Espaces vectoriels

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Espaces vectoriels
On connaît moults R-espaces vectoriels :
L'objectif : identier une banque de théorèmes qui s'appliquent (entre autres) à tous les exemples précédents.
Dans toute la suite on xe un sous-corps K de C (mais en vrai on ne regardera que K = R ou C très éventuellement Q).
Dans toute la suite, (E, +, ·) désignera un K-espace vectoriel. On rappelle que cela signie :
i/
ii/
iii/
I
Familles et combinaisons linéaires
I.1
Familles et sous-familles
Définition 1 : Rappel.
Une famille F = (vi )i∈I est la donnée, pour tout élément i de l’ensemble d’indices I, d’un vecteur vi ∈ E,
i. e. une application F : I → E.
Une famille peut être nie ou innie.
Dans le cas I = N, une famille indexée par I est une suite. On peut noter indiéremment (vi )i∈N ou v0 , v1 , v2 , . . . , vn , . . . .
Dans le cas I = {1, 2, . . . , n}, on peut noter indiéremment (vi ){1,2,...,n} ou v1 , v2 , . . . , vn .
Sauf mention explicite du contraire, on indexera toutes nos familles nies par {1, 2, . . . , n} pour un certain n ∈ N.
Par abus, on appellera cardinal de la famille (vi )i∈I le cardinal de I .
Exemples 1 :
K = R, E = R3 .
1. On peut considérer la famille nie C = (e1 , e2 , e3 ).
2. On peut considérer la famille innie F =
3. On peut considérer la famille innie G =
Exemples 2 :
1
2
3
1
t
2
,
4
5
6
.
t∈R
K = R, E = RN .
1
,...,
3k + 1
3k + 2
3k + 3
,...
=
3n + 1
3n + 2
3n + 3
.
n∈N
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Exemples 3 :
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K = R, E = C ∞ (R, R).
Définition 2 : Sous-famille.
Soit F une famille. On appelle sous-famille de F = (vi )i∈I une famille obtenue en retirant certains vecteurs
à F , c’est-à-dire une famille de la forme (vi )i∈J avec J ⊂ I.
Exemples 4
I.2
Combinaisons linéaires
Définition 3 : Rappel.
On appelle combinaison linéaire des vecteurs d’une famille F = (vi )i∈I toute expression de la forme suivante : α1 vi1 + α2 vi2 + · · · + αr vir où les αk sont des scalaires et les ik des éléments de I.
Le prof n'écrit jamais combinaison linéaire , il écrit toujours CL. Il paraît que c'est une notation personnelle.
Une CL des vecteurs de (vi )i∈I est une somme nie de vecteurs de la forme αk vik !
Suivant le contexte, l'expression CL pourra désigner ou bien l'expression formelle, ou bien le résultat de l'opération
désignée par cette expression. Mais, quand bien même on se réfèrerait à l'expression formelle, on fait systématiquement
les deux identications suivantes :
1. on identie les CL qui ne se distinguent que par l'ordre des vecteurs, ;
2. on identie une CL de la forme α1 vi1 + α2 vi2 + . . . + αr vir + 0vir+1 avec α1 vi1 + α2 vi2 + . . . + αr vir .
Remarque 1
Conséquence des deux identications précédentes : une CL de (v1 , . . . , vn ) est toujours de la forme λ1 v1+λ2 v2+· · ·+λn vn .
Exemple 5
2
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Exemple 6
Remarque 2
À toute partie P ⊂ E , on peut associer la famille (v)v∈P . On peut donc parler de CL des vecteurs d'une partie de E .
I.3
Liberté
Définition 4 : Rappel.
Étant donnée une famille F de vecteurs de E, on appelle CL triviale des vecteurs de F la CL obtenue en
prenant tous les αk nuls. La CL triviale est nulle, au sens où elle s’évalue en 0E , le vecteur nul de E.
Définition 5 : Liberté.
Une famille est dite libre lorsque sa seule CL nulle est la CL triviale. Dans le cas contraire, elle est dite
Exemples 7
Les familles des exemples 1, 2, 3 sont-elles libres ?
3
liée.
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Exemples 8
Notons
fλ = t 7→ eλt .
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La famille
fλ
λ∈R
de vecteurs de
E = C ∞ (R, R)
Remarque 3
La liberté est une notion intrinsèque, elle ne dépend pas de E .
Par exemple, la famille fλ λ∈R est aussi libre vue comme famille de vecteurs de RR .
4
est libre !
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Remarque 4
Par dénition, une sous-famille d'une famille libre est libre. En contraposant, on obtient que si F a une sous-famille
liée, alors F est liée. Par contre, une sous-famille d'une famille liée peut très bien être libre.
Exemple 9
Définition 6 .
On dit que deux vecteurs u et v de E sont
∃k ∈ K, u = kv ou ∃k ∈ K, v = ku.
colinéaires, et on note u//v, lorsqu’on a :
Remarque 5
0. La famille ∅ est libre.
1. Pour u ∈ E , la famille (u) est libre si et seulement si on a u 6= 0E .
2. Pour (u, v) ∈ E 2 , la famille (u, v) est libre si et seulement si u et v sont non colinéaires.
Démonstration
.
Une famille de 3 vecteurs 2 à 2 non colinéaires peut très bien être liée !
Exemple :
5
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I.4
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Caractère générateur
Définition 7 .
Une famille F de vecteurs de E est dite
des vecteurs de F.
Exemples 10
génératrice de E lorsque tout vecteur de E peut s’écrire comme CL
Les familles des exemples 1, 2, 3 sont-elles génératrices de
6
E?
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Exemples 11
La famille
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fλ
λ∈R
est-elle génératrice de
E = C ∞ (R, R) ?
7
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I.5
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Bases
Définition 8 .
On dit d’une famille B de vecteurs de E que c’est une
façon unique comme CL des vecteurs de B.
base de
E lorsque tout vecteur de E peut s’écrire de
Proposition 9 : Reformulation de la définition.
Une famille B de vecteurs de E est une base si et seulement si elle est libre et génératrice de E.
Démonstration
.
Définition 10 : (informelle).
Lorsqu’un espace vectoriel E est livré en kit avec une base, c’est-à-dire lorsque les vecteurs de cet espace
sont, par définition, des CL uniques des vecteurs d’une famille C, cette famille est une base de E est appelée
base canonique de E.
Exemples 12
1. L'espace vectoriel Kn a pour base canonique (e1 , e2 , . . . , en ) où ei est le 
n-upletdont toutes les coordonnées sont
x1
 .. 
nulles, sauf la i-ième qui vaut 1. En eet, les coecients du n-uplet  .  sont x1 , . . ., xn , et on a bien
xn


x1
 .. 
 .  = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en .
xn
2. L'espace vectoriel K[X] a pour base canonique
3. Pour la même raison, l'espace vectoriel Kn [X] a pour base canonique
8
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4. L'espace Mp,q (K) a pour base canonique
5. Autres exemples, contre-exemple ?
II
Opérations sur les
II.1
Produits de
K-ev
K-espaces
et sur les sev
vectoriels
Proposition-Définition 11 : Produit de K-ev.
Soient n ∈ N et E1 , E2 , . . ., En des K-espaces vectoriels. L’ensemble E1 × E2 × · · · × En est naturellement
muni d’une structure d’espace vectoriel donnée par les opérations composante par composante :
• 0E1 ×···×En = (0E1 , . . . , 0En ) ;
• ∀(u1 , . . . , un ), (v1 , . . . , vn ) ∈ E1 × E2 × · · · × En , (u1 , . . . , un ) + (v1 , . . . , vn ) = (u1 + v1 , . . . , un + vn ) ;
• ∀λ ∈ K, ∀(u1 , . . . , un ) ∈ E1 × E2 × · · · × En , λ · (u1 , . . . , un ) = (λu1 , . . . , λun ).
Démonstration
.
Immédiat.
Exemple 13
9
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II.2
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Sous-espaces vectoriels
Définition 12 : Rappel.
On appelle sous-espace vectoriel de (E, +, ·) (en abrégé sev , c’est pas de moi) un ensemble F inclus
dans E stable pour la structure d’espace vectoriel de E, c’est-à-dire tel que :
• 0E ∈ F ,
• ∀(x, y) ∈ F 2 , x + y ∈ F ,
• ∀x ∈ F, ∀λ ∈ K, λx ∈ F .
On a immédiatement les deux caractérisations équivalentes suivantes, qui traduisent simplement que les opérations
structurelles des espaces vectorielles se synthéthisent en une seule, l'opération CL .
Proposition 13 : Sous-espace vectoriel.
Un sous-ensemble F de E est un sous-espace vectoriel de (E, +, ·) si et seulement s’il est stable par combinaisons linéaires quelconques, c’est-à-dire si et seulement si on a :
∀r ∈ N, ∀(α1 , . . . , αr ) ∈ Kr , ∀(u1 , . . . , ur ) ∈ F r , α1 u1 + α2 u2 + · · · + αr ur ∈ F.
Démonstration
.
Le sens réciproque est immédiat, le sens direct se traite par récurrence sur la longueur de la CL.
Proposition 14 : Sous-espace vectoriel.
Un sous-ensemble F de E est un sous-espace vectoriel de (E, +, ·) si et seulement s’il est non vide et stable
par combinaisons linéaires de deux vecteurs, c’est-à-dire F 6= ∅ et ∀(λ, µ) ∈ K2 , ∀(x, y) ∈ F 2 , λx + µy ∈ F .
Démonstration
.
Facile. Exo.
Exemples 14
1. Pour tout entier n ∈ N, l'ensemble Dn (R, R) est un sev de RR . En eet
Théorème 15 : Rappel.
Si F est un sev de E, alors les lois de E induisent des lois sur F , et F , muni des lois induites, forme un K-ev.
10
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II.3
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Intersection de sous-espaces vectoriels
Proposition 16 .
Soit (Fi )i∈I une famille de sev de E. Alors
T
Fi est un sev de E.
i∈I
Démonstration
.
Exemple 15 C ∞ (R, R) est un sous-espace vectoriel de RR . En eet
II.4
Espaces vectoriels engendrés
Lemme 17 .
Une CL de CL est une CL.
Autrement dit, si F = (ui )i∈I est une famille de vecteurs de E, si G = (vj )j∈J est une famille de vecteurs
obtenus comme CL des des vecteurs de F, alors une CL des vecteurs de G est aussi une CL des vecteurs de F.
On notera que dans cette formulation, l'expression CL est employée dans ses deux sens possibles.
Démonstration
.
11
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Définition 18 : Sous-espace vectoriel engendré.
Soit F une famille de vecteurs de E. On appelle sous-espace
l’ensemble des CL des vecteurs de F.
vectoriel engendré par
F et on note Vect (F)
Exemples 16
Remarque 6
On peut bien sûr aussi bien parler de sous-espace vectoriel Vect (P ) engendré par une partie P ⊂ E .
12
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Théorème 19 : Sous-espace vectoriel engendré.
Vect (F) est toujours un sev de E. Bon, ça s’appelle
sous-espace vectoriel engendré donc c’est heureux.
Démonstration
.
Proposition 20 : Sous-espace vectoriel engendré.
On peut être plus précis : Vect (F) le plus petit sous-espace vectoriel (pour l’inclusion) contenant F.
C’est aussi l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels contenant F.
La dénition qu'on s'est donnée est une dénition par le bas des sous-espaces engendrés. La proposition précédente
donne une dénition alternative par le haut .
Démonstration
.
• Montrons que Vect (F) est le plus petit sous-espace vectoriel contenant F . Comme on a déjà vu que Vect (F) est
un sous-espace vectoriel et qu'il est évident qu'il contient F , il ne reste qu'à montrer que Vect (F) est inclus dans
tout sous-espace vectoriel contenant F . Tout sous-espace vectoriel contenant F étant stable par CL quelconque, un tel
sous-espace vectoriel contient toute CL des vecteurs de F . Autrement dit, un tel sous-espace vectoriel contient Vect (F),
c'est-à-dire que Vect (F) est bien inclus dans tout sous-espace vectoriel contenant F .
• Montrons maintenant que Vect (F) est l'intersection des sous-espaces vectoriels contenant F . On a déjà vu que
Vect (F) est inclus dans tout sous-espace vectoriel contenant F , il est donc inclus dans l'intersection de tous ces sous-
espaces vectoriels. Comme Vect (F) est lui-même un sous-espace vectoriel de E contenant F , l'intersection de tous les
sous-espaces vectoriels contenant F est incluse dans Vect (F). Finalement, par double inclusion, Vect (F) est égal
à l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant F .
Proposition 21 : Propriétés fondamentales de Vect.
1. Vect est extensive, c’est-à-dire :
2. Vect est croissante pour l’inclusion, c’est-à-dire :
3. Vect est idempotente, c’est-à-dire :
Si ça te fait penser à quelque chose, tu peux réclamer ton plus pendant la séance.
Démonstration
.
13
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Remarque 7
Soit F un sous-espace vectoriel de E et F une famille de vecteurs de E .
On a F = Vect (F) si et seulement si
Remarque 8
Pour P ⊂ E , P = Vect (P ) ⇔
1. On appelle droite
Définition 22 .
(vectorielle) un sev de E de la forme Vect (u) avec u 6= 0E . Autrement
dit, une droite a une base formée d’un seul vecteur.
2. On appelle plan (vectoriel) un sev de E de la forme Vect (u, v) avec u 6 //v. Autrement dit, un plane
a une base formée de deux vecteurs.
Exemples 17
II.5
Sommes de sous-espaces vectoriels
Proposition-Définition 23 .
Pour n un entier naturel et F1 , F2 , . . ., Fn des sous-espaces vectoriels de E, on appelle
F1 , F2 , . . ., Fn l’ensemble F1 +F2 +· · ·+Fn = {u1 +u2 +· · ·+un , u1 ∈ F1 , u2 ∈ F2 , . . . , un ∈ Fn }.
somme de
C’est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration
.
Pour n = 2 pour faire simple (mais la preuve est la même).
14
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Remarque 9
La somme des sevs est :
1. Idempotente : pour tout sev F de E , on a F + F = F ;
2. Commutative : pour tous sevs F et G de E , on a F + G = G + F ;
3. Associative : pour tous sevs F , G et H de E , on a (F + G) + H = F + (G + H) = F + G + H ;
4. Admet pour élément neutre le sous-espace nul : pour tout sev F de E , on a F + {0E } = F .
Exemples 18
15
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Exercice 1. Montrons qu'on a, pour tous sevs F1 et F2 de E , F1 + F2 = Vect (F1 ∪ F2 ).
II.6
Sommes directes
Définition 24 .
Une somme F = F1 + F2 + · · · + Fn est dite directe lorsque tout vecteur u de F s’écrit
sous la forme u = u1 + u2 + · · · + un où l’on a ∀i ∈ {1, . . . , n}, ui ∈ Fi .
On note alors F = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fn .
de façon unique
Ainsi, lorsqu'on écrit une expression de la forme F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fn , on décrit un objet (la somme des sous-espaces
vectoriels Fi ), et, simultanément, on donne une information sur cet objet (le fait que cette somme est directe). On a
rencontré une situation totalement analogue avec l'exemple des réunions disjointes, entre autres.
Exemples 19
Reprenons les exemples de sommes vu précédemments.
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Un autre exemple : Exemple 20
Exercice 2.
Donner une CNS pour qu'une somme de droites Vect (v1 ) + Vect (v2 ) + · · · + Vect (vn ) (vi 6= 0E ) soit directe.
17
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II.7
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Supplémentaires
Définition 25 .
Deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont dit
supplémentaires lorsqu’on a F ⊕ G = E.
Confonds supplémentaires et complémentaires et je te mort-subite.
Exemple 21 E = K2 , cherchons un supplémentaire de F
= Vect (e1 ).
En général, un supplémentaire n'est pas unique !
La méthode naturelle pour montrer que deux sous-espaces vectoriels F et G d'un espace vectoriel E sont supplémentaires
consiste à procéder par analyse-synthèse. Il s'agit en eet de montrer que tout vecteur x ∈ E peut se décomposer de
façon unique comme somme d'un vecteur y ∈ F et d'un vecteur z ∈ G. Dans la partie analyse, on montre qu'on a un
unique candidat pour le couple (y, z). Dans la partie synthèse, on vérie que ce couple convient bien.
Exemples 22
18
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On peut aussi faire ça :
Proposition 26 : Caractérisation de supplémentarité.
Deux sevs F et G de E sont supplémentaires si et seulement si
F +G=E
.
F ∩ G = {0E }
Exemple 23
Définition 27 .
On appelle
hyperplan de
E un sev de E dont un supplémentaire est une droite.
Exemples 24
19
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II.8
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Bases adaptées
Définition 28 .
Étant données deux familles F = (ui )i∈I et G = (vj )j∈J , on notera (notation maison) F t G la famille
obtenue en concaténant F et G,
qu’on peut, par exemple, formellement définir par F t G = (wk )k∈K où
ui si k est de la forme (i, 0)
K = I × {0} ∪ J × {1} et wk =
vj si k est de la forme (j, 1).
On dénit de même la concaténation F1 t · · · t Fn de n familles.
Proposition-Définition 29 : Base adaptée.
Si on a E = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fn , où, pour tout i, Bi est une base de Fi , alors B = B1 t · · · t Bn est une base de E.
Une telle base est appelée base adaptée à la somme directe.
Réciproquement si F = F1 t · · · t Fn est libre, alors on a Vect (F) = Vect (F1 ) ⊕ · · · ⊕ Vect (Fn ) et F est une
base adaptée à cette somme directe.
Démonstration
.
Je fais pour n = 2.
• Supposons avoir E = F1 ⊕ F2 , avec B1 une base de F1 et B2 une base de F2 . Montrons que B = B1 t B2 est bien
une base de E en montrant qu'elle est libre et génératrice.
D'après le résultat de l'exercice 1 plus haut, on a Vect (B) = Vect (B1 ∪ B2 ) = Vect (B1 ) + Vect (B2 ) c'est-àdire Vect (B) = F1 + F2 = E . D'où le caratère générateur de B.
Considérons une CL nulle des vecteurs de B = B1 t B2 : une telle CL s'écrit sous la forme λ1 u1 + · · · + λp up +
µ1 v1 + · · · + µq vq = 0E , où les ui sont des vecteurs de B1 et les vj des vecteurs de B2 . Posons u = λ1 u1 + · · · + λp up
et v = µ1 v1 + · · · + µq vq . On a ainsi u + v = 0E , et comme B1 est une base de F1 on a u ∈ F1 , et comme B2 est une
base de F2 on a v ∈ F2 . La somme F1 ⊕ F2 étant directe, on a donc u = v = 0E , c'est-à-dire λ1 u1 + · · · + λp up =
µ1 v1 + · · · + µq vq = 0E . Par liberté de B1 et de B2 , on a donc bien λ1 = · · · = λp = µ1 = · · · = µq = 0.
D'où la liberté de B.
• Supposons avoir F = F1 t F2 libre. Les familles F1 et F2 sont libres comme sous-familles de F . Pour i ∈ {1, 2},
on a par dénition Fi génératrice de Vect (Fi ), et par liberté elle en forme bien une base.
Alors on a Vect (F) = Vect (F1 ) ⊕ Vect (F2 ) et F est une base adaptée à cette somme directe.
Exemple 25
La proposition précédente donne un procédé explicite de construction de sous-espaces supplémentaires : on considère
une base de E , on la scinde en deux, et on obtient les bases de deux sous-espaces supplémentaires de E .
20