lois de probabilite

LOIS DE PROBABILITE.
1/ Loi binomiale.
Introduction : Une urne contient 3 boules vertes et 7 boules rouges. On tire successivement et avec remise
2 boules de l’urne et on note le nombre de boules vertes obtenues à l’issue de ce tirage.
Les valeurs prises par X sont : 0, 1 et 2
La probabilité pour qu’une boule tirée de l’urne soit verte est p =
3
10
Les tirages étant indépendants, la loi de probabilité de X est donnée par :
p ( X = 0 ) = ( 0,7 ) = 0,49 ; (les deux boules tirées sont rouges)
2
p ( X = 1) = 2 × 0,7 × 0,3 = 0, 42 ; (l’une des boules est verte et l’autre rouge ; 2 est le nombre de façons de
choisir la place de la boule verte)
p ( X = 2 ) = ( 0,3) = 0,09 ; (les deux boules tirées sont rouges)
2
Calculons l’espérance et la variance de la variable aléatoire X :
xi
pi
0
1
2
Total
pi*xi
0,49
0,42
0,09
1
pi*xi²
0
0,42
0,18
0,6
0
0,42
0,36
0,78
On a donc E ( X ) = 0,6 et V ( X ) = 0,78 − ( 0,6 ) = 0, 42 .
2
On peut remarquer que E ( X ) = 2 × 0,3 et V ( X ) = 2 × 0,3 × 0,7 .
Définition.
Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p si et seulement si, pour tout entier
naturel k variant de 0 à n, p ( X = k ) = C kn p k q n − k avec q = 1 − p .
X est dans ce cas une variable aléatoire discrète finie ; E ( X ) = n × p et V ( X ) = n × p × q .
Conditions d’application.
On considère n épreuves aléatoires indépendantes deux à deux et on désigne par X la variable aléatoire
réelle égale au nombre de réalisations d’un événement E ou au nombre de succès au cours de ces n
épreuves.
On suppose que chacune de ces épreuves a deux issues possibles: succès ou échec S ou S , avec pour
chacune de ces épreuves la même probabilité de succès ( p ( S ) = p ) .
(
)
La variable aléatoire réelle X suit alors la loi binomiale de paramètres n et p : X → B ( n,p ) .
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Exercice : Une usine produit de boulons en très grande série dont on sait que 2% ne sont pas conformes.
Des lots de 100 boulons doivent être livrés . On admet que l’on peut assimiler le choix de ces 100 boulons à
100 tirages avec remise dans la production totale et on note X la variable aléatoire qui, à tout lot de 100
boulons associe le nombre de ceux qui ne sont pas conformes.
a/ Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b/ Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Dans un tel lot, il y au moins un bouleau non conforme »
B : « Dans un tel lot, il y a au plus deux bouleaux non conformes.
a/
Les 100 tirages sont indépendants (car assimilés à des tirages avec remise)
Chacun des 100 boulons tirés peut être
● ou non conforme avec la probabilité 0,02
● ou conforme avec la probabilité 0,98.
Il en résulte que la variable X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,02 .
k
Pour tout entier k inférieur ou égal à 100, p ( X = k ) = C100
( 0,02 ) ( 0,98)
k
100 − k
b/
p ( A ) = p ( X ≥ 1) = 1 − p ( X = 0 ) = 1 − ( 0,98 )
100
≃ 0,867 .
p ( B ) = p ( X ≤ 2 ) = p ( X = 0 ) + p ( X = 1) + p ( X = 2 )
p ( B ) = ( 0,98 )
100
99
2
98
98
2
2
+ 100 ( 0,02 )( 0,98 ) + 4950 ( 0,02 ) ( 0,98 ) = ( 0,98 ) ( 0,98 ) + 2 × ( 0,98 ) + 4950 ( 0,02 ) 


p ( B ) = 4,9004 × ( 0,98 ) ≃ 0,677
98
2/ Loi de Poisson.
Définition.
Une variable aléatoire réelle X suit une loi de Poisson de paramètre λ ( λ > 0) si et seulement si, pour tout
entier naturel k, p( X = k ) =
e −λ λ k
.
k!
(1)
X est alors une variable aléatoire réelle discrète infinie.
Lecture dans la table.
La table du formulaire officiel donne les valeurs de p (X = k) pour certaines valeurs de λ et k; par exemple,
à l’intersection de la colonne λ = 6 et de la ligne k = 3, on lit: p( X = 3) ≈ 0,089 dans le cas où X suit une
loi de Poisson de paramètre λ = 6 .
Si on désire une précision plus grande ou si le paramètre ne figure pas dans la table, on effectue le calcul en
utilisant l’égalité référencée (1).
Espérance et variance.
Si X suit une loi de Poisson de paramètre λ , E (X) = λ = V (X).
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Conditions d’application.
• La probabilité de réalisation d’un événement E pendant un intervalle de temps infiniment petit est
proportionnelle à son amplitude d t , c’est à dire que: p ( E ) = m d t avec m constante positive.
• La réalisation future de E est indépendante de sa réalisation passée
Dans ces conditions, la variable aléatoire X égale au nombre de fois où E se réalise pendant un intervalle de
temps T suit une loi de Poisson de paramètre λ = m T ; X → P ( λ = m T ) .
Conformément à votre programme, la loi de Poisson s’utilisera le plus souvent comme approche de la loi
si
X
suit
une
loi
binomiale
de
paramètres
n
et
p
et
si
binomiale:
n ≥ 30, p < 0,1 et npq < 10 (ou np ≤ 10) , la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson de
paramètre λ = n p .
N.B.: les conditions n ≥ 30, p < 0,1 et npq < 10 (ou np ≤ 10) sont données à titre indicatif.
Reprenons l’exercice précédent :
c/ Montrer que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson dont on précisera les paramètres.
d/ Refaire les calculs de la question b en utilisant cette loi de Poisson.
c/
On sait que X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,02 .
Comme n > 30 , p < 0,1 et n p q = 1,96 < 10 , on peut approcher cette loi binomiale par la loi de Poisson de
paramètre λ = n p = 2 .
d/
p ( A ) = p ( X ≥ 1) = 1 − p ( X = 0 )
Par lecture dans la table, p ( X = 0 ) ≃ 0,135 donc p ( A ) ≃ 0,865
p ( B ) = p ( X ≤ 2 ) = p ( X = 0 ) + p ( X = 1) + p ( X = 2 )
p ( B) = e − 2
20
21
22
98
+ e −2 + e −2
= e − 2 ( 1 + 2 + 2 ) = 5e − 2 ≃ 0,677 p ( B ) = 4,9004 × ( 0,98 ) ≃ 0,677
0!
1!
2!
3/ Loi normale ou de Laplace- Gauss.
Variable centrée réduite.
La loi normale est une loi continue ; elle est définie par une « densité de probabilité » dont la forme en
« cloche » de sa représentation est caractéristique.
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
0
50
100
150
200
250
Rappelons que sa fonction de répartition est donnée par F(x) =
300
∫
x
−∞
350
400
f (t) dt ; ce nombre est donc une aire.
Si X suit une loi normale de paramètres m et σ , m est l’espérance de X , σ est son écart type et la variable
X−m
centrée réduite associée à X, X∗ =
, suit la loi normale de paramètres 0 et 1 : X* → N ( 0;1) .
σ
3/6
Lecture dans la table.
La table du formulaire officiel précise la fonction de répartition π de la loi normale de la variable centrée
réduite T: pour tout réel t, π(t) = p ( T ≤ t ) =
∫
t
−∞
f (x)dx où f est une densité de probabilité de T.
Remarque : T étant une variable aléatoire continue, p ( T ≤ t ) = p ( T < t ) car l’aire d’une droite est nulle.
La table donne les valeurs de π ( t ) pour toutes les valeurs de t comprises entre 0 et 2,99 avec un « pas » de
0,01 et pour quelques « grandes » valeurs de t; par exemple, on lit π (1,42 ) à l’intersection de la ligne 1,4 et
de la colonne 0,02 car 1,42 = 1,4 + 0,02: π (1,42 ) ≈ 0,9222.
Pour t compris entre -2,99 et 0, on utilise la formule obtenue en observant la symétrie de la courbe
représentative de f par rapport à la droite des ordonnées: π(− t) = 1 − π(t) : par exemple
π ( -1,42 ) = 1 − π (1,42 ) ≈ 1 − 0,9222 ; on a donc π (1,42 ) ≈ 0,0778 .
Remarque: si on veut calculer π ( t ) pour t compris strictement entre 0 et 3 et t comportant plus de 2 chiffres
après la virgule, on peut être amené à effectuer une interpolation linéaire.
Quelques formules utiles.
p ( T ≥ a ) = 1 − π(a); p(a ≤ T ≤ b) = π(b) − π(a) et p(−a ≤ T ≤ a) = 2 π(a) − 1.
Exercice 1 : Calculs.
On admet qu’une variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance (on dit aussi de moyenne) 225 et
d’écart type 10.
Calculer p ( X ≤ 235 ) , p ( X ≤ 215 ) , p ( X ≥ 220 ) et p ( 210 ≤ X ≤ 240 ) .
La variable centrée réduite est définie par X∗ =

p ( X ≤ 235 ) = p  X* ≤

X − 225
10
; X* → N ( 0;1) .
235 − 225 
*
 = p X ≤ 1 = π (1) ≃ 0,8413
10

(
)
215 − 225 

*
p ( X ≤ 215 ) = p  X* ≤
 = p X ≤ − 2 = π ( − 2) = 1 − π ( 2) .
10


Comme π ( 2 ) ≃ 0,9772 , p ( X ≤ 215 ) ≃ 0,0228 .
(

p ( X ≥ 220 ) = p  X* ≥

p ( X ≥ 220 ) ≃ 0,6915 .
)
220 − 225 
*
*
 = p X ≥ − 0,5 = 1 − p X ≤ − 0,5 = 1 − π ( − 0,5 ) = π ( 0,5 ) ;
10

(
)
(
)
240 − 225 
 210 − 225
*
p ( 210 ≤ X ≤ 240 ) = p 
≤ X* ≤
 = p −1,5 ≤ X ≤ 1,5 = 2 π (1,5 ) − 1 ;
10
10


comme π (1,5 ) ≃ 0,9332 , p ( 210 ≤ X ≤ 240 ) ≃ 0,8664 .
(
)
4/6
Exercice 2 : lecture directe et inverse dans la table.
La longueur en mètres d’un rouleau de papier peint définit une variable aléatoire suivant une loi normale
d’espérance 10 et d’écart type 0,032.
1/ Déterminer la probabilité pour que cette longueur soit inférieure à 9,96 mètres.
2/ Sachant que 95% de ces rouleaux ont une longueur comprise entre 10 − h et 10 + h ; déterminer le réel
h.
La variable centrée réduite est définie par X∗ =
X − 10
0,032
; X* → N ( 0;1) .
9,96 − 10 

*
1/ p ( X < 9,96 ) = p  X* <
 = p X < −1, 25 = π ( −1, 25 ) = 1 − π (1, 25 ) ; comme π (1,25 ) ≃ 0,8944 ,
0,032 

p ( X < 9,96 ) ≃ 0,1056 .
(
)
2/ On cherche le réel h tel que p (10 − h ≤ X ≤ 10 + h ) = 0,95 ou tel que
h
h 

p −
≤ X* ≤
 = 0,95
0,032 
 0,032
 h 
2 π
 − 1 = 0,95
 0,032 
 h 
π
 = 0,975
 0,032 
Or, par lecture dans la table, π (1,96 ) = 0,975 donc
h
= 1,96 et finalement h = 0,06272 .
0,032
Approche d’une loi binomiale ou d’une loi de Poisson par une loi normale.
Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p et si n ≥ 50 et npq > 10 (ou np > 10) ,
la loi de X peut être approchée par une loi normale de paramètres m = np et σ =
npq .
Si la variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ et si λ > 20, la loi de X peut être
approchée par une loi normale de paramètres m = λ et σ = λ .
Les conditions: n ≥ 50 et npq > 10 ( ou np > 10) et λ > 20 sont données à titre indicatif.
Les lois binomiale et de Poisson étant des lois discrètes et la loi normale, une loi continue, on peut être
amené à effectuer une correction de continuité: en effet, dans le cas d’une loi discrète, pour k entier naturel
non nul,
p( X ≤ k ) = p( X < k + 1) alors que dans le cas d’une fonction continue,
p( X ≤ k ) = p( X < k ) et p( X ≤ k + 1) = p( X < k + 1) ; on fait donc un compromis et on calcule
p( X ≤ k + 0,5) .
Exercice :
Une étude de marché a montré qu’un nouveau produit A est susceptible d’intéresser la clientèle d’une
entreprise avec la probabilité p = 0,85 . Pour commencer la production, le chef d’entreprise a besoin de
connaître le nombre de commandes prévisibles. on note X la variable aléatoire qui associe à l’échantillon de
ses 120 clients, le nombre de commandes attendues.
On admet que ces 120 clients prennent la décision commander ou de ne pas commander ce produit en toute
indépendance et qu’ils ne commanderont pas plus d’un produit A.
5/6
1/ Donner la loi de X.
2/ Montrer que cette loi peut être approchée par une loi normale dont on déterminera les paramètres m et σ .
3/ Calculer en utilisant cette loi normale la probabilité pour qu’au moins 108 clients commandent ce
nouveau produit.
1/
X suit la loi binomiale de paramètres n = 120 et p = 0,85 .
2/
n ≥ 50 et npq = 120 × 0,85 × 0,15 = 15,3 donc npq > 10 . La loi binomiale B (120 ; 0,85 ) peut être approchée
par
la
loi
normale
d’espérance
m = n p = 120 × 0,85 = 102
et
d’écart
type
σ = n p q = 120 × 0,85 × 0,15 = 15,3 ≃ 3,9 .
3/
On cherche p ( X ≥ 108 ) ou p ( X > 107 ) ; avec la loi normale et par correction de continuité, on calcule donc
p ( X > 107,5 ) .
La variable centrée réduite est définie par X∗ =
X − 102
15,3
; X* → N ( 0;1) .

 ∗
107,5 − 102 
107,5 − 102 
p ( X > 107,5 ) = p  X∗ >
 = 1 − p  X ≤
.

15,3 
15,3 


p ( X > 107,5 ) ≃ 1 − π (1, 41) , comme π (1,41) ≃ 0,9297 , p ( X > 107,5 ) ≃ 0,070 .
6/6