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1.6. Th´eor`eme.
N
X
n=1
1
n= log N+γ+O(1/N)
o`u
γ= lim
m→∞m
X
n=1
1
n−log m= 0,5772156...
§2. Fonctions arithm´etiques
2.1. Fonction d’Euler φ(n).Notation: [1, n] = {1,...,n}.
Xn={m∈[1, n]|(m, n) = 1}
Par d´efinition,
φ(n) = Card Xn
Exercice. Calculez φ(pk).
2.2. Th´eor`eme. Soit n=Qr
i=1 pai
ila d´ecomposition en nombres premiers.
Alors
φ(n)
n=
r
Y
i=1
(1 −p−1) = Y
p|n
(1 −p−1)
Preuve. Soit
Ei={m∈[1, n]|pi|m},1≤i≤r.
Alors
φ(n) = Card([1, n]\ ∪iEi)
2.2.1. Formule d’inclusion - exclusion. Soient B1,...,Brdes ensembles
finis. Alors
Card(∪r
i=1Br) =
r
X
i=1
Card Bi−X
1≤i<j≤r
Card(Bi∩Bj)+
X
1≤i<j<k≤r
Card(Bi∩Bj∩Bk)−...+ (−1)r−1Card(B1∩...∩Br)
Exercice.