Calcul fonctionnel holomorphe dans les alg`ebres localement p

BULLETIN OF THE
GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 52, 2006 (77–90)
Calcul fonctionnel holomorphe
dans les alg`ebres localement p-convexes
M. Chahboun and A. El Kinani
Abstract
We define and study a holomorphic functional calculus in locally p-convex alge-
bras. Some applications are also considered.
Mots cl´es : Fonction holomorphe, alg`ebre localement p-convexe, m-p-compl´etude,
involution d’espace vectoriel.
1991 Mathematics subject classification : 46K99, 46H30.
Introduction
Dans [2], G. R. Allan a d´efini un calcul fonctionnel holomorphe dans les alg`ebres
localement convexes pseudo-compl`etes. Pour les alg`ebres p-Banach, W. Zelazko ([23])
a utilis´e la notion de ”p-admissibilit´e” pour assurer l’existence d’un calcul holomorphe.
Dans cet article, on se propose de construire un calcul fonctionnel holomorphe dans
les alg`ebres localement p-convexes m-p-compl`etes, 0 < p ≤1. Pour ce faire, nous
consid´erons le spectre ([2]) comme une partie de C=C∪ {∞}, compactifi´e d’Alexan-
droff de C. Cette notion est en fait le spectre r´egulier au sens de L. Waelbroeck
([22]). Nous montrons (Corollaire 2.10) que le spectre r´egulier de tout ´el´ement x, not´e
Sprx, est un compact non vide de C. Nous consid´erons ensuite des fonctions f, ho-
lomorphes sur un ouvert Ude C, et donnons un sens `a f(x),o`u xest un ´el´ement
non n´ecessairement r´egulier tel que Sprx⊂U. On montre (Proposition 3.5) que ce
calcul est continu. Puis on ´etablit (Proposition 4.5) le ”Spectral mapping theorem”.
Nous ´etendons ensuite, pour les ´el´ements r´eguliers, un lemme de J. W. Ford ([12]), sur
l’existence de la racine carr´ee hermitienne (Proposition 4.6).Nous obtenons ´egalement
une version du principe du maximum (Proposition 4.7).
1. Pr´eliminaires
Soient (E, τ ) un espace localement p-convexe s´epar´e et (|.|i)i∈Iune famille de p-
semi-normes, 0 < p ≤1,d´efinissant sa topologie. Si Eest muni d’une structure
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d’alg`ebre telle que le produit est s´epar´ement continu, on dit que (E, τ) est une
alg`ebre localement p-convexe (a.l.p-c.). Une a.l.p-c. est dite m-p-compl`ete si, pour
tout p-disque born´e ferm´e et idempotent B, l’espace vectoriel EBengendr´e par B,
muni de la p-jauge k.kB, de B, est une alg`ebre p-Banach (i.e., une alg`ebre p-norm´ee
compl`ete). Un ´el´ement x∈Eest dit r´egulier si, et seulement si, il existe α > 0 tel que
l’ensemble ©¡x
α¢n:n∈N∗ªsoit un born´e de E. L’ensemble des ´el´ements r´eguliers
de Esera not´e E0. Pour x∈E0,soit Bla fermeture de l’enveloppe p-disqu´ee de
l’ensemble born´e et idempotent ©¡x
α¢n:n= 1, ...ª. Alors Best un p-disque born´e
ferm´e et idempotent tel que x∈EB.Consid´erons la famille, not´ee Br,de tous les
p-disques born´es ferm´es et idempotents de Eet posons B={B∈ Br:e∈B}.On
a alors E0=S{EB:B∈ B} .Soit (E, (|.|i)i∈I) une a.l.p-c. commutative et m-p-
compl`ete. On montre (Proposition 2.1) que E0est une sous-alg`ebre de E. Ainsi la
m-p-compl`etude de l’alg`ebre (E, (|.|i)i∈I) signifie que l’alg`ebre (E0,Br) est compl`ete.
Pour p= 1, on retrouve les alg`ebres ”pseudo-Banach algebras” au sens de G. R.
Allan, H. G Dales et J. P. McClure de [3]. On s’int´eresse aux fonctions holomorphes
telles qu’elles sont d´efinies dans [5]. On d´esigne par H(U) l’ensemble des fonctions
complexes holomorphes sur un ouvert Ude C. On rappelle qu’une fonction complexe
fest holomorphe `a l’infini si lim
λ−→0f(λ−1)= let si la fonction ∼
f(λ) = f(λ−1) si λ6= 0
et ∼ f(0) = lest holomorphe au point 0.
Dans toute la suite, les alg`ebres seront localement p-convexes, 0 < p ≤1, com-
plexes et unitaires. Si eest l’unit´e, λsera un abus de notation pour λe, o`u λ∈C.
Pour tout x∈E, on d´efinit Spx ={λ∈C:λ−x /∈G(E)}, o`u G(E) est le groupe des
´el´ements inversibles de E. Le rayon spectral de xest ρ(x) = sup {|λ|:λ∈Spx}et le
rayon de r´egularit´e de xest β(x) = inf{α > 0 : lim
n→+∞(α−1x)n= 0}avec la convention
inf ∅= +∞.
2. El´ements et spectre r´eguliers
L’ensemble E0n’est pas n´ecessairement une alg`ebre ([22]). Dans le cas commutatif,
on a ce qui suit
Proposition 2.1 Soit (E, (|.|i)i∈I)une a.l.p-c. commutative et m-p-compl`ete. Alors
E0est une sous-alg`ebre de E.
Preuve. Il suffit de montrer que Best filtrante `a droite. Soient B, C ∈ B. Pour
tout b∈B, on consid`ere l’application lin´eaire Lb:c7−→ bc, de ECdans Eet
F={Lb:b∈B}.Tout ´el´ement de Fest continu. De plus, pour x∈EC,l’orbite
{Lb(x) : b∈B}est un born´e de (E, (|.|i)i∈I).Par le th´eor`eme 2.6 ([18], p. 44), la
famille Fest ´equicontinue. Elle est donc ´equiborn´ee. Par cons´equent BC est un born´e
idempotent. Par suite, la fermeture Γp(BC),de l’enveloppe p-disqu´ee Γp(BC) de BC,

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est un ´el´ement de Bcontenant B∪C.
Comme cons´equence, on a le r´esultat suivant.
Corollaire 2.2 Soit (E, (|.|i)i∈I)une a.l.p-c. commutative et m-p-compl`ete. Posons
B0=S{B:B∈ B}. Alors
(i) B0est un p-disque idempotent et absorbant dans E0et sa p-jauge k.kB0est
une p-semi-norme sur E0.
(ii) pour tout x∈E0,on a kxkB0= inf {kxkB:B∈ B, x ∈EB}=β(x)p.
Rappelons la notion, suivante, de spectre r´egulier au sens de L. Waelbroeck.
D´efinition 2.3 ([22]) Soient (E, (|.|i)i∈I) une a.l.p-c. et x∈E. On appelle spectre
r´egulier de x, not´e Sprx, la partie de C=C∪ {∞}, d´efinie par
(i) Pour λ6=∞, λ ∈Sprxsi, et seulement si, λ−xn’admet pas d’inverse r´egulier
dans E.
(ii) ∞ ∈ Sprxsi, et seulement si, xn’est pas r´egulier.
Remarques 2.4 (i) Pour tout x∈E, on a Spx ⊂Sprx.
(ii) Si Eest commutative et m-p-compl`ete, alors
a) Sprx=SpE0x, pour tout x∈E0,o`u SpE0xest le spectre alg´ebrique de x
relativement `a l’alg`ebre E0.
b) Pour tout x∈E0, SpE0xest un compact de C.
Le r´esultat suivant, de preuve classique, permet de se ramener au cas commutatif.
Proposition 2.5 Soient ¡E, (|.|i)i∈I¢une a.l.p-c.,Xune partie commutative de E.
Alors
1) il existe une sous-alg`ebre F, de E, commutative et maximale contenant Xtelle
que Sprx=Spr,F x, pour tout x∈F.
2) Si Eest m-p-compl`ete, il en est de mˆeme de F.
Pour tout x∈E, on d´esigne par Res(x), le compl´ementaire de Sprxdans C, appel´e
l’ensemble r´esolvant de x, et par Rxla r´esolvante de xd´efinie par Rx(λ) = (λ−x)−1
lorsque cet inverse existe dans E.
Proposition 2.6 Soient (E, (|.|i)i∈I)une a.l.p-c. m-p-compl`ete et x∈E. Alors les
assertions suivantes sont ´equivalentes.
(i) xest r´egulier.
(ii) La r´esolvante λ7−→ Rx(λ) = (λ−x)−1est d´efinie et born´ee dans un voisinage
ouvert de l’infini.

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Preuve. (i)=⇒(ii). Soient x∈E0et B∈ B tel que x∈EB. Pour |λ|p>kxkB
et λ6=∞,on a Rx(λ)∈EBet kRx(λ)kB≤(|λ|p− kxkB)−1. Par cons´equent
lim
|λ|−→∞ kRx(λ)kB= 0. Soit M > 0 tel que Rx(λ)∈B. Pour |λ|> M, la r´esolvante
λ7−→ Rx(λ) est d´efinie et born´ee dans U=½λ∈C:|λ|>max µM, kxk
1
p
B¶¾.
(ii)=⇒(i). Soit Uun voisinage ouvert de l’infini tel que la r´esolvante λ7−→ Rx(λ)
y est d´efinie et born´ee. Soit B∈ B tel que Rx(U)⊂B. Pour |λ|p>kxkB,on a
(λ−x)−1=P
n≥0
λ−n−1xndans EB. D’o`u la r´egularit´e de x.
Le spectre r´egulier est un ferm´e de C, comme le montre le r´esultat suivant.
Proposition 2.7 Soient (E, (|.|i)i∈I)une a.l.p-c. m-p-compl`ete et x∈E. Alors les
assertions suivantes sont ´equivalentes.
1) λ0∈Res(x).
2) λ0admet un voisinage ouvert U, dans C, tel que
(i) (λ−x)−1existe, pour tout λ6=∞dans U,
(ii) l’ensemble n(λ−x)−1, λ ∈Uet λ6=λ0oest un born´e de E.
Preuve. a) Si λ0=∞,alors x∈E0.Par la proposition 2.6, on a 1) ⇐⇒ 2).
b) Supposons que λ06=∞et montrons 1) =⇒2). Si λ0∈Res(x),alors y=
(λ0−x)−1∈E0. Donc, d’apr`es a), l’application λ7−→ Ry(λ) est d´efinie et born´ee
dans un voisinage de l’infini. Par suite la fonction λ7−→ ¡y+ (λ−λ0)−1¢−1est
d´efinie et born´ee pour λ6=λ0dans un voisinage ouvert Ude λ0.Comme (λ−x)−1=
y−y2¡y+ (λ−λ0)−1¢−1,l’application λ7−→ Rx(λ) est d´efinie et born´ee sur l’en-
semble {λ∈C:λ6=λ0, λ ∈U}. Par cons´equent, si λ06=∞,l’application λ7−→ Rx(λ)
est d´efinie et born´ee sur U. Montrons maintenant 2) =⇒1). Soit λ06=∞et v´erifiant
(i) et (ii). Alors y= (λ0−x)−1existe. De plus, pour tout λ6=λ0dans le voisi-
nage Ude λ0, l’´el´ement y+ (λ−λ0)−1est inversible. Comme ¡y+ (λ−λ0)−1¢−1=
y−1³1−y−1(λ−x)−1´, l’ensemble ½³y+ (λ−λ0)−1´−1 , λ ∈Uet λ6=λ0¾est un
born´e de E. D’o`u la r´egularit´e de y= (λ0−x)−1par a).Donc λ0∈Res(x).
Concernant l’holomorphie de la r´esolvante, on a ce qui suit.
Proposition 2.8 Soient (E, (|.|i)i∈I)une a.l.p-c. m-p-compl`ete et x∈E. Alors,
pour tout λ0∈Res(x), il existe un voisinage ouvert Ude λ0contenu dans Res(x)
et B∈ B tel que Rx(U)⊂EB.De plus, la r´esolvante λ7−→ Rx(λ)est holomorphe
de Udans EB
Preuve. Soit λ0∈Res(x). Si λ06=∞,l’´el´ement Rx(λ0) est d´efini et r´egulier par la
proposition 2.6. Soit B∈ B tel que Rx(λ0)∈(EB,k.kB). Si |λ−λ0|<kRx(λ0)k−1
p
B,

Calcul fonctionnel holomorphe dans les alg`ebres localement p-convexes 81
alors, par la proposition 2.6, la s´erie
X
k≥0
(−1)k(λ−λ0)kRx(λ0)k+1
est convergente dans (EB,k.kB) est sa somme est exactement Rx(λ). On pose U=
½λ∈C:|λ−λ0|<kRx(λ0)k−1
p
B¾. C’est un voisinage ouvert de λ0dans lequel λ−x
est inversible et d’inverse Rx(λ) = P
k≥0
(−1)k(λ−λ0)kRx(λ0)k+1.Comme Rx(λ0)∈
EB,on a Rx(λ) = P
k≥0
(−1)k(λ−λ0)kRx(λ0)k+1 ∈EB, pour tout λ∈U. Ainsi U⊂
Res(x) et la r´esolvante λ7−→ Rx(λ) est holomorphe de Udans EB. Supposons main-
tenant que λ0=∞.Soit B∈ B tel que x∈EB.Posons U=©λ∈C:|λ|p>kxkBª.
Alors, pour tout λ∈U∩C, l’´el´ement λ−xest inversible et son inverse Rx(λ) est
dans EB. De plus, kRx(λ)kB≤(|λ|p− kxkB)−1.Donc lim
|λ|→∞ Rx(λ) = 0 dans EB.
Montrons que l’application fd´efinie par f(λ) = Rx(λ−1) si λ6= 0 et f(0) = 0 est
holomorphe en z´ero. On a Rx(λ−1) = λ¡1 + x(λ−1−x)−1¢.Par ailleurs, (λ−1−x)−1
existe et λ7−→ (λ−1−x)−1est born´ee dans un voisinage de 0.Il en d´ecoule que
λ7−→ 1+x(λ−1−x)−1est born´ee. D’o`u le r´esultat vu que lim
λ→0°
°λ−1Rx(λ−1)° °B= 1.
Comme cons´equences, on obtient les r´esultats suivants.
Corollaire 2.9 Soient (E, (|.|i)i∈I)une a.l.p-c. m-p-compl`ete, x∈Eet Kun com-
pact de Res(x). Alors il existe B∈ B tel que Rx(λ)∈EB,pour tout λ∈K. De plus
Rxest holomorphe dans un voisinage de Ket `a valeurs dans EB.
Preuve. Soit Fla sous-alg`ebre commutative maximale contenant x. Par 2) de la
proposition 2.5, (F, (|.|i)i∈I) est une a.l.p-c. unitaire et m-p-compl`ete. Soit λ∈K⊂
Res(x). D’apr`es la proposition 2.8, il existe un voisinage ouvert Uλ,de λ, dans Res(x)
tel que Rx(γ)∈EB, pour tout γ∈Uλ,o`u B∈ B.Mais Rx(γ)∈F, pour γ∈Uλ⊂
Res(x).D’o`u, pour tout γ∈Uλ, Rx(γ)∈F∩EB=FA,o`u A=F∩Bqui est un p-
disque born´e idempotent et compl´etant de F. Par cons´equent, Rxest une application
de Uλdans l’alg`ebre p-Banach (FA,k.kA) qui est contenue dans (F, (|.|i)i∈I). Comme
Kest un compact, il existe un recouvrement fini d’ouverts (Uk)1≤k≤net une famille
de p-disques born´es idempotents et compl´etants (Ak)1≤k≤n, dans F, tels que pour
tout γ∈Uk, Rx(γ)∈FAk. En tenant compte du fait que l’alg`ebre Fest commutative
et m-p-compl`ete, on montre qu’il existe un p-disque born´e idempotent et compl´etant
Atel que ∪n
k=1Ak⊂A. D’o`u Rx(K)⊂FA⊂EA.De plus, Rx(Uk) est born´e, pour
tout k∈ {1, ..., n}. Ainsi Rx(K) est born´e. L’application Rxest alors holomorphe sur
l’ouvert U=∪n
k=1Ukvu qu’elle l’est sur chaque Uk.