6 Complexes cellulaires CE

128 Complexes cellulaires
6 Complexes cellulaires
6.0 Quelques rappels
Proposition 6.0.1 : topologie finale
Soient E un espace topologique, X un ensemble e( f une appli-
cation de E vers X. Notons TE la topologie de E. a
• La famille U f;E :=
{
U ⊂ f (E) | f-1(U) ∈ TE
}
est une topolo-
gie sur f (E). aDe plus f : E f f (E), U f;E est continue.
•U f;E est la plus fine des topologies de f (E) qui rendent f con-
tinue. a
• Pour tout espace topologique F et toute application ua de f (E)
a vers F, u : f
(E), U f;E f F est continue si et seulement
si u f est continue. a
Définition
La topologie U f;E est appelée topologie finale de f,
L’espace topologique f (E), U f;E sera noté Im f.
Définition
Soient X un ensemble, E =
{
Ea ; a ∈ A
}
une famille d’espaces topo-
logiques et F =
{
fa : Ea f X
}
une famille d’applications.
On définit la topologie finale de la famille F commeala topologie fi-
nale de l’application f :
aA∈
CEa f X dont la restriction à chaque Ea
est fa. Autrement dit, la topologie finale de la famille F =
{
fa ; a ∈ A
}
est la fa-mille des parties U deaX contenues dans la réunion des ima-
ges des fa et dont l’image réciproque par chacune des fa est un ou-
vert de Ea.
Bruno BIGONNET

Topologie algébrique 129
Définition : topologie faible associée à une famille de sous-espaces.
Soient (E,T ) un espace topologique et A une famille de parties de E
dont les membres recouvrent E.a On définit la topologie faible associée
à A comme la topologie finale de la famille des inclusions des mem-
bres de A. Autrement dit : une partie U de E est un ouvert de la to-
pologie faible associée à A si et seulement si pour tout membre A de
A, U ∩ A est ouvert dans A.
On notera cette topologie TA .
Il est facile de vérifier que TA est plus fine que T.
Définition : Topologie engendrée par les compacts
Soient (E,T ) un espace topologique et K la famille des parties com-
pactes de E, Lorsque K recouvre E, comme par exemple lorsque E
est séparé, on appelle TK,
a la topologie engendrée par les compacts.
Rappels
(E,T ) et (E,TK ) ont les mêmes compacts. a TK K = TK .
T et TK induisent la même topologie sur chacun de ces compacts.
Si (E,T ) est localement compact alors T et TK sont égales.
Une partie F de E est fermée dans TK si et seulement si cha-
cune de ses traces sur les membres deaK est un membre de K.
Les démonstrations relèvent de la topologie générale et ne présentent
aucune difficulté. On les laisse donc au soin du lecteur.
Rappel : Carrés cocartésiens
Le carré commutatif ci-contre d’une catégorie C est
cocartésienxsi et seulement si pour tout couple (f, g)
de flèches de C telles que : fb = gc, il existe une uni-
que flèche u de C telle que : g = us et f = ur. 
f
B
fDC
A
b
c
s
r

130 Complexes cellulaires
Autrement dit, avec nos conventions, on a le
diagramme commutatif ci-contre.
Remarques
! En général, étant donné un couple (b, c)
de flèches de même source d’une catégorie
C, ail n’existe pas de couple (r, s) qui
X
f
g u
f
B
f
D
C
A
b
c
s
r
permette de compléter (b, c) en un carrré cocartésien. c
! Donnons-nous un couple c(b, c) de flèches de même source d’une
catégorie C, Alors, si le couple (r, s) complète (b, c) en un carré
cocartésien, il en sera de même de tous les couples de la formeC
c(fr, fs) où f est une flèche inversible de C.
! Réciproquement, si deux couples distincts (r, s) et (r’, s’) com-
plètent (b, c) en un carré cocartésien, alors il est facile de vérifier
qu’il existe une flèche inversible f de C d
telle que : (r, s) = (fr’, fs’)
Dans la catégorie Ens des ensembles, comme dans la catégorie Top des
espaces topologiques on peut toujours compléter un couple de flèchesC
de même source en un carré cocartésien.C
Proposition 6.0.2
Soit un couple (b, c) d‘applications de même source.
Il existe alors un couple (r, s) d‘applications qui
complète (b, c) en un carré cocartésien dans Ens . a
Soient donc b : A f B et c : A f C deux applications de même
source. Considérons la relation d’équivalence engendrée sur B u C par
la relation ® : x ® y ‹fi ∃∃
∃∃ a
∈ A :
xba
yca
=
=
{
()
()
Soit B u
, bc
C le quotient de cette équivalence et soient les deux appli-
cations iB : B f B
u
, bc
C et iC : C f B u
, bc
C qui sont res-
pectivement obtenues en composant la surjection canonique associée à
l’équivalence ci-dessus et les deux injections canoniques associées à
B u C. Il est facile de vérifier que le carré (b, c, iB, iC) est commutatif.

Topologie algébrique 131
Il reste à montrer qu‘il est cocartésien.
Soient donc deux applications f et g telles que
fb = gc, L‘application f u g : B u C f X
est alors compatible avec l’équivalence ci-dessus.
Elle se factorise alors par une unique application
u : B u
, bc
C f X. Le diagramme ci-contre
est donc commutatif.
B u
, bc
C
X
f
g u
f
B
fC
A
c
s
r
f
b
Définition
L’ensemble B
u
, bc
C est appelé somme amalgamée de b et c. a
Proposition 6.0.3
Soient b : A f B et c : A f C deux applications conti-
nues de même source. Si on note respectivement B et C les
ensembles sous-jacents à B et C , il existe sur B u
, bc
Ca une
topologie, notée B u
, bc
C, telle que le carré (b, c, iB, iC ) de la fi-
gure ci-dessus, qui est cocartésien dans Ens; soit cocartésien
dans Top. a
Il suffit de définir B
u
, bc
Ca comme la topologie quotient de la relation
d’équivalence dont B u
, bc
Ca est le quotient.
Proposition 6.0.4
Considérous une catégorie C et le diagramme commutatif de flè-
ches de C ci-contre.
1) Si les deux carrés qui le composent
sont tous deux cocartésiens, alors le
carré composé sera cocartésien.
f
C
f
D
B
A
c
b
s
r
f
E
f
F
e
t
u
2) Si le carré composé est cocartésien, et si la flèche s est un
épimorphisme alors le carré de droite sera cocartésien

132 Complexes cellulaires
1) La démonstration s’ef-
fectue en construisant la fi-
gure ci-contre en trois éta-
pes successives :
a) On se donne les deux
carrés ainsi que les deux
flèches f et g. (flèches en
trait plein)
t
s
x
A
C
B
D
c
Q
br
E
F
e
u
X
f
g
h
b) Le fait que le carré de gauche soit cocartésien entraine, à partir des
flèches fe et g, l’existence et l’unicité de la flèche h (en grands poin-
tillés) telle que le diagramme obtenu soit commutatif.
c) Le fait que le carré de droite soit cocartésien entraine, à partir des
flèches f et h, l’existence et l’unicité de la flèche x (en petits poin-
tillés) telle que le diagramme obtenu soit commutatif.
2) Le fait que le carré com-
posé soit cocartésien en-
traine, à partir des flèches
f et gs , l’existence et
l’unicité de la flèche x (en
petits pointillés) telle que :
x t s = g s et x y = f.
s étant un épimorphisme,
t
s
x
A
C
B
D
c
Q
b
r
E
F
e
u
X
f
g
cela donne : x t = g.
On va s’intéresser à des cas très particuliers de carrés cocartésiens que
nous rencontrerons un peu plus loin.
Proposition 6.0.5
Soit le carré ci-contre où les flèches hori-
zontales désignent les inclusions usuelles
et les flèches verticales des surjections.
Il est cocartésien si et seulement si v est
bijective.
E
i E u F
R
i R u S
u
u u v
Supposons le carré cocartésien. Puisque u u v est surjectif, v l’est