Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de

SESSION 2003
EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
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MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont interdites.
***
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à
prendre.
Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de Mn ( ! )
Notations
Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note :
Mn ( ! ) : la ! -algèbre des matrices carrées réelles d’ordre n.
Mn,1 ( ! ) : le ! -espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne.
Pour une matrice A de Mn ( ! ) , t A est sa matrice transposée, rang ( A) son rang et Tr ( A) sa trace.
In : la matrice unité de Mn ( ! ) .
S n ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de Mn ( ! ) .
An ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de Mn ( ! ) .
S n + ( ! ) : l’ensemble des matrices positives de S n ( ! ) c’est-à-dire des matrices A de S n ( ! )
vérifiant : pour toute matrice X ∈ Mn ,1 ( ! ) , t X A X ≥ 0 .
GLn( ! ) : le groupe des matrices inversibles de Mn ( ! ) .
On ( ! ) : le groupe des matrices réelles orthogonales c’est-à-dire des matrices M de Mn ( ! )
vérifiant : tM M = I n .
Pour p entier naturel, ∆ p est l’ensemble des matrices de Mn ( ! ) de rang supérieur ou égal à p et
∇ p est l’ensemble des matrices de Mn ( ! ) de rang inférieur ou égal à p.
Tournez la page S.V.P.
2
Objectifs
Le but du sujet est de calculer la distance (par la norme de Schur définie à la question II.3.) d’une
matrice à :
dans la partie II., S n ( ! ) et An ( ! ) par le théorème de projection orthogonale,
dans la partie III., On ( ! ) par le théorème de décomposition polaire,
dans la partie IV., ∆ p par des notions de densité,
dans la partie V., ∇ p par le théorème de Courant et Fischer.
La partie I. traite un exemple qui sera utilisé dans les différentes parties.
Remarque : dans le texte, le mot « positif » signifie « supérieur ou égal à 0 ».
I.
Exercice préliminaire
2
1 
 1


1. Soit la matrice Γ =  − 2 − 1 − 1  de M3 ( ! ) , on pose H = t Γ Γ .
 −1 −1 − 2


Diagonaliser la matrice H et déterminer une matrice P de O 3 ( ! ) et une matrice diagonale D à
termes tous positifs telles que D2 = P−1 H P .
2. On pose S = P D P−1 ∈ S 3+ ( ! ) , montrer que la relation Γ = U S définit une matrice
U ∈ O 3 ( ! ) et calculer cette matrice.
II.
Calcul de la distance de A à S n ( ! ) et à An ( ! )
3. Soit A et B deux matrices de Mn ( ! ) , on pose (A B) = Tr (tA B) .
Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur Mn ( ! ) .
1
La norme associée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée : A = ( (A A) )2 .
Dans tout le sujet, si Π est une partie non vide de Mn ( ! ) , la distance d’une matrice A de
Mn ( ! ) à la partie Π est le réel d ( A, Π ) = inf A − M .
M ∈Π
4. Montrer que Mn ( ! ) = S n ( ! ) ⊕ An ( ! ) et que cette somme directe est orthogonale.
5. Si A est une matrice de Mn ( ! ) , montrer que d ( A, S n ( ! ) ) =
même d ( A, An ( ! ) ).
6. Calculer d (Γ, A 3 ( ! ) ) où Γ est la matrice exemple de la partie I.
1
( A− t A) et déterminer de
2
3
III.
Calcul de la distance de A à On ( ! )
A. Théorème de la décomposition polaire
7. Montrer qu’une matrice S de S n ( ! ) appartient à S n + ( ! ) si et seulement si toutes les valeurs
propres de S sont positives ou nulles.
8. Si A est une matrice de Mn ( ! ) montrer que la matrice t A A ∈ S n + ( ! ) .
9. Soit A une matrice de Mn ( ! ) , on suppose qu’il existe une matrice diagonale
D = diag (d1 , d 2 , ..., d n ) à termes positifs telle que t A A = D 2 .
On note A1 , A2 ,..., An les matrices de Mn ,1 ( ! ) qui forment les colonnes de la matrice A.
a. Pour tout couple (i, j ) d’entiers naturels compris entre 1 et n, évaluer t Ai Aj .
En particulier, si i est un entier pour lequel d i = 0 , que vaut Ai ?
b. Montrer que l’on peut trouver une base orthonormée ( E1 , E 2 , ..., E n ) de Mn ,1 ( ! ) (par
rapport au produit scalaire canonique
X, Y =tX Y de Mn ,1 ( ! ) ) telle que, pour tout
entier naturel i entre 1 et n, Ai = di Ei .
c. En déduire qu’il existe une matrice E de On ( ! ) telle que A = E D .
10. Soit A et B deux matrices de Mn ( ! ) vérifiant t A A = tB B .
a. Montrer qu’il existe une matrice diagonale D à termes positifs et une matrice orthogonale P
telles que : P −1 t A A P = P −1 t B B P = D 2 .
b. Montrer qu’il existe une matrice U de On ( ! ) telle que A = U B.
11. Déduire des questions précédentes le théorème de décomposition polaire :
Pour toute matrice A de Mn ( ! ) , il existe une matrice U de On ( ! ) et une matrice S de
S n + ( ! ) telles que A = U S .
(Remarque : on peut également établir l’unicité de la matrice S de S n + ( ! ) et même l’unicité
de la matrice U de On ( ! ) si A est de plus inversible dans cette décomposition mais ce ne sera
pas utile pour la suite du problème).
B. Calcul de d ( A, On ( ! ) )
12. Montrer que, pour toute matrice M de Mn ( ! ) et pour toute matrice Ω de On ( ! ) ,
M Ω = ΩM = M .
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13. Dans la suite de cette partie, soit A une matrice de Mn ( ! ) , soit U ∈ On ( ! ) et S ∈ S n + ( ! )
telles que A = U S ; il existe une matrice diagonale D et une matrice P de On ( ! ) telles que
S = P D P −1 .
a. Montrer que, pour toute matrice Ω de On ( ! ) , A − Ω = S − U −1Ω et en déduire que
d ( A, On ( ! ) ) = d ( S , On ( ! ) ).
b. Montrer que d ( A, On ( ! ) ) = d ( D, On ( ! ) ).
14. On note D = diag (λ1 , λ 2 , ..., λ n ) .
a. Montrer que pour toute matrice Ω de On ( ! ) , D − Ω
2
n
= ∑ λ2i − 2 Tr (D Ω) + n .
i =1
n
b. Montrer que pour toute matrice Ω de On ( ! ) , Tr (D Ω) ≤ ∑ λi .
c. Conclure que d ( D, On ( ! ) ) = D − I n .
i =1
15. Montrer que d ( A, On ( ! ) ) = A − U .
16. Calculer d (Γ, O3 ( ! ) ) où Γ est la matrice exemple de la partie I.
IV.
Calcul de la distance de A à ∆ p
17. Un résultat de densité.
a. Soit M un élément de Mn ( ! ) , montrer qu’il existe un réel α > 0 tel que pour tout réel λ
vérifiant 0 < λ < α , la matrice M − λ I n est inversible.
b. En déduire que GLn( ! ) est dense dans Mn ( ! ) .
18. Soit A un élément de Mn ( ! ) , déterminer, pour tout entier naturel p ≤ n , d ( A, ∆ p ).
V.
Calcul de la distance de A à ∇ p
A. Théorème de Courant et Fischer
Soit A une matrice de S n ( ! ) . On notera λ 1 ≥ λ 2 ≥ ... ≥ λ n ses valeurs propres, on notera
D = diag (λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) , P la matrice de On ( ! ) vérifiant A = P D tP et C1 , C 2 , ..., C n les
matrices de Mn ,1 ( ! ) formant les colonnes de la matrice P.
5
Si k est un entier entre 1 et n, on note Ψk l’ensemble des sous-espaces vectoriels de Mn ,1 ( ! ) de
dimension k. Nous allons montrer que :
t
X AX
λ k = max min t
(théorème de Courant et Fischer).
F ∈Ψk X ∈F −{0}
X X
19. Soit X un vecteur de Mn,1 ( ! ) de coordonnées ( x1 , x 2 , ..., x n ) dans la base orthonormée
(C1 , C 2 , ..., C n ) de Mn ,1 ( ! ) . Calculer en fonction des xi et λ i (i compris entre 1 et n) :
t
t
X A X et t X X et pour k entier entre 1 et n,
Ck A Ck
.
t
Ck Ck
20. Soit k entier entre 1 et n, on pose Fk = vect{ C1 , C 2 , ..., C k }.
t
Montrer que pour tout X non nul de Fk ,
t
X AX
XAX
≥
λ
et
déterminer
min
.
k
t
t
∈
−
{
}
X
F
0
k
X X
X X
21. Soit F ∈ Ψk ,
a. montrer que dim ( F ∩ vect{ C k , C k +1 , ..., C n }) ≥ 1 .
b. Si X est un vecteur non nul de F ∩ vect{ C k , C k +1 , ..., C n }, montrer que
t
X AX
≤ λk .
t
X X
22. Conclure.
B. Calcul de d ( A, ∇ p )
Dans toute cette partie : A est une matrice de Mn ( ! ) de rang r et p est un entier naturel, p < r .
23. Montrer qu’il existe deux matrices E et P de On ( ! ) et une matrice diagonale D à termes
positifs telles que A = E D P . En déduire que le rang de la matrice t A A est encore r.
(On pourra utiliser les résultats de la question 9.)
24. Si on note les valeurs propres de la matrice symétrique réelle t A A de rang r :
µ1 ≥ µ 2 ≥ ... ≥ µ r > 0 et µ r +1 = ... = µ n = 0 , si on pose D = diag ( µ1 , µ 2 , ..., µ r , 0, ..., 0) ,
si pour 1 ≤ l ≤ n on note M l la matrice de Mn ( ! ) dont la l-ième colonne est celle de la
matrice E ∈ On ( ! ) de la question 23., tous les autres termes de M l étant nuls, on a
n
clairement : E D = ∑ µl M l .
l =1
Montrer alors qu’il existe une famille orthonormale ( R1 , R2 , ...., Rn ) de matrices de Mn ( ! )
(pour le produit scalaire (A B) = Tr (tA B) de Mn ( ! ) ), toutes de rang un, et telles que
n
r
l =1
l =1
A = ∑ µl Rl = ∑ µl Rl .
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6
p
25. Avec les notations de la question 24, on pose N = ∑ µl Rl .
l =1
Montrer que rang ( N ) ≤ p puis que d ( A, ∇ p ) ≤ µ p +1 + ... + µ r .
26. Soit M une matrice de rang p ( p < r ) , on note α1 ≥ α 2 ≥ ... ≥ α n ≥ 0 les valeurs propres de la
matrice t (A − M) (A − M) et on pose G = Ker M ∩ Im(tA A) .
Soit k un entier compris entre 1 et r − p .
a. Montrer que dim G ≥ r − p .
b. Soit F un sous-espace vectoriel de G de dimension k, montrer que :
t
X tA A X
α k ≥ min
.
t
X ∈F −{0}
X X
c. On note (V1, V2, ..., Vn ) une base de ! n formée de vecteurs propres de la matrice t A A , le
vecteur Vi étant associé à la valeur propre µi de telle sorte que : µ1 ≥ µ 2 ≥ ... ≥ µ r > 0 et
µ r +1 = ... = µ n = 0 .
Montrer que dim (G ∩ vect{ V1 , V2 , ..., Vk + p } ) ≥ k .
d. En déduire que α k ≥ µ k + p .
27. En déduire d ( A, ∇ p ).
28. Calculer, pour p ∈ {0, 1, 2, 3}, γ p = d (Γ, ∇ p ) où Γ est la matrice exemple de la partie I.
Fin de l’énoncé.