Physique Générale SYSTEME DE PARTICULES DYNAMIQUE DU

Physique G´en´erale
SYSTEME DE PARTICULES
DYNAMIQUE DU SOLIDE
TRAN Minh Tˆam
Table des mati`eres
Loi de Newton pour un ensemble de particules 73
Quelques exemples simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Le centre de masse CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Le mouvement du centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Conservation de la quantit´e de mouvement dans un syst`eme isol´e . . 76
Les chocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Syst`emes `a masses variables : le principe des fus´ees . . . . . . . . . 80
Rotation d’un corps rigide autour d’un axe fixe 82
Rappel sur la cin´ematique de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . 82

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Caract`ere vectoriel de la vitesse et de l’acc´el´eration angulaire . . . . 83
L’´energie cin´etique de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Le moment des forces, l’´equation de Newton pour la rotation et le
moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Forme vectorielle de l’´equation de Newton pour la rotation . . . . . 89
Travail et ´energie cin´etique de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Parall`ele entre la M´ecanique de la particule et celle du solide autour
d’un axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
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Loi de Newton pour un ensemble de particules
Jusqu’`a pr´esent, nous n’avons discut´e que des points mat´eriels puis des objets
pouvant ˆetre assimil´es `a des points mat´eriels. Un point mat´eriel ne peut avoir
que des mouvements de translation et ses dimensions sont n´eglig´ees par rapport `a
son d´eplacement. Il est ´evident que la r´ealit´e est plus complexe et nous devons
consid´erer un ensemble de points mat´eriels, pouvant tourner tout en se d´epla¸cant ...
Quelques exemples simples
Collision Dans une collision, nous devons consid´erer au moins deux
points mat´eriels, dont aucun n’est fixe.
Corps rigide dont un point est fixe L’exemple type d’un corps
rigide avec un point fixe est la toupie. Dans ce probl`eme, puisque le corps
est rigide, les distances entre deux points quelconques du corps ne varient
pas au cours du temps et nous avons un point fixe, celui du contact de la
toupie avec le sol.
Corps rigide avec deux points fixes S’il existe deux points du corps
rigide qui sont fixes, alors tout point de l’axe joignant les deux points est
aussi fixe au cours du temps. Un exemple est une roue libre de tourner
autour de son axe.
Le centre de masse CM
Pour un syst`eme de deux particules de masses m1et m2, la position du
centre de masse est d´efini par
xCM =m1x1+m2x2
m1+m2
=m1x1+m2x2
M
o`u Mest la masse totale du syst`eme :
x
y
x1
x2
xCM
d
m1
m2
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Loi de Newton pour un ensemble de particules
Pour un syst`eme comportant Nparticules, la g´en´eralisation est imm´ediate :
xCM =m1x1+m2x2+... +mNxN
m1+m2+... +mN
=1
M
N
X
i= 1
mixi
Si les Nparticules sont distribu´ees dans l’espace `a 3 dimensions, nous
aurons toujours la d´efinition pr´ec´edente pour chacune des composantes x,
yet z. Comme ~rCM =xCM ˆ i+yCM ˆ j+zCM ˆ k, les trois d´efinitions
scalaires pour les composantes peuvent ˆetre remplac´ee par :
~rCM =1
M
N
X
i= 1
mi~ri
Pour un solide, nous sommes confront´es `a un nombre ´enorme de particules
et devons traiter le probl`eme d’une mani`ere continue : les sommations sur
des particules individuelles pr´ec´edentes doivent ˆetre remplac´ees par des
int´egrales :
xCM =1
MZx dm yCM =1 MZy dm zCM =1 MZz dm
Remarques
1) Le centre de masse peut ne pas co¨ıncider avec un point mat´eriel du syst`eme.
2) La sym´etrie du probl`eme aide grandement dans la recherche du CM.
CM
Le CM d'un tronc de cône
creux ne coïncide pas avec
un point matériel de l'objet
Point de contrˆole La figure ci-apr`es montre un carr´e uniforme. a) O`u se trouve
son centre de masse au d´epart ? b) O`u se trouve son CM si on enl`eve le carr´e 1 ? c)
les carr´es 1 et 2 ? d) les carr´es 1 et 3 ? e) les carr´es 1, 2 et 3 ? f) les quatre petits
carr´es ? R´epondez en terme de quadrants, axes ou points sans faire aucun calcul.
1 2
3
4
x
y
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Loi de Newton pour un ensemble de particules
Le mouvement du centre de masse
La vitesse instantan´ee d’une particule ´etant la d´eriv´ee de son vecteur po-
sition, nous avons, en d´erivant le vecteur position du CM par rapport au
temps :
~vCM =1
M
N
X
i= 1
mi~vi⇒~ PCM =M ~vCM =
N
X
i= 1
mi~vi=
N
X
i= 1
~pi=~ Ptot
Nous avons ici utilis´e la d´efinition de la quantit´e de mouvement : ~p =m ~v .
La quantit´e de mouvement totale d’un syst`eme de particules,
~
Ptot =~ PCM =
N
X
i= 1
~piest ´equivalente `a celle d’une seule particule fictive
de masse M=
N
X
i= 1
mise d´epla¸cant `a la vitesse du centre de masse ~vCM .
Remarque Ceci apporte une ´enorme simplification : nous pouvons traiter le mou-
vement de translation d’un syst`eme de particules ou d’un objet ´etendu comme s’il
s’agissait de particules dont les masses seraient concentr´ees au CM : c’´etait ce que
nous avons fait jusqu’`a pr´esent.
D´erivons par rapport au temps l’´equation M ~vCM =
N
X
i= 1
mi~vi.
Nous obtenons naturellement : M ~aCM =
N
X
i= 1
mi~ai=
N
X
i= 1
~
Fi.
Ici, ~ Fiest la force r´esultante sur la particule i. Lorsque nous faisons
la somme des forces sur toutes les particules les “forces int´erieures” qui
s’exercent entre elles s’annulent deux `a deux (3`eme loi de Newton), ne
laissant que la force ext´erieure r´esultante ; par cons´equent :
N
X
i= 1
~
Fi=~ Fext .
~
Fext =M ~aCM =d~
PCM
dt
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