TD Trigonométrie - CPGE Dupuy de Lôme

TD3 Trigonom´etrie .
Exercice 1 : Calculer la valeur exacte de chacun des nombres r´eels suivants :
1. cos(−7π
6) ; cos(−8π 6) ; cos(−25π 6) ; cos(127π 4) .
2. sin(−111π
3) ; sin(277π 4) ; sin(−31π 6) ; sin(−5π 3) .
Exercice 2 : On donne cos(π
5) = √5+1 4.
1. D´eterminer le signe sin(π
5) et calculer la valeur exacte de sin(π 5).
2. En d´eduire les valeurs exactes du cosinus et du sinus de : 4π
5.
3. ♥Exprimer cos(2θ) en fonction de cos(θ) puis en d´eduire cos2(θ
2) en
fonction de cos(θ).
4. D´eterminer cos( π
10 ) et cos(3π 10 ).
Exercice 3 : D´eterminer les valeurs de θdans chacun des cas suivants.
(S1)cos(θ) = 1
2
sin(θ) = −√3
2
; (S2)(cos(θ) = −√2
2
sin(θ) = −√2
2
; (S3)cos(θ) = −√3
2
sin(θ) = 1
2
;
Exercice 4 : R´esoudre sur Rles ´equations suivantes d’inconnue xet repr´esenter
l’ensemble des solutions sur le cercle trigonom´etriques.
1. 4 cos(x)2= 1 ; 4 sin(x)3+ 4√3 sin(x)2= 9 sin(x) ;
2. cos(2x) = −√2
2; sin(x) = sin(2x+π 4) ; sin(3x) = cos(x) ;
3. 3 cos(5x) = cos(2x) + cos(12x) ; 2 sin2(x) = 3(1 + cos(x)).
4. 1+cos(x)
sin(x)=sin(x) 1−cos(x);√2 sin(x)+√2 1+2 sin(x)= 1 Pr´eciser le domaine de validit´e.
Exercice 5 : On consid`ere la fonction d´efinie par :
f:x7−→ sin(3x)
sin(x)
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f.
2. Calculer et simplifier f(−x). Que constatez-vous ?
3. Calculer et simplifier f(x+π). Que constatez-vous ?
Exercice 6 : A l’aide du cercle trigonom´etrique, r´esoudre l’in´equation sur
l’intervalle I donn´e :
1. cos2(x)≤1
2sur I= [−π;π] .
2. cos2(x)≥cos(2x) sur I= [0; 2π].
3. √3 tan(x)−1≤0 sur I= [−π;π].
Exercice 7 : D´emontrer les identit´es suivantes, dans chaque cas, pr´eciser le
domaine de validit´e :
A)1−cos(x)
sin(x)= tan(x 2)B) tan(π 4+x) + tan(π 4−x) = 2 cos(2x)
1

Exercice 8 : On consid`ere le rep`ere orthonorm´ee R= (O,~ i,~ j).
1. Repr´esenter ce rep`ere et le cercle trigonom´etrique. On prendra ||~ i|| = 5
carreaux.
2. Repr´esenter un angle θ∈]0; π
2[ fix´e dans le cercle puis repr´esenter pour
ce θ, les vecteurs suivants :
(a) uθ= cos(θ)
~
i+ sin(θ)~ j.
(b) vθ=−sin(θ)
~
i+ cos(θ)~ j.
(c) u−θ(simplifier )
(d) v−θ(simplifier )
Exercice 9 : R´esoudre les ´equations suivantes o`u xest une inconnue et αun
param`etre r´eel :
1. xsin(α) + cos(2α) = 1
2. 2x2−2(cos(α) + sin(α))x+ sin(2α) = 0
Exercice 10 : Montrer que pour tout x6= 0[π] et tout n∈N,
cos(x) cos(2x)...cos(2nx) = sin(2n+1x)
2n+1 sin(x)
Exercice 11 : Un peu de logique !
1. Montrer que la proposition :
”(∃x∈R,cos(x) = 0) et (∃x∈R,sin(x) = 0)” est vraie.
2. Montrer que la proposition :
”(∃x∈R,cos(x) = 0 et sin(x) = 0)” est fausse.
2