2012 Opérations dans les rationnels 2ème secondaire

ARM
Opérations dans les
rationnels
2ème secondaire
Ruscitto Maryline
2012
Algèbre :
1.
Opération avec les fractions
L’addition et soustraction
1.1. Introduction
Effectue ces calculs rapidement (le résultat doit être une fraction irréductible)
3 1
5+5=
3 1
4-2=
3 7
5-5=
1
1–3=
1 1
3+2=
1 1
3-5=
4
1–3=
7
2 +2=
2 7
3-6=
2 5
3+6=
7 1
8 -4=
3
5-1=
Règle
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, il suffit de les simplifier, si possible, de les réduire au
même dénominateur, d’additionner(ou de soustraire) les nouveaux numérateurs en conservant le
dénominateur commun et de simplifier, si possible, la fraction ainsi obtenue.
Exemples :
3 5 9 10 9  10 19
  


2 3 6 6
6
6
 3 5  9 10  9  10 1
 



4 6 12 12
12
12
Remarque
Avant de réduire les fractions au même dénominateur, il faut les simplifier au maximum et rendre
leurs dénominateurs positifs
.
5
 5  5 5  20 15  20  15  5
Exemples :


 



6
8
6
8
24
24
24
24
1
Exercices
2-)
Calcule (le résultat doit être une fraction irréductible)
5 -4
7+ 7 =
3 5
4 + -4 =
-2 1
-3 - 3 =
-11 3
2 + -2 =
-3 5
4 +6=
-1 -3
5-4=
4 5
9 – -6 =
7 -4
-10 + 15 =
3-)
Simplifie les fractions qui peuvent l’être, puis calcule
2
4-)
Calcule le plus simplement possible
2.
La multiplication
2.1. Pour multiplier deux fractions :
2 3
3x4
1) On multiplie les numérateurs et les
dénominateurs entre eux
2) On simplifie au maximum
3) On calcule
2x3
1) 3 x 4
2x3 1x1
2) 3 x 4 = 1 x 2
1
3) 2
Exercices
1-)
Calcule les produits suivants :
5 2
3 x 7 = ……………..
1 5
2 x 9 = ……………..
4 7
9 x 6 = ……………..
3
3 21
7 x 18 = ……………..
6 6
7 x 9 = ……………..
4 3
7 x 8 = ……………..
2-)
Complète :
3
x8
3 10
10 x 12 = ……………..
25 3
27 x 5 = ……………..
27 10
15 x 9 = ……………..
4
x5
2
x3
5 7
4 x 4 = ……………..
15 10
8 x 18 = ……………..
20 18
9 x 15 = ……………..
6
x5
5
x 12
5
3-)
Trouve la fraction irréductible qui vérifie l’égalité.
3 7 21
Exemple : 4 x 5 = 20
3 … 9
4x…=8
1 … 1
9 x … = 18
3 … 10
4x…= 3
5 … 3
9x…=4
4-)
2 … 12
7 x … = 35
2 … 6
13 x … = 52
… 2 4
…x3=5
… 9 2
… x 10 = 3
… 4 4
…x5=5
6 … 12
25 x … = 100
4 … 5
7 x … = 11
4 … 2
3x…=5
… 5 25
… x 6 = 42
… 13 39
… x 41 = 82
… 2 3
…x3=5
… 6 7
…x7=6
Calcule : (si tu n’as pas assez de place, prend le verso)
5 2
• 8 x 15 = ……………..
9 3
• 5 x 10 = ……………..
5
• 7 x 6 = ……………..
2
• 3 de 24 = ……………..
5
5
• 6 de 360 = …………….. • 9 de 81 000 = ……………..
4
4 7 9
• 8 x 36 x 21 = = ……………..
36 27
• 45 x 81 x 5 = ……………..
9 55 140
• 150 x 120 x 49 x 60 = ……………..
30 20 1000
•900 x 250 x 800 x 30 = ……………..
4.
La division
4.1. Complète les égalités suivantes
5 2
7:3=
3 7
4 : 11 =
2 -3
5: 7 =
4
9:5=
5
7:3=
4.2. Fraction inverse
b
a a b
est
la
fraction
inverse
de
a
b car b x a = 1 (a, b ≠0)
2
3 1
3 est la fraction inverse de 2 ; 2 est la fraction inverse de 2
5
1) Ecris les fractions inverses ; si nécessaire, commence par transformer les nombres en fractions.
Fractions
Fractions inverses
2
3=
3=
0,2 =
3
4=
4.3. Comparaison entre nombres opposés et nombres inverses
a
-a
a + (-a)
1
a-1 = a
a • a-1
-a-1
(-a)-1
2
-5
2
-10
0
En te référant au tableau ci-dessus, complète les propositions suivantes :
Définition
Notation
Signe
Nombres opposés
L’opposé d’un nombre est …………………
de ce nombre par -1.
L’opposé de a se note …………
Deux nombres opposés ont ……………
Propriété
La somme de deux nombres opposés
égale …………………
a + (-a) = ……
Particularité
Tous les nombres ont un opposé.
Nombres inverses
L’inverse d’un nombre non nul est
…………… de 1 par ce nombre
L’inverse de a se note …………
Deux nombres inverses ont ……………
Le produit de deux nombres inverses
égale ……………
1 a
a • a = a = ……
Tous les nombres ………… ont un
inverse
6
Proposition
L’opposé de l’inverse d’un nombre non nul ………………………… { l’inverse de
l’opposé de ce nombre
4.4. Règle de la division
Pour diviser une fraction par une fraction
3 9
10 : 20
1) Multiplier la première fraction par l’inverse
3 20
1)
de la fraction diviseur
10 x 9
2) Effectuer et simplifier
3 x 20
2) 10 x 9
3) Calculer
2
3) 3
Exercices
1-)
Effectue les divisions suivantes et présente les sous forme de fractions irréductibles.
5 5
• 3 : 6 = …………….
3 7
• 4 : 8 = …………….
10 1
• 14 : 21 = …………….
4 20
• 5 : 30 = …………….
8 24
• 3 : 7 = …………….
10 15
• 18 : 36 = …………….
4 3
• 5 : 4 = …………….
9 1
• 8 : 4 = …………….
7
4 10
• 3 : 12 = …………….
5 18
• 7 : 21 = …………….
15
• 12 : 0,75 = …………….
6
• 48 : 7 = …………….
5
• 4 : 0,25 = …………….
2
• 40 : 10 = …………….
8 12
• 7 : 21 = …………….
• 8 : 0,125 = …………….
2-)
Complète la grille n°2 en remplaçant chaque lettre de la grille n°1 par sa valeur numérique
Grille n°1
Grille n°2
Consignes :
• a est l’inverse de 2
a
b
c
d
x
y
t
u
v
•b est l’opposé de 2
• c est la somme de a et de b
• y est l’opposé de l’inverse de b
• x est la différence entre y et b
• d est l’inverse de l’opposé de x
• t est la somme de a et de d
• u est tel que t . u =1
•v=x.y
3-)
Vrai ou Faux ? Si tu réponds vrai, justifie, et si tu réponds faux, donne un contre-exemple.
a
2a
1. Si b = 3, alors 2b = 6
2. Le quotient de deux entiers non nuls n’est pas modifié lorsqu’on multiplie le premier par 4 et
le second que l’on divise par 4.
8
3. Si on ajoute 2 au numérateur et au dénominateur d’une fraction, cette fraction est augmentée
également de 2.
4-)
Transforme les fractions suivantes en nombres décimaux
Si le dénominateur d’une fraction (simplifiée) n’est composé que des facteurs premiers 2 et/ou
5, elle sera égale à un nombre décimal limité.
1
5=
-1000
-5 =
-9
35 =
-77
180 =
5-)
-11
-16 =
9
-2 =
-14
125 =
33
32 =
Transforme les décimaux suivants en fractions irréductibles à dénominateurs positifs
0,5 = ………… = …………
-2,75 = ………… = …………
-0,0007 = ………… = …………
3,25 = ………… = …………
0,004 = ………… = …………
0,082 = ………… = …………
-0,015 = ………… = …………
2,54 = ………… = …………
3,414 = ………… = …………
-12,8 = ………… = …………
9