lim
x→a−f(x) = f(a)[resp. lim x→a+f(x) = f(a)]].
Théorème 27.2 Si aest un point intérieur à l’intervalle I, alors la fonction fest continue
en asi, et seulement si, elle est continue à gauche et à droite en a.
Théorème 27.3 Si fest continue en a∈I, elle est alors bornée dans un voisinage de ce point.
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700 Continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle
Le résultat précédent peut être utilisé pour montrer la discontinuité d’une fonction en un
point. Par exemple la fonction fdéfinie sur Rpar f(0) = 0 et f(x) = 1
xpour x6= 0 n’est pas
continue en 0,puisque pour tout réel M > 0,il existe un entier n≥1tel que fµ1
n¶=n > M.
Définition 27.3 On dit que la fonction fest continue sur Isi elle est continue en tout point
de I.
Exercice 27.1 Montrer que, pour tout entier naturel n, la fonction f:x7→ xnest continue
sur R.
Solution 27.1 Pour n= 0, f est la fonction constante égale à 1.La continuité d’une fonction
constante se vérifiant facilement (pour ε > 0donné tout réel η > 0convient).
Pour n≥1, a ∈R,on peut trouver un réel R > 0tel que a∈]−R, R[et pour tout x∈]−R, R[,
on a :
|xn−an|=|x−a|¯¯¯¯¯
n−1
X
k=0
xn−1−kak¯¯¯¯¯≤nRn−1|x−a|
et pour ε > 0donné, on aura |xn−an|< ε dès que |x−a|< η =ε
nRn−1.
Exercice 27.2 Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, la fonction f:x7→ x1
nest
continue sur R+,∗.
Solution 27.2 Pour n≥1, a > 0,on peut trouver un réel R > 0tel que a∈¸1
R, R·et pour
tout x∈¸1
R, R·,ona::
|x−a|=¯¯¯³x1
n´n−³a1 n´n¯¯¯=¯¯¯x1 n−a1 n¯¯¯Ãn−1
X
k=0 ³x1
n´n−1−k³a1 n´k!
≥nµ1
R¶n−1
n¯¯¯x1
n−a1 n¯¯¯
donc : ¯¯¯x1
n−a1 n¯¯¯≤1
nRn−1
n|x−a| ≤ Rn−1 n|x−a|
et pour ε > 0donné, on aura ¯¯¯x1
n−a1 n¯¯¯< ε dès que |x−a|< η =ε
Rn−1
n
.
Exercice 27.3 Montrer que la fonction définie sur Rpar f(0) = 0 et f(x) = cos µ1
x¶si
x6= 0,n’est pas continue en 0.
Solution 27.3 Pour tout réel η > 0,on peut trouver un entier n≥1tel que x=1
nπ ∈]−η, η[
et on a |f(x)−f(0)|= 1,ce qui prouve la discontinuité de fen 0.
Exercice 27.4 Montrer que la fonction caractéristique de Qdéfinie par f(x) = 1 si x∈Qet
f(x) = 0 sinon est discontinue en tout point de R.

Continuité en un point, continuité sur I701
Solution 27.4 Soit aun nombre rationnel [resp. irrationnel]. Pour tout réel η > 0,on peut
trouver un nombre irrationnel [resp. rationnel] xdans ]a−η, a +η[et on a |f(x)−f(a)|= 1,
ce qui prouve la discontinuité de fen a.
Exercice 27.5 Montrer que la fonction définie sur Rpar f(x) = xsi x∈Qet f(x) = 0
sinon est continue en 0et discontinue en tout point de R∗.
Solution 27.5 Soit aun nombre rationnel [resp. irrationnel] non nul. Pour tout réel η >
0,on peut trouver un nombre irrationnel [resp. rationnel] xdans ]a−η, a +η[[resp. dans
]a−η, a +η[∩¸a−|a|
2, a +|a| 2·] et on a |f(x)−f(a)|=|a|[resp. |f(x)−f(a)|=|x|>|a| 2]
ce qui prouve la discontinuité de fen a.
Pour ce qui est de la continuité en 0,il suffit de remarquer que pour tout ε > 0la condition
|x|< η =εentraîne |f(x)−f(0)|=|f(x)|< ε puisque f(x)vaut xou 0.
Exercice 27.6 Soit nun entier naturel non nul. Étudier la continuité de la fonction anqui à
tout réel xappartenant à [0,1] associe la n-ème décimale dans le développement décimal propre
si x∈[0,1[ et 9si x= 1 (pour x= 1 on utilise le développement décimal illimité impropre).
Solution 27.6 On rappelle que pour x∈[0,1[ ,on a an(x) = [10nx]−10 [10n−1x].Pour tout
entier kcompris entre 0et 10n−1et x∈·k
10n,k+ 1 10n·,on a an(x) = k−10 [10n−1x].De plus
avec :
10 £10n−1x¤≤10nx < k + 1
on déduit que £10n−1x¤≤k
10 ≤10n−1x < £10n−1x¤+ 1
et ·k
10¸= [10n−1x].La fonction anest donc constante (et en conséquence continue) sur
·k
10n,k+ 1 10n·égale à k−10 ·k 10¸.Et avec
anµk+ 1
10n¶=k+ 1 −10 ·k+ 1 10 ¸6= lim
x→(k+1
10n)−an(x) = k−10 ·k
10¸,
on déduit que anest discontinue en tout point k+ 1
10noù kest compris entre 0et 10n−2.Sur
le dernier intervalle ·10n−1
10n,1·,on a an(x) = 9 et anest continue en 1.
Définition 27.4 Si aest intérieur à Iet si la fonction fest discontinue en aavec des limites
à droite et à gauche en ce point, on dit alors que fa une discontinuité de première espèce en a.
Le cas des fonctions monotones définies sur un intervalle ouvert (pour simplifier) est parti-
culièrement intéressant.
Théorème 27.4 Si fest une fonction monotone de l’intervalle ouvert Idans R,alors fadmet
une limite à gauche et droite en tout point. Dans le cas où fest croissante, on a pour tout
x∈I:
f¡x−¢= sup
a<t<x
f(t)≤f(x)≤f¡x+¢= inf
x<t<b f(t).
De plus pour x < y dans I, on a f(x+)≤f(y−).

702 Continuité, dérivabilité des fonctions d’une variable réelle
Démonstration. Quitte à remplacer fpar −f, on peut supposer fcroissante.
Pour x∈I, l’ensemble A={f(t)|a<t<x}est non vide majoré par f(x),il admet donc
une borne supérieure µ= sup
a<t<x
f(t)≤f(x).Par définition de la borne supérieure, pour tout
réel ε > 0,il existe x0∈]a, x[tel que µ−ε < f (x0)≤µet avec la croissance de f, on a :
∀t∈]x0, x[, µ −ε < f (x0)≤f(t)≤µ.
On a donc ainsi montré que µ= lim
t→x−f(t) = f(x−).
On procède de même pour l’existence de la limite à droite f(x+).
Pour x < y dans I, on a :
f¡x+¢= inf
x<t<b f(t) = inf
x<t<y f(t), f ¡y−¢= sup
a<t<y
f(t) = sup
x<t<y
f(t),
ce qui entraîne f(x+)≤f(y−).
Théorème 27.5 Si fest une fonction monotone d’un intervalle ouvert Idans R,alors l’en-
semble de ses points de discontinuité est au plus dénombrable.
Démonstration. Supposons fcroissante et l’ensemble Ddes points de discontinuité de f
non vide.
Pour tout x∈D, on a f(x−)< f (x+)et on peut trouver un rationnel r(x)∈]f(x−), f (x+)[ .
De plus pour x < y dans Iavec f(x+)≤f(y−),on déduit que r(x)< r (y).L’application r
définit donc une injection de Ddans Q,il en résulte que Dest dénombrable.
En général une fonction monotone fdéfinie sur un intervalle In’est pas nécessairement
continue, mais nous verrons plus loin que si de plus f(I)est un intervalle, alors elle est continue
(théorème 28.7).
Exemple 27.1 La fonction fdéfinie sur [0,1] par f(0) = 0 et f(x) = 1
£1
x¤est croissante avec
une infinité de points de discontinuité.
En fait, on peut montrer le résultat suivant.
Théorème 27.6 Si Iest un intervalle ouvert, l’ensemble des points de discontinuité de pre-
mière espèce de fest au plus dénombrable.
Démonstration. Voir [79], chapitre 4, exercice 17.
27.2 Définition séquentielle de la continuité en un point
Une définition équivalente de la continuité en un point est donnée par le résultat suivant.
Théorème 27.7 La fonction fest continue en a∈Isi, et seulement si, pour toute suite
(xn)n∈Nde points de Iqui converge vers a, la suite (f(xn))n∈Nconverge vers f(a).
Démonstration. Si fest continue en a∈I, alors pour tout ε > 0il existe η > 0tel
que |x−a|< η dans Ientraîne |f(x)−f(a)|< ε et si (xn)n∈Nest une suite de points de I
qui converge vers a, il existe alors un entier n0tel que |xn−a|< η pour tout n≥n0,ce qui
implique |f(xn)−f(a)|< ε. On a donc bien lim
n→+∞f(xn) = f(a).

Définition séquentielle de la continuité en un point 703
Pour la réciproque, on raisonne par l’absurde. Si fn’est pas continue en a, il existe un
réel ε > 0tel que pour tout entier n≥1on peut trouver xn∈Itel que |xn−a|<1
net
|f(xn)−f(a)| ≥ ε. On a donc ainsi une suite (xn)n∈Nde points de Iqui converge vers apour
laquelle la suite (f(xn))n∈Nne converge pas vers f(a).
En fait on a le résultat plus fin suivant.
Exercice 27.7 Montrer que f:I→Cest continue en a∈Isi, et seulement si, pour toute
suite (xn)n∈Nde points de Iqui converge vers a, la suite (f(xn))n∈Nest convergente (sans
préciser que c’est vers f(a)).
Solution 27.7 On sait déjà que si fest continue en aalors pour toute suite (xn)n∈Nde points
de Iqui converge vers a, la suite (f(xn))n∈Nconverge vers f(a).
Réciproquement supposons que pour toute suite (xn)n∈Nde points de Iqui converge vers a, la
suite (f(xn))n∈Nsoit convergente. Pour montrer que fest continue en a, il suffit de montrer
que, dans ces conditions, la suite (f(xn))n∈Nconverge vers f(a).Si (xn)n∈Nest une suite
de points de Iqui converge vers a, on définit la suite (yn)n∈Nde points de Ipar y2n=x2n,
y2n+1 =a, cette suite converge vers a, donc la suite (f(yn))n∈Nconverge et on a :
f(a) = lim
n→+∞f(y2n+1) = lim n→+∞f(y2n) = lim n→+∞f(x2n) = lim n→+∞f(xn).
Le théorème 27.7 est souvent utilisé pour montrer qu’une fonction n’est pas continue en un
point.
Exercice 27.8 Montrer que la fonction fdéfinie sur Rpar f(0) = 0 et f(x) = cos (ln (|x|))
si x6= 0,n’est pas continue en 0.
Solution 27.8 Si (xn)n≥1est la suite définie par xn=e−nπ pour n≥1,on a lim
n→+∞xn= 0 et
la suite (f(xn))n≥1= (cos (nπ))n≥1= ((−1)n)n≥1est divergente.
Exercice 27.9 Soit f: ]0,1[ →Rla fonction définie par f(x)=0si xest irrationnel et par
f(x) = 1
qsi x=p qest rationnel où p, q sont entiers naturels non nuls premiers entre eux.
Montrer que fest continue en tout point irrationnel et discontinue en tout point rationnel de
]0,1[ .
Solution 27.9 Un rationnel r=p
q∈]0,1[ ∩Qest limite de la suite d’irrationnels (xn)n≥n0=
Ãr+√2
n!n≥n0
,où n0est choisi assez grand pour que cette suite soit à valeurs dans ]0,1[ ,et
lim
n→+∞f(xn) = 0 6=f(r) = 1
q.La fonction fn’est donc pas continue en ce point.
Soit ε > 0.Si a∈]0,1[ ∩(R\Q)et η > 0est tel que ]a−η, a +η[⊂]0,1[ ,on note :
E={x∈]a−η, a +η[|f(x)> ε}.
Un élément de Eest nécessairement rationnel (sinon f(x) = 0 < ε), il s’écrit donc r=p
q
avec p, q premiers entre eux et f(r) = 1
q> ε entraîne que Eest vide ou que 1≤q < 1 ε
et 1≤p < q < 1
ε(rest strictement compris entre 0et 1). L’ensemble Eest donc vide ou
fini. Pour 0< η0< η assez petit on aura alors E∩]a−η0, a +η0[ = ∅,ce qui signifie que
0≤f(x)≤εpour tout x∈]a−η0, a +η0[.On a donc ainsi montré que fest continue en α.