Correction devoir commun 4 Exercice 6

Correction devoir commun 4
A
Exercice 6
15°
T
P
Le radar T de la tour de contrôle émet des ondes qui voyagent à 300 000 km/s.
Dans le cas présent, ces ondes rencontrent l’avion A, puis reviennent à la tour de contrôle en 0,0003 s
après leur émission. L’angle fait par l’horizontale (TP) et la direction radar-avion (TA) mesure 15°.
 Calculer l’altitude de l’avion (longueur de [AP]) au mètre près.
 Calculer la distance horizontale séparant l’avion de la tour de contrôle, au mètre près.
Correction :
1. Comprendre l’énoncé
On connaît un angle aigu. L’horizontale et l’altitude forme un angle droit. Aucune longueur présente. En
revanche, je sais que les ondes-radar font un aller-retour en 0,0003 seconde (durée) à la vitesse de
300 000 km/s quand elles rencontrent l’avion.
2. Chercher les méthodes
 Avec la vitesse et la durée, on peut calculer l’aller-retour des ondes–radar grâce à la formule d = v × t
 Pour calculer l’aller, la réponse sera divisée par 2.
 A présent, on a un triangle rectangle, un angle aigu, la longueur de l’hypoténuse et on cherche le côté
opposé à l’angle aigu. L’expression du sinus de cet angle sera la bienvenue.
 Pour le calcul de la distance horizontale, le choix pourra se porter soit sur le cosinus du même angle
aigu, soit sur sa tangente, soit sur le théorème de Pythagore.
2. Résolution
Je calcule l’aller-retour des ondes radar
aller-retour = 300 000 × 0,0003
aller-retour = 90 km
Je calcule l’aller
aller = TA = 90 : 2 = 45 km = 45 000 m
 Par hypothèse, le triangle ATP est rectangle en P, l’angle ATP = 15° et par calculs précédents AT =
45 000 m
or dans un triangle rectangle le sinus d’un angle aigu est égal au quotient de son côté opposé sur
l’hypoténuse
AP
donc sin ATP = AT
AP
sin 15° = 45 000
AP
0,259 = 45 000
AP = 0,259 × 45 000 = 11 655 m
L’altitude de l’avion est de 11 655 m
 Par hypothèse, le triangle ATP est rectangle en P, l’angle ATP = 15° et par calculs précédents AT =
45 000 m
or dans un triangle rectangle le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de son côté adjacent sur
l’hypoténuse
TP
donc cos ATP = AT
TP
cos 15° = 45 000
TP
0,966 = 45 000
TP = 0,966 × 45 000 = 43 470 m
La distance horizontale séparant l’avion de la
tour de contrôle est de 43 470 m.
EXERCICE 4 Q1 ............................................................................................................................. (4 points)
* Conversion 1 m = 100 cm
* Rayon de la boule 40 : 2 = 20 cm
demi-
Cône
sphère
* Rayon du disque du cône 40 : 2 = 20 cm
* Rayon des disques du cylindre 40 : 2 = 20 cm
40 cm
* Je calcule le volume de la demi-boule
4    203
32 000 16 000
=
=
6
3
32
40 cm
Cylindre
1m
Le volume de la demi-boule est
16 000
cm3
3
* Je calcule le volume du cylindre de révolution
(  202)  (100 – 40 – 20) =
400   40 = 16000 
Le volume du cylindre est donc 16 000  cm3
* Je calcule le volume du cône de révolution
(  202)  40 16 000 
=
3
3
Le volume du cône de révolution est
16 000
16 000
+ 16 000  +
=
3
3
16 000 48 000
16 000
+
+
=
3
3
3
80 000
3
Le volume total du solide est donc
80 000
cm3
3
soit 83 776 cm3 (arrondi au cm3)
16 000
cm3
3
* Je calcule le volume total du solide.
Correction ex 4 : Q2
2. Raisonnement possible
a) Calcul de BA en utilisant cosinus 30°
dans le triangle rectangle AOB.
b) Calcul de l’angle OBA (somme des
angles d’un triangle)
c) Calcul de OB en utilisant cosinus OBA
dans le triangle rectangle AOB.
d) OC = OB (rayon d’un même cercle)
e) OC  2,9 cm (arrondi au millimètre)
EXERCICE 7
On donne : AB = 7,5 cm BC = 9 cm AC = 6 cm AE = 4 cm BF = 6 cm
(DE) // (BC)
E
D
Les points F, B et C sont alignés.
1. Calculer AD.
A
2. Les droites (EF) et (AB) sont-elles parallèles ?
B
F
C
EXERCICE 7 corrigé .................................................................................................................... (6 points)
1. Par les données, les points E, A et c sont alignés ainsi que les points D, A et B ; les droites (ED) et
(BC) sont parallèles.
Le théorème de Thalès appliqué aux triangles AED et ABC ainsi formés me permet d’écrire :
AE AD ED
4 AD ED
AC = AB = BC , ce qui donne 6 = 7,5 = 9
AD =
E
4  7,5
6
D
A
AD = 5 cm
2. Par les données, les points C, B et F sont alignés dans le
même ordre que les points C, A et E.
On a donc :
F
B
CF = CB + BF
CE = CA + AE
CF = 9 + 6
CE = 6 + 4
CF = 15 cm
CE = 10 cm
C
CA
3
Je calcule CE = 5
CB
9
3
Je calcule CF = 15 = 5
CA
CB
3
Je constate que CE = CF = 5
La réciproque du théorème de Thalès me permet d’affirmer que
les droites (AB) et (EF) sont parallèles .
Ex 1 Q6 : Résoudre l’équation suivante :
Corrigé :
x–1 x+1 3
2 + 3 =2
3 (x – 1) 2 (x + 1) 3  3
+
= 6
6
6
3x – 3 +2x + 2 = 9
5x – 1 = 9
5x = 10
x=2
x–1 x+1 3
2 + 3 =2