Espaces vectoriels

R
K C K =R C Q
(E, +,·)K
Définition 1 : Rappel.
Une famille F= (vi)i∈Iest la donn´ee, pour tout ´el´ement ide l’ensemble d’indices I, d’un vecteur vi∈E,
i. e. une application F:I→E.
I=NI(vi)i∈Nv0, v1, v2, . . . , vn, . . . 
I={1,2, . . . , n}(vi){1,2,...,n}v1, v2, . . . , vn
{1,2, . . . , n}n∈N
(vi)i∈II
K=RE=R3
C= (e1, e2, e3)
F=1
2
3,4
5
6,...,3k+ 1
3k+ 2
3k+ 3 , . . . =3n+ 1
3n+ 2
3n+ 3 n∈N
G=1
t
2t∈R
K=RE=RN

K=RE=C∞(R,R)
Définition 2 : Sous-famille.
Soit Fune famille. On appelle de F= (vi)i∈Iune famille obtenue en retirant certains vecteurs
`a F, c’est-`a-dire une famille de la forme (vi)i∈Javec J⊂I.
Définition 3 : Rappel.
On appelle des vecteurs d’une famille F= (vi)i∈Itoute expression de la forme sui-
vante : α1vi1+α2vi2+· · · +αrviro`u les αksont des scalaires et les ikdes ´el´ements de I.
(vi)i∈Iαkvik
α1vi1+α2vi2+. . . +αrvir+ 0vir+1 α1vi1+α2vi2+. . . +αrvir
(v1, . . . , vn)λ1v1 +λ2v2 +· · ·+λnvn

P⊂E(v)v∈PE
Définition 4 : Rappel.
´
Etant donn´ee une famille Fde vecteurs de E, on appelle des vecteurs de Fla CL obtenue en
prenant tous les αknuls. La CL triviale est nulle, au sens o`u elle s’´evalue en 0E, le vecteur nul de E.
Définition 5 : Liberté.
Une famille est dite lorsque sa seule CL nulle est la CL triviale. Dans le cas contraire, elle est dite .

fλ=t7→ eλt fλλ∈RE=C∞(R,R)
E
fλλ∈RRR

F
F
Définition 6 .
On dit que deux vecteurs uet vde Esont , et on note u//v, lorsqu’on a :
∃k∈K, u =kv ou ∃k∈K, v =ku.
∅
u∈E(u)u6= 0E
(u, v)∈E2(u, v)u v
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