Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky et diviseurs non

Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky
et
diviseurs non-sp´eciaux de degr´e g−1
Julia Pieltant
LTCI – Paris
CNRS & Telecom ParisTech
Labex Math´ematiques Hadamard
[email protected]
http://www.lix.polytechnique.fr/∼pieltant
GT BaC, 7 juillet 2016

Plan
1. Introduction
Multiplications bilin´eaires
Rang de tenseur
2. Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky
Algorithmes de type ´evalutation-interpolation
Principe g´en´eral
Choix des param`etres
Exemple
Lin´earit´e du rang de tenseur
3. Rappels
Diviseurs de dimension nulle et diviseurs effectifs
4. Diviseurs non-sp´eciaux de degr´e g−1
Existence en caract´eristique >3
Tours ordinaires

Introduction Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky Rappels Diviseurs non-sp´eciaux de degr´e g−1
Complexit´e de la multiplication dans F
qnsur Fq:
Nombre minimal d’op´erations ´el´ementaires dans F
qn´ecessaires pour calculer le
produit de deux ´el´ements quelconques x,y∈F
qn.
Types d’op´erations :
7addition : (a,b)7→ a+bo`u a,b∈F
q,
7multiplication scalaire : xi7→ a·xio`u a,xi∈F
q, et aest une constante,
4multiplication non-scalaire ou bilin´eaire : (xi,yj)7→ xi·yjo`u xi,yj∈F
q
d´ependent des ´el´ements xet yde Fqndont on effectue le produit.
Le nombre minimal de multiplications bilin´eaires n´ecessaires pour effectuer le
produit de deux ´el´ements quelconques de F
qnest appel´e complexit´e bilin´eaire
de la multiplication dans F
qnsur F q, et not´ee µq(n).
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Introduction Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky Rappels Diviseurs non-sp´eciaux de degr´e g−1
Complexit´e de la multiplication dans F
qnsur Fq:
Nombre minimal d’op´erations ´el´ementaires dans F
qn´ecessaires pour calculer le
produit de deux ´el´ements quelconques x,y∈F
qn.
Types d’op´erations :
•addition : (a,b)7→ a+bo`u a,b∈F
q,
•multiplication scalaire : xi7→ a·xio`u a,xi∈F
q, et aest une constante,
•multiplication non-scalaire ou bilin´eaire : (xi,yj)7→ xi·yjo`u xi,yj∈F
q
d´ependent des ´el´ements xet yde Fqndont on effectue le produit.
Le nombre minimal de multiplications bilin´eaires n´ecessaires pour effectuer le
produit de deux ´el´ements quelconques de F
qnest appel´e complexit´e bilin´eaire
de la multiplication dans F
qnsur F q, et not´ee µq(n).
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Introduction Algorithme de Chudnovsky-Chudnovsky Rappels Diviseurs non-sp´eciaux de degr´e g−1
Complexit´e de la multiplication dans F
qnsur Fq:
Nombre minimal d’op´erations ´el´ementaires dans F
qn´ecessaires pour calculer le
produit de deux ´el´ements quelconques x,y∈F
qn.
Types d’op´erations :
7addition : (a,b)7→ a+bo`u a,b∈F
q,
7multiplication scalaire : xi7→ a·xio`u a,xi∈F
q, et aest une constante,
4multiplication non-scalaire ou bilin´eaire :(xi,yj)7→ xi·yjo`u xi,yj∈F
q
d´ependent des ´el´ements xet yde Fqndont on effectue le produit.
Le nombre minimal de multiplications bilin´eaires n´ecessaires pour effectuer le
produit de deux ´el´ements quelconques de F
qnest appel´e complexit´e bilin´eaire
de la multiplication dans F
qnsur F q, et not´ee µq(n).
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