TD Trigonométrie - CPGE Dupuy de Lôme

TD3 Trigonométrie .
Exercice 1 : Calculer la valeur exacte de chacun des nombres réels suivants :
) ; cos( −8π
) ; cos( −25π
) ; cos( 127π
).
1. cos( −7π
6
6
6
4
2. sin( −111π
) ; sin( 277π
) ; sin( −31π
) ; sin( −5π
).
3
4
6
3
√
Exercice 2 : On donne cos( π5 ) = 5+1
.
4
π
1. Déterminer le signe sin( 5 ) et calculer la valeur exacte de sin( π5 ).
.
2. En déduire les valeurs exactes du cosinus et du sinus de : 4π
5
3. ♥ Exprimer cos(2θ) en fonction de cos(θ) puis en déduire cos2 ( 2θ ) en
fonction de cos(θ).
π
) et cos( 3π
).
4. Déterminer cos( 10
10
Exercice 3 : Déterminer les valeurs
( de θ dans√chacun descas suivants. √
1
cos(θ) = 2√
cos(θ) = − √22
cos(θ) = − 23
;
(S
)
;
(S
)
;
(S1 )
2
3
sin(θ) = − 23
sin(θ) = 12
sin(θ) = − 22
Exercice 4 : Résoudre sur R les équations suivantes d’inconnue x et représenter
l’ensemble des solutions sur le cercle trigonométriques.
√
1. 4 cos(x)2 = 1 ; 4 sin(x)3 + 4 3 sin(x)2 = 9 sin(x) ;
√
2. cos(2x) = − 22 ; sin(x) = sin(2x + π4 ) ; sin(3x) = cos(x) ;
3. 3 cos(5x) = cos(2x) + cos(12x) ; 2 sin2 (x) = 3(1 + cos(x)).
4.
1+cos(x)
sin(x)
=
sin(x)
1−cos(x)
;
√
√
2 sin(x)+ 2
1+2 sin(x)
= 1 Préciser le domaine de validité.
Exercice 5 : On considère la fonction définie par :
f : x 7−→
sin(3x)
sin(x)
1. Déterminer l’ensemble de définition de f .
2. Calculer et simplifier f (−x). Que constatez-vous ?
3. Calculer et simplifier f (x + π). Que constatez-vous ?
Exercice 6 : A l’aide du cercle trigonométrique, résoudre l’inéquation sur
l’intervalle I donné :
1. cos2 (x) ≤ 21 sur I = [−π; π] .
2. cos2 (x) ≥ cos(2x) sur I = [0; 2π].
√
3. 3 tan(x) − 1 ≤ 0 sur I = [−π; π].
Exercice 7 : Démontrer les identités suivantes, dans chaque cas, préciser le
domaine de validité :
x
π
π
2
1 − cos(x)
= tan( )
B) tan( + x) + tan( − x) =
A)
sin(x)
2
4
4
cos(2x)
1
Exercice 8 : On considère le repère orthonormée R = (O,~i, ~j).
1. Représenter ce repère et le cercle trigonométrique. On prendra ||~i|| = 5
carreaux.
2. Représenter un angle θ ∈]0; π2 [ fixé dans le cercle puis représenter pour
ce θ, les vecteurs suivants :
(a) uθ = cos(θ)~i + sin(θ)~j.
(b) vθ = − sin(θ)~i + cos(θ)~j.
(c) u−θ ( simplifier )
(d) v−θ ( simplifier )
Exercice 9 : Résoudre les équations suivantes où x est une inconnue et α un
paramètre réel :
1. x sin(α) + cos(2α) = 1
2. 2x2 − 2(cos(α) + sin(α))x + sin(2α) = 0
Exercice 10 : Montrer que pour tout x 6= 0[π] et tout n ∈ N,
cos(x) cos(2x) . . . cos(2n x) =
sin(2n+1 x)
2n+1 sin(x)
Exercice 11 : Un peu de logique !
1. Montrer que la proposition :
”(∃x ∈ R, cos(x) = 0) et (∃x ∈ R, sin(x) = 0)” est vraie.
2. Montrer que la proposition :
”(∃x ∈ R, cos(x) = 0 et sin(x) = 0)” est fausse.
2