chapitre 8 : Calcul littéral

Chapitre 8 : Calcul littéral
Il permet d’avoir une formule vraie pour n’importe quel nombre.
Rappels :
● Une expression littérale est un calcul avec des lettres qu’on peut
remplacer par des nombres : Aire (rectangle) = L x l
● Le symbole x est supprimé dès qu’il y a une lettre ou une parenthèse.
Mais quand on remplace une lettre par un nombre, il faut le remettre.
● Attention à bien écrire la lettre x arrondie pour ne pas confondre avec le
symbole x.
1) Réduire un calcul :
On réduit un calcul pour l’écrire plus simplement :
● On supprime le symbole x dès que c’est possible :
x x x = x²
2 x x = 2x
x x 3 = 3x
1 x x = 1x = x
0 x x = 0x = 0
2x4=8
2 x 4x = 8x
3x x 7 = 21x
(on multiplie dans l’ordre qu’on veut)
3x x 4x = 12x²
● On additionne les nombres représentés par la même lettre ou la même
puissance :
7x + 2x = 9x
3x² + 5x² = 8x²
Attention, on ne peut pas simplifier l’expression 7x + 3x²
● On range les nombres par catégories sans les mélanger, d’abord les
puissances, puis les lettres puis les nombres :
5 + 8x² + 9x = 8x² + 9x + 5
2) Signe « –» devant une parenthèse :
Les calculs entre parenthèses sont prioritaires et se font en premiers.
Il faut enlever les parenthèses pour simplifier une expression littérale.
Lorsqu’il n’ y a rien devant une parenthèse ou bien le signe « + » devant, on
enlève la parenthèse sans rien changer.
Exemples :
A = (2x + 5) = 2x + 5
B = 6x + (2x + 5)
B = 6x + 2x + 5
B=
8x + 5
Lorsqu’il y a le signe « – » devant une parenthèse, on l’enlève en « distribuant
le signe – » à tous les nombres dans la parenthèse.
Exemples :
C = -( x + 5)
F = 6x – (2x + 5)
C=-x–5
F = 6x – 2x – 5
F=
4x - 5
D = -(2x + 5)
D = -2x – 5
G = 6x – (2x – 5)
G = 6x – 2x – (- 5)
G=
4x
+5
E = -(2x – 5)
E = -2x – (-5)
E = - 2x + 5
On recopie tout ce qui n’est pas entre parenthèses, on enlève les
parenthèses en distribuant le signe puis on réduit.
3) Développer k(c + d) :
k(c + d) se lit « k facteur de c + d ». Il y a une multiplication entre k et la
parenthèse.
On développe (ou on distribue) pour enlever les parenthèses lorsqu’il y a un
nombre devant.
2(cadeau + disque ) = 2 cadeaux + 2 disques
2(c + d) = 2c + 2d
On a « distribué le 2 » à tout ce qu’il y avait dans la parenthèse.
C’est vrai pour 2, pour 3 et pour n’importe quel nombre k.
k(c + d) = kc + kd
C’est vrai aussi pour une soustraction :
k(c - d) = kc - kd
Exemples :
A = 2( x + 7)
A = 2x + 2 x 7
4
A = 2x + 14
B = 3(2x - 4)
B = 3 x 2x - 3 x 4
C = 3x(2x + 4)
C = 3x x 2x + 3x x
B=
C = 6x² + 12x
6x
- 12
Remarques :
● Il est plus rapide de ne pas écrire le symbole x qui n’est pas obligatoire.
● Attention à toujours recopier correctement l’énoncé et à ne pas
transformer une soustraction en addition !
4) Développer (a + b)(c+d) :
(a + b)(c + d) se lit « a + b facteur de c + d ».
On a vu que 2(cadeau + disque ) = 2 cadeaux + 2 disques
C’est vrai aussi lorsqu’on a (2 + 3) à la place de 2 :
(2+3)(cadeau +disque) = 2cadeaux + 2disques + 3cadeaux + 3 disques
(2+3)(c+d) = 2c + 2d + 3c + 3d
C’est vrai pour 2 et 3, et aussi pour n’importe quels nombres a et b :
(a+b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemples :
A = (x + 2)(x + 7)
A = x² + 7x + 2x + 14
B = (3x + 2)(x + 7)
B = 3x² + 21x + 2x +14
A = x² + 9x
B = 3x² +
+ 14
C = (3x + 2)(4x + 7)
C = (3x + 2)(4x + 7)
C = 12x² + 21x + 8x + 14
23x + 14
C = 12x² +
29x + 14
5) Factoriser :
Rappel : Dans la multiplication 2 x 3 = 6,
2 et 3 sont les facteurs et 6 est le produit.
On factorise un calcul lorsqu’on veut que la dernière opération soit une
multiplication. C’est le contraire de développer :
2 cadeaux + 2 disques = 2(cadeau + disque)
Pour factoriser, on remarque un même nombre que l’on réécrit, on le barre,
on ouvre une parenthèse et on y recopie tout l’énoncé sans le nombre barré.
Exemples :
A = 2c + 2d
A = 2(c + d)
D = 2x(3x + 4) + 2x(4x + 5)
D = 2x(3x + 4 + 4x + 5)
D = 2x(7x + 9)
B = 5a + 5b
B = 5(a + b)
C = 3x - 3y
C = 3(x - y)
E = 3x²(3x + 4) + 3x²(4x + 5)
E = 3x²(3x + 4 + 4x + 5)
E = 3x²(7x + 9)
Remarques :
●On réduit toujours l’expression entre parenthèses.
●On peut ne pas barrer le nombre que l’on met en facteur.
Annexe : extrait du programme officiel 2016 :
Développer et factoriser des expressions algébriques dans des cas très simples.
Comprendre l'intérêt d'une écriture littérale en produisant et employant des formules liées aux grandeurs
mesurables (en mathématiques ou dans d'autres disciplines).
Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture.
Dès le début du cycle 4, les élèves comprennent l'intérêt d'utiliser une écriture littérale.
À partir de la 4e, ils rencontrent les notions de variables et d'inconnues, la factorisation, le
développement et la réduction d'expressions algébriques.