Théorème de Stampacchia

Théorème de Stampacchia
Florent Nacry
24 janvier 2015
Référence : Analyse fonctionelle, Brézis.
Notation : Si (X, k·k)est un R- espace vectoriel normé, on note X?son dual topologique.
Débutons par un rappel sur la notion de coercivité pour une forme bilinéaire.
Définition. Soient (X, k·k)un R-espace vectoriel normé, b:X×X−→ Rune forme bilinéaire.
On dit que best k·k-coercive (ou coercive) lorsqu’il existe un réel α > 0tel que pour tout x∈X,
b(x, x)≥αkxk.
On aura besoin du célèbre théorème suivant :
Théorème. (de point fixe de Banach-Picard) Soient (E, d)un espace métrique complet,
f:E−→ Eune application contractante. Alors, fa un unique un point fixe a∈E. De plus, toute
suite (xn)n∈Nd’éléments de Esatisfaisant pour tout n∈N,xn+1 =f(xn), converge dans Evers
a.
Le résultat suivant est le théorème de projection sur un convexe non vide fermé d’un espace de
Hilbert.
Théorème. Soient (H,h·,·i)un R-espace de Hilbert, k·k =qh·,·i,Kun convexe fermé non vide
de H,u∈ H. Alors, il existe un unique PK(u)∈Ktel que
inf
v∈Kku−vk=ku−PK(u)k.
De plus, pour tout v∈ H,v=PK(u)si et seulement si v∈Ket pour tout w∈K,
hu−v, w −ui ≤ 0.
Rappelons le résultat qui permet d’identifier le dual topologique d’un espace de Hilbert à lui-
même.
Théorème. (de représentation de Riesz-Fréchet) Soient (H,h·,·i)un R-espace de Hilbert,
k·k =qh·,·i,k·kLla norme subordonnée aux normes k·k et |·|,ϕ∈ H?. Alors, il existe un unique
x∈ H tel que
ϕ(·) = h·, xi.
De plus, on a l’égalité kϕkL=kxk.
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L’application projection sur un convexe non vide fermé d’un espace de Hilbert est 1-lipschitzienne.
Proposition. Soient (H,h·,·i)un R- espace de Hilbert, k·k =qh·,·i,Kun convexe fermé non
vide de H. Alors, l’application PK:H −→ H est 1-lipschitzienne, i.e. pour tout u1, u2∈ H,
kPK(u1)−PK(u2)k ≤ ku1−u2k.
On en arrive au résultat fondamental de ce document.
Théorème. (de Stampacchia) Soient (H,h·,·i)un R-espace de Hilbert, k·k =qh·,·i,a:H ×
H −→ Rune forme bilinéaire continue sur H × H, coercive, Kun convexe fermé non vide de H.
Pour tout ϕ∈ H?, il existe un unique u∈Ktel que pour tout v∈K,
a(u, v −u)≥ϕ(v−u).
Démonstration. Fixons ϕ∈ H?. Via le théorème de Riesz, il existe un unique f∈ H tel que
ϕ(·) = h·, fi.
Fixons u0∈ H. L’application a(u0,·) : H −→ Rest une forme R-linéaire de H, continue sur H
(puisque aest continue sur H × H). Via le théorème de Riesz, il existe un unique élément A(u0)
de Htel que
a(u0,·) = hA(u0),·i .
On peut ainsi définir une application R-linéaire Ade Hdans lui-même. La coercivité de anous
fournit l’existence d’un réel α > 0tel que pour tout u∈ H,
hA(u), ui ≥ αkuk2.
Puisque aest une forme R-bilinéaire de H × H, continue sur H × H, il existe un réel C > α tel
que pour tout u, v ∈ H,
|a(u, v)| ≤ Ckuk kvk.
Notons k·kLla norme subordonnée à k·k et à |·|. Pour tout u∈ H, on a
kA(u)k=ka(u, ·)kL
= sup
v∈B[0,1]
|a(u, v)|
≤Ckuk.
Fixons un réel ρ∈]0,2α
C2[. Notons que le choix de ρentraîne ρ2C2−2ρα + 1 <1. De plus, pour
tout x∈R, on a C2x2−2αx + 1 >0. Ainsi, on dispose de l’encadrement
C2ρ2−2αρ + 1 ∈]0,1[ .
Constatons que
∃u∈K, ∀v∈K, a(u, v −u)≥ϕ(v−u)⇐⇒ ∃u∈K, ∀v∈K, hu−ρ(A(u)−f)−u, v −ui ≤ 0
⇐⇒ ∃u∈K, u =PK(ρf −ρA(u) + u).(1)
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Cherchons alors les points fixes de l’application
s:K−→K
w7−→PK(ρf −ρA(w) + w).
Pour tout w1, w2∈K, on a
kS(w1)−S(w2)k≤kw1−w2−ρ(A(w1)−A(w2)k.
Pour tout w1, w2∈K, on a
kS(w1)−S(w2)k2=kw1−w2k2+ρ2kA(w1)−A(w2)k2−2ρhw1−w2, A(w1)−A(w2)i
≤ kw1−w2k2(1 + ρ2C2−2ρα).
Ainsi, Sest une application contractante de Kdans lui-même. L’application Sa donc un unique
point fixe u∈K. Via (1), uest l’unique élément de Ktel que
a(u, v −u)≥ϕ(v−u)pour tout v∈K.
Ceci termine la preuve.
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