1ere is math partie 1

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PREMIERE PARTIE : ALGEBRE
1. Les ensembles de nombres
Introduction : voir cours.
Notations :
 : ensemble des nombres naturels ;  : ensemble des nombres entiers ;
 :ensemble des nombres rationnels ;  : ensemble des nombres irrationnels ;
 : ensemble des nombres réels ;  :ensemble des nombres complexes.
 et   = 
2. Nombres réels
Lorsque l’ensemble  est muni de deux opérations – l’addition et la multiplication –
et d’une relation d’ordre total , on le note ,
 ,,
.
2.1. Structure de 
L’ensemble ,
 ,,
est un corps ordonné. Autrement dit,
 , est un groupe commutatif :
(1)
 yx,
,
 yx
(2)
 zyx ,,
,
)()( zyxzyx 
(3)
 yx,
,
xyyx 
(4)  contient un élément neutre pour l’addition :
x
,
xxx  00
(5)  contient l’opposé de chacun de ses éléments :
si
x
, alors
 )( x
 et
xxxx  )(0)(
 \
0
, est un groupe commutatif :
(6)
 yx,
,
 yx
(7)
 zyx ,,
,
)()( zyxzyx 
(8)
 yx,
,
xyyx 
(9)  contient un élément neutre pour la multiplication :
x
,
xxx  11
(10) \
0
contient l’inverse de chacun de ses éléments :
si
x
\
0
, alors
x
1
\
0
et
x
xx
x 1 1
1

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 La multiplication est distributive sur l’addition :
(11)
 zyx ,,
,
yzxzyxz  )(
 La relation d’ordre vérifie :
(12)
 yx,
,
yx 
ou
xy 
(13)
 zyx ,,
,
yx 
et
zy 
zx 
(14)
 zyx ,,
,
yx 
zyzx 
(15)
 zyx ,,
,
yx 
et
z0
zyzx 
2.2. Remarque
La relation se lit « plus petit ou égal à». D’autres relations sont définies à partir de celle-
ci :
 La relation « plus grand ou égal à», notée :
xyyx 
.
 La relation « plus petit que », notée :
yxyx 
et
yx 
.
 La relation « plus grand que », notée :
yxyx 
et
yx 
.
2.3. Propriétés d’Archimède
2.3.1. Propriété 1
Si a et b sont des réels tels que
0a
et
0b
, alors il existe un naturel n tel que
nba
.
2.3.2. Propriété 2
Si
a
, alors il existe un unique entier n tel que
1 nan
.
L’entier n est appelé partie entière de a, et noté
aE
ou
a
.
2.4. Sous-ensembles de 
2.4.1. Sous-ensembles particuliers
 + =
x
 :
0x
 - =
x
 :
0x
0
=
x
 :
0x
0
=
x
 :
0x
0
=
x
 :
0x

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2.4.2. Intervalles de 
Soit a et b deux réels tels que
ba 
.
ba,
x
 :
bxa 
: intervalle fermé
ba,
x
 :
bxa 
: intervalle ouvert
ba,
x
 :
bxa 
: intervalle mixte
ba,
x
 :
bxa 
,a
x
 :
xa 
,a
x
 :
xa 
 b,
x
 :
bx 
 b,
x
 :
bx 
 ,
2.4.3. Voisinages
 Soit a. Le sous-ensemble V de  est un voisinage du point a si V est (ou
contient) un intervalle ouvert contenant a. Notons V (a) l’ensemble des voisinages
de a.
 Le sous-ensemble V de  est un voisinage de s’il existe un réel A tel que V
égale (ou contient) l’intervalle
,A
. Notons V ( ) l’ensemble des voisinages
de .
 Le sous-ensemble V de  est un voisinage de s’il existe un réel A tel que V
égale (ou contient) l’intervalle
A,
. Notons V ( ) l’ensemble des voisinages
de .
D’autres définitions et propriétés relatives aux nombres réels seront introduites dans la partie
Étude de fonctions d’une variable réelle.
Intervalles bornés
(voir Analyse ch.1)
Intervalles non bornés
(voir Analyse ch.1)

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3. Fractions
3.1. Définitions
Pour diviser un nombre a par un nombre non nul b, on multiplie a par l’inverse de b :
b
a
b
ababa  1
1
Cette dernière expression
b
a
est appelée le quotient de a et b ou la fraction a sur b (a est le
numérateur et b est le dénominateur).
3.2. Propriétés
Les propriétés ci-dessous concernent des fractions dont les dénominateurs sont des nombres
réels non nuls et les numérateurs des nombres réels quelconques:
(1)
d
c
b
a
si et seulement si
bcad 
(2)
bca b
c
b
a
(3)
bdcbad d
c
b
a
(4)
bd
ac
d
c
b
a
(5)
b
a
bd
ad 
(6)
b
a
ba b
a
(7)
c
d
b
a
d
c
b
a
4. Puissances rationnelles d’un réel
4.1. Puissances entières
(1) Si a est un réel et n est un naturel non nul, alors la puissance nième de a ou a puissance
n est le nombre
facteursn
naaaaa ...
(2) Si de plus a 0, alors
0
a
et
n
a
sont définis par
1
0a
et
n
na
a1
Dans l’expression
mam,
, le nombre m est appelé l’exposant et le nombre a est appelé la
base.

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4.2. Racine nième d’un réel (
n
,
0n
)
4.2.1. Définition
(1) Si a = 0, alors
0
na
(2) Si a > 0, alors
na
est le réel positif b tel que
abn
(3) Si a < 0 et n est impair, alors
na
est le réel négatif b tel que
abn
(4) Si a < 0 et n est pair, alors
na
n’est pas défini dans 
 Exercice : discutez la valeur de
n
na
et de
nn
a
lorsque a varie dans .
4.2.2. Propriétés
Quels que soient les naturels non nuls m, n, et les réels a et b, on a
(1)
nn
nbaba 
(2)
n
n
nb
a
b
a
(3)
mn
nmaa 
Pour autant que les deux membres des égalités existent.
4.2.3. Remarques
(1)
baba  22
(2)
baba 
4.3. Puissances rationnelles
4.3.1. Définition
Soit
m
 et
n
 ,
0n
. Si
na
et
m
a
existent, alors
(1)
n
a1
na
(2)
 m
n
n
m
m
nnm aaaa 1 1
nm
a
4.3.2. Propriétés
Si
p
,
q
,
a
,
b
, a > 0 et b > 0, alors
(1)
qpqp aaa 
(2)
pq
q
paa 
(3)
pp
pbaba 
(4)
p
p
p
b
a
b
a
(5)
p
pa
a1
(6)
qp
q
pa
a
a
 Remarque : chacune de ces propriétés reste vraie si a et /ou b sont négatifs et si les deux
membres de l’égalité existent.