T H E S E

UNIVERSITE IBNOU ZOHR
FACULTE DES SCIENCES AGADIR
CENTRE DES ETUDES DOCTORALES
THESE
pour obtenir le titre de
Docteur en Sciences
de l’Université IBNOU ZOHR d’Agadir
Spécialité : Mathématiques Appliquées
Présentée et soutenue par
Hicham MAHDIOUI
Sujet
Le principe auxiliaire et algorithmes
d’approches pour les problèmes d’équilibres
et
études d’un problème du point selle vectoriel
Soutenue le 01 décembre 2012 devant le jury composé de :
Président
Hassan RIAHI, Professeur à la faculté des sciences Semlalia, Université Cadi
Ayyad, Marrakech.
Membres de jury
Zaki CHBANI Professeur à la faculté des sciences Semlalia,
Université Cadi Ayyad, Marrakech.
Abdelmalek ABOUSSOROR Professeur à la Faculté polydisciplinaire de Safi,
Université Cadi Ayyad.
Abdrahim DRIOUCH Professeur à la faculté des sciences, Université
Ibnou ZOHR, Agadir.
Abdellah BNOUHACHEM Professeur à l’école nationale des sciences appli-
quées, université Ibnou ZOHR, Agadir.
Directeur de thèse : Ouayl CHADLI. Professeur à FSJES Ibnou ZOHR, Agadir.
Co-directeur : Hamid BOUNIT. Faculté des sciences Ibnou ZOHR, Agadir.
Laboratoire de recherche d’analyse Mathématiques et applications.

Remerciements
Je tiens à exprimer toute ma gratitude et ma sympathie à mon directeur de thèse, Ouayl
CHADLI. Sa disponibilité totale et sa modestie face au travail et au quotidien furent pour
moi une aide constante durant mes quatre années. Je le remercie de m’avoir orienté vers ce
sujet lors de mon stage de Master, il a pris le temps nécessaire pour m’éveiller à la recherche,
montrant constamment une très grande rigueur et précision. Il n’a cessé de me soutenir et de
m’encourager dans tous ces moments où un doctorant peut douter, de lui et de son travail.
Il m’a poussé en avant, m’obligeant en permanence à aller toujours plus loin. J’espère qu’il
a pris autant de plaisir que moi à cette aventure à la fois passionnante mais parfois délicate
qu’est la réalisation d’une thèse. Un très grand merci à lui, et toute ma reconnaissance.
Un très grand merci à mon co-directeur de thèse, Hamid BOUNIT, pour m’avoir forte-
ment encouragée à poursuivre dans cette voie et choisie pour ce sujet de thèse.
Je tiens bien évidemment à exprimer ma reconnaissance aux membres du jury, mes
rapporteurs, pour avoir pris le temps de lire cette thèse dans les moindres détails et juger
ce travail et le jury dans son ensemble pour leur présence, leurs encouragements et conseils
qui m’ont permis de tout finaliser et leur sympathie.
C’est d’une manière indubitable et profondément sincère que je dis un grand merci à
mes parents et ma famille pour leur soutien, la fierté et la confiance qu’ils me portent.
Je remercie toutes les personnes côtoyées au sein de la faculté des sciences Ibnou Zohr
pour leur accueil. Plus particulièrement tout les professeurs et les personnelles du dépar-
tement de Mathématique et Informatique. J’exprime mes remerciements à mes collègues
avec lesquelles j’ai partagé d’agréables moments. Merci à toutes les personnes avec qui j’ai
travaillé avec un immense plaisir et tous ceux avec qui j’ai pu être en contact au sein de la
faculté des sciences juridiques, économiques et sociales, je tiens également à leur exprimer
toute ma gratitude pour leur aide, conseils, soutien. . . et ceci aussi bien sur le plan profes-
sionnel que personnel. Grâce à eux, j’ai aussi pu rencontrer et travailler avec des chercheurs
de différents spécialités, ce qui est un atout et une chance exceptionnelle, et je leur en suis
particulièrement reconnaissant.
Je tiens à remercier l’ensemble des secrétaires du C.E.D et tout particulièrement Madame
la Directrice L. Idrissi Hassani pour sa gentillesse, sa disponibilité et son efficacité à résoudre
mes problèmes.
Petite dédicace aux amis qui ont partagé mon quotidien ou de simples moments : Abd
Aziz, Sultana, Ahmed et Mustapha, mes collègues, bien évidemment Anouar avec qui j’ai
partagé les différentes phases de ma thèse et tous les autres. Grâce à eux, des moments
sympathiques ont égayé mes quatre années, même dans les moments les moins roses. Enfin,
merci à Ahmed pour son écoute et son soutien, à tout mes amis pour les moments de détentes
partagés et à tous ceux que j’aurai pu oublié.

Liste des principales publications et communications
- H. Mahdioui and O. Chadli : On a system of generalized mixed equilibrium problems
involving variational-like inequalities in Banach Spaces : Existence and algorithmic
aspects, Advances in Operations Research, N. ID 843486, pages 18, 2012.
-O. Chadli and H. Mahdioui : Existence results for vector saddle points problems, Tai-
wanese Journal of Mathematics, vol.16, number 2, pages 429-444,2012.
-O. Chadli, H. Mahdioui and J. C. Yao : Bilevel mixed equilibrium problems in Banach
spaces : existence and algorithmic aspects, Journal of Numerical Algebra, Control and
Optimization, vol.1, number 3, pages 549-561, 2011.
- H. Mahdioui and O. Chadli : Existence results for vector saddle points problems. Com-
munication aux 5th International Conference On Operations Research, CIRO’10, Mar-
rakech, Morocco, 24-27 Mai 2010.
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Résumé
Cette thèse est divisée en deux parties. La première partie est consacrée au côté algorith-
mique des problèmes d’équilibres dans un cadre général d’espace de Banach. Pour ce faire
un concept du principe auxiliaire a été utilisé. L’extension de ce concept au cadre des
problèmes d’équilibre présente plusieurs intérêts d’ordre théoriques et numériques entre
autre. En effet, il permet de retrouver les principaux algorithmes d’optimisation dans un
cadre unifié où l’étude de convergence a été effectuée une fois pour toute. Ainsi qu’il ré-
side dans le conditionnement numérique des problèmes d’optimisation et des inéquations
variationnelles. La deuxième partie présente une étude d’existence des solutions pour un
problème du point selle dans un espace vectoriel ordonné par un cône. On propose deux
méthodes pour cette étude. La première méthode consiste à introduire une condition de
type Brézis-Nirenberg-Stampacchia étendue au cadre vectoriel ainsi qu’une relaxation de
la notion de C-semicontinuité. Dans la seconde approche, nous établissons un résultat
d’existence pour le problème de point selle vectoriel dans un espace paracompact en fai-
sant appel à la notion de la partition de l’unité.
Mots-clés : Analyse convexe, problèmes d’équilibres, problèmes d’équilibres mixte,
principe auxiliaire, monotonie, coercivité, point selle vectoriel, C-semicontinuité, C-
quasiconvexité, Lemme de KKM, espace paracompact.
Abstract
This thesis is divided into two parts. The first part is devoted to algorithmic problems
aside equilibria in a general Banach space. To do this a concept of auxiliary principle
was used. Extending this concept to the context of equilibrium problems has several
advantages theoretical and numerical order among others. Indeed, it can find the main
optimization algorithms in a unified framework where convergence study was carried out
once and for all. As is the conditioning numerical optimization problems and variational
inequalities. The second part presents a study of existence of solutions for a saddle point
problem in a vector space ordered by a cone. We propose two methods for this study.
The first method is to introduce a condition type Brézis-Nirenberg-Stampacchia vector
extended framework and a relaxation of the notion of C-semicontinuity. In the second
approach, we establish an existence result for the saddle point problem in a paracompact
space vector by using the notion of partition of unity.
Keywords : Convex analysis, equilibrium problem, mixed equilibrium problem, auxiliary
problem, monotonie, coercivity, vector saddle point, C-semicontinuity, C-quasiconvexity,
KKM-Lemma, paracompact space.
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