N - Université de Bretagne-Sud

 DE BRETAGNE-SUD
UNIVERSITE
LICENCE 3eme annee
MTH 1607
NORMES, APPLICATIONS LINEAIRES
Exercice 1. Soit E = R[X ] l'espace vectoriel des polyn^omes a coecients reels. On munit E de
la norme kP k = max 2[0 1] jP (x)j. Est-ce bien une norme ?
Soit u : E ! R l'application
denie par u(P ) = P (3). Montrer que u est lineaire. En considerant
la suite P (X ) = 2
montrer que u n'est pas continue.
x
X
n
;
n
Exercice 2. Soit D : C 1 ([0; 1]) ! C ([0; 1]) l'application qui a f associe sa derivee f 0 . On munit
C ([0; 1]) de la norme k k1 .
1. Montrer que D est lineaire et qu'elle n'est pas continue sur C 1 ([0; 1]) muni de la norme kk1 .
2. Pour f 2 C 1 ([0; 1]), on pose N (f ) = kf k1 + kf 0 k1 : Montrer que D est continue sur C 1 ([0; 1])
muni de cette norme.
Exercice 3. Soient (E; p), (F; q ) et (G; N ) des espaces vectoriels normes et ' : E F ! G
une application bilineaire. On munit E F de la topologie produit. Montrer que les proprietes
suivantes sont equivalentes :
1. ' est continue ;
2. ' est continue en (0; 0) ;
3. il existe k 0 tel que pour tout (x; y ) 2 E F ,
N ('(x; y)) kp(x)q(y):
Exercice 4.
1. Rappeler la demonstration du theoreme suivant :
Theoreme 1 Soit (X; d) un espace metrique, D une partie dense de X et f une application uniformement continue de D dans un espace metrique complet (X 0 ; d0 ). Alors il existe
une unique application continue f~ : X ! X 0 dont la restriction a D soit f . Le graphe
de f~ est l'adherence du graphe de f . L'application f~ est uniformement continue. Si f est
lipschitzienne de rapport k ou isometrique, il en va de m^eme pour f~.
2. En deduire la version "espaces vectoriels normes" suivante :
Theoreme 2 Soit E un espace vectoriel norme, F un espace de Banach, E1 un sous-espace
vectoriel de E dense dans E , f : E1 ! F une application lineaire continue. Alors il existe
une unique application lineaire continue f~ : E ! F qui prolonge f , et kf~k = kf k. De plus
si f est isometrique alors f~ aussi.
Exercice 5. Soient (E; p), (F; q ) des espaces vectoriels normes et (G; N ) un espace de Banach.
Soit E1 un sous-espace vectoriel de E dense dans E , F1 un sous-espace vectoriel de F dense dans F
et ' : E1 F1 ! G une application bilineaire continue. Montrer qu'il existe une unique application
bilineaire continue : E F ! G qui prolonge '.
Exercice 6. Soit C0 (R) l'ensemble des fonctions continues de R dans R qui tendent vers 0 a
l'inni : jf (x)j !j j!+1 0. Soit C (R) l'ensemble des fonctions continues de R dans R a support
compact. On rappelle que le support d'une fonction est l'adherence de l'ensemble des points ou
x
c
1
f ne s'annule pas : c'est le plus petit ferme F tel que f est nulle hors de F . Pour f 2 C0 (R) on
pose kf k1 = sup 2R jf (x)j. Montrer que C0 (R) muni de cette norme est un espace de Banach.
Montrer que C (R) est dense dans C0 (R).
x
c
Exercice 7.
1. Soit a, b 2 [1; +1[, avec a > b, soit f 2 C ([0; 1]).
(a) Montrer que pour tout n 2 N, on a :
k
f
n =1
n
1 X n
1
b ! b
k
n f nk
=1
1 X n
1
a ! a
k
(b) En deduire que l'on a kf k kf k .
2. Montrer que pour tout f 2 C ([0; 1]) et tout p 2 [1; +1], on a kf k kf k1 . Montrer que
pour tout f 2 C ([0; 1]), kf k ! !+1 kf k1 . (Considerer un intervalle ouvert non vide sur
lequel f est minoree par kf k1 ").
a
b
p
p
p
2