SERIES GENERATRICES Partie III. Fonctions arithmétiques et

SERIES GENERATRICES
Partie III. Fonctions arithmétiques et séries de Dirichlet
Printemps 2012
NOMS
Leonard EULER (1707 - 1783)
Bernhard RIEMANN (1826 - 1866)
1
2
§1. Fonction zêta de Riemann
1.1. Définition.
∞
X
1
, s > 1.
ζ(s) =
s
n
n=1
1.2. Théorème (Euler).
∞
X
1
π2
ζ(2) =
=
n2
6
n=1
Preuve. Utilisez
sin x = x
∞ Y
n=1
x2
1− 2 2 , x∈C
nπ
1.3. Théorème (Euler).
ζ(s) =
1
1 − p−s
Y
p premier
Corollaire. Il existe un nombre infini de nombres premiers.
Voici un résultat plus précis:
1.4. Théorème (Euler) Soit P = {p1 , p2 , . . .} l’ensemble de nombres premiers.
La série
X1
p∈P
p
diverge.
Preuve. On va utiliser le fait que
n
X
1
Hn :=
∼ log n,
i
i=1
cf. 1.5 ci-dessous.
En général, il est souvent vrai que
Z
n
X
f (i) ∼
i=1
n
f (t)dt
1
Il s’en suit qu’il existe C telle que
log Hn ≥ log log n − C
3
On a
π(n)
Hn ≤
Y
i=1
−1
(1 − p−1
i ) ,
d’où
π(n)
n
∞
X
1 XX 1
+
log log n − C ≤
p
jpji
i=1 j=2
i=1 i
Or
n X
∞
∞
n X
∞
X
X
X
1
1
2
≤ C2 ,
≤
≤
j
j
2
n
jp
p
i
i
n=1
i=1 j=2
i=1 j=2
car
∞
X
1
= p−2 (1 − p−1 )−1 ≤ 2/p2 ,
j
p
j=2
d’où
π(n)
X
1
≥ log log n − C3
p
i=1 i
1.4. Théorème. Lorsque s → 1+,
(a)
ζ(s) =
(b)
1
+ O(1)
s−1
1
+ O(s − 1)
s−1
X 1
log ζ(s) =
+ O(1)
ps
p∈P
log ζ(s) = log
(c)
ζ ′(s) = −
1
+ O(1)
(s − 1)2
Preuve. (a)
ζ(s) =
∞
X
n=1
Or
−s
n
=
Z
∞
Z
∞
−s
x dx +
1
n=1
x−s dx =
1
∞ Z
X
n+1
n
1
s−1
(n−s − x−s )dx
4
lorsque s > 1. D’un autre côté
−s
0<n
−s
−x
Z
=
lorsque n < x < n + 1. Donc
∞ Z n+1
X
−s−1
st
dt < s
n
n+1
Z
t−2 dt <
n
−s
(n
n
n=1
x
−s
− x )dx < s
∞
X
n−2 ,
n=1
ce qui entraine (a). 1.5. Constante d’Euler - Mascheroni.
1.5.1. Lemme.
Preuve.
Or
Z N
N
X
1
[t]
=1+
dt
2
n
t
1
n=1
N
−1 N
X
X
1
1
1
+1
n
=
−
n
n
n
+
1
n=1
n≤x
Z n+1
1
[t]
1
=
−
dt
n
n n+1
t2
n
Il s’en suit:
N
X
1
= log N + γ + E(N)
n
n=1
où
γ =1−
et
Z
0≤
Z
1
∞
1
t − [t]
dt
t2
∞
t − [t]
dt
t2
N
Z ∞
t − [t]
1
dt ≤
dt = 1,
2
t
t2
1
E(N) =
On a
∞
Z
d’où
D’un autre côté
0≤γ≤1
0 ≤ E(N) ≤
Il s’en suit
Z
∞
N
1
dt = 1/N
t2
s
n2
5
1.6. Théorème.
N
X
1
= log N + γ + O(1/N)
n
n=1
où
X
m
1
− log m = 0, 5772156...
γ = lim
m→∞
n
n=1
§2. Fonctions arithmétiques
2.1. Fonction d’Euler φ(n). Notation: [1, n] = {1, . . . , n}.
Par définition,
Xn = {m ∈ [1, n]| (m, n) = 1}
φ(n) = Card Xn
Exercice. Calculez φ(pk ).
Q
2.2. Théorème. Soit n = ri=1 pai i la décomposition en nombres premiers.
Alors
r
Y
φ(n) Y
=
(1 − p−1 ) =
(1 − p−1 )
n
i=1
p|n
Preuve. Soit
Ei = {m ∈ [1, n]| pi |m}, 1 ≤ i ≤ r.
Alors
φ(n) = Card([1, n] \ ∪i Ei )
2.2.1. Formule d’inclusion - exclusion. Soient B1 , . . . , Br des ensembles
finis. Alors
Card(∪ri=1 Br )
=
r
X
i=1
X
1≤i<j<k≤r
Exercice. Card Bi −
X
1≤i<j≤r
Card(Bi ∩ Bj )+
Card(Bi ∩ Bj ∩ Bk ) − . . . + (−1)r−1 Card(B1 ∩ . . . ∩ Br )
6
Remarquons que
Card(Ei1 ∩ . . . ∩ Eiq ) =
Il en découle:
n
p i1 . . . p iq
Xn X n
+
−... =
p
p
p
i
i
j
i
i<j
r
Y
1
=n
1−
pi
i=1
φ(n) = n −
2.2.2. Corollaire. Si (m, n) = 1, φ(mn) = φ(m)φ(n).
2.3. Fonction de Möbius µ : N∗ −→ {0, 1, −1}. Par définition φ(n) = (−1)r
si n est un produit de r facteurs premiers distincts; en particulier µ(1) = 1. S’il
existe un premier p tel que p2 |n alors on pose µ(n) = 0.
2.4. Lemme.
X
µ(d) = 0
d|n
si n > 1, et = 1 si n = 1.
Preuve: exercice.
2.5. Théorème (formule d’inversion de Möbius). (a) Étant données deux
fonctions f, g : N∗ −→ C, alors
X
g(n) =
f (d)
(2.5.1)
d|n
ssi
f (n) =
X
µ(d)g(n/d).
(2.5.2)
d|n
(b) Étant données deux fonctions f, g : R+ −→ C, f (x) = g(x) = 0 pour
x < 1, alors
X
g(x) =
f (x/n)
(2.5.3)
n≥1
ssi
f (x) =
X
µ(n)g(x/n).
n≥1
2.6. Théorème. (i)
X
d|n
φ(d) = n
(2.5.4)
7
(ii)
φ(n) =
X
dµ(n/d)
d|n
Preuve. (i) Pour d|n soit Yd l’ensemble de m ∈ [1, n] tels que (n, m) = d.
Alors
a
[1, n] =
Yd
d|n
Par ailleurs
∼
Yd = Xn/d , m 7→ m/d.
En effet, les éléments de Yd sont dm′ où (m′ , n) = 1. Donc
X
X
n=
φ(n/d) =
φ(d)
d|n
d|n
(ii) est une conséquence de (i) et de l’inversion de Möbius. 2.7. Fonctions σk (n).
σk (n) =
X
dk
d|n
d(n) := σ0 (n) =
X
1; σ(n) := σ1 (n)
d|n
On remarque que
σk (mn) = σk (m)σk (n),
µ(mn) = µ(m)µ(n)
et
φ(mn) = φ(m)φ(n)
et si (m, n) = 1. De telles fonctions sont appelées multiplicatives.
Q
2.8. Théorème. Si n = ri=1 pai i ,
σk (n) =
r
k(a +1)
Y
p i −1
i
i=1
et
pki − 1
r
Y
d(n) =
(ai + 1)
i=1
Preuve. Les diviseurs de n sont
r
Y
pbi i , 0 ≤ bi ≤ ai ,
i=1
(2.8.1)
(2.8.2)
8
d’où (2.8.2).
Ensuite,
σk (n) =
X
kbr
1
=
pkb
1 . . . pr
bi ∈[0,ai ]
=
r
Y
(1 +
pki
+ ...+
i
pka
i )
i=1
=
r
k(a +1)
Y
p i −1
i
i=1
pki − 1
.
2.8. Fonction Λ(n).
Λ(n) = log p, si n = pm , = 0 sinon
2.9. Théorème. (a)
log n =
X
Λ(d)
d|n
(b)
Λ(n) =
X
µ(n/d) log d
d|n
2.10. Convolution. Soit F = {f : N∗ −→ C}.
Pour f, g ∈ F définissons f ∗ g ∈ F par
X
f ∗ g(n) =
f (d)g(n/d)
d|n
et f + g par (f + g)(n) = f (n) + g(n).
Cela munit F d’une structure d’un anneau commutatif, associatif avec l’unité
u = δ1 : u(1) = 1, u(n) = 0 pour n > 1.
Exercice. Montrez que l’inverse v = µ−1 dans F est donnée par v(n) = 1,
tout n.
Pour f ∈ F, calculez µ ∗ f et v ∗ f et en déduisez la formule d’inversion de
Möbius.
§3. Séries de Dirichlet
3.1. Étant donnée f ∈ F on lui associe une série de Dirichlet
∞
X
f (n)
D(f ) =
ns
n=1
9
Exercice. Montrez que
D(f ∗ g) = D(f )D(g)
3.2. Théorème. (a)
∞
X µ(n)
1
=
, s>1
ζ(s) n=1 ns
(b)
∞
ζ(s − 1) X φ(n)
=
, s>2
ζ(s)
ns
n=1
(c)
∞
d log ζ(s)
ζ ′ (s) X Λ(n)
−
=−
=
ds
ζ(s)
ns
n=1
Preuve. (a) et la conséquence de v ∗ µ = u.
(b) On remarque que
ζ(s − 1) = D(w)
où w(n) = n. Donc (b) est la conséquence de φ = w ∗ µ, cf. 2.6 (ii). 3.3. Théorème.
ζ 2 (s) =
∞
X
d(n)
ns
n=1
, s>1
Preuve. v ∗ v(n) = d(n). 3.4. Théorème.
ζ(s)ζ(s − 1) =
∞
X
σ(n)
n=1
ns
, s>2
Preuve.
v∗w =σ
3.4.1. Exercice. Montrez que
ζ(s)ζ(s − k) =
∞
X
σk (n)
n=1
ns
, s>k+1
3.5. Théorème. Pour f (n), g(n) comme dans 2.5, posons
∞
X
f (n)
F (s) =
,
s
n
n=1
(3.1.1)
10
G(s) =
∞
X
g(n)
n=1
ns
.
Alors (2.5.1) est équivalente à
G(s) = ζ(s)F (s),
et (2.5.2) est équialente à
F (s) =
G(s)
.
ζ(s)
Une fonction f est dite multiplicative si f (1) = 1 et
f (mn) = f (m)f (n)
dès que (m, n) = 1.
3.5.1. Théorème. Si f est multiplicative alors
Y
D(f ) =
(1 + f (p)p−s + f (p2 )p−2s + . . .)
p premier
Preuve. Si
n=
Y
pi ai
i
est la décomposition en facteurs premiers alors
Y
f (pi ai )
f (n) =
i
L’égalité (3.5.1.1) s’en suit. 3.6. Théorème.
∞
X |µ(n)|
ζ(s)
=
, s > 1.
ζ(2s) n=1 ns
On remarque que
q(n) := |µ(n)| = 1
si n est libre de carrés (quadratferei), = 0 sinon.
Preuve.
Y 1 − p−2s Y
ζ(s)
=
=
(1 + p−s )
−s
ζ(2s)
1
−
p
p
p
Or,
1 + p−s = 1 + q(p)p−s + q(p2 )p−2s + . . .
car q(pk ) = 0 pour k ≥ 2.
La fonction q(n) est multiplicative, et on applique Thm 3.5.1. 11
Exercice. Montrez que
X
q(d) = 2n
d|n
3.7. Théorème. (Ramanujan)
∞
ζ 4 (s) X d(n)2
=
, s > 1.
ζ(2s) n=1 ns
Preuve.
Y 1 + p−s
ζ 4 (s) Y 1 − p−2s
=
=
ζ(2s)
(1 − p−s )4
(1 − p−s )3
p
p
3.7.1. Lemme.
∞
X
1+x
(n + 1)2 xn
=
(1 − x)3
n=0
Il s’en suit:
∞
∞
X
ζ 4 (s) Y X
=
(n + 1)2 p−ns =
an n−s
ζ(2s)
p n=0
n=0
où
b
Y
an =
(ai + 1)2 = d(n)2
i=1
pour n =
Qb
ai
i=1 pi .
Plus généralement,
3.7. Théorème. (Ramanujan) Si s, s − a, s − b, s − a − b > 1,
∞
ζ(s)ζ(s − a)ζ(s − b)ζ(s − a − b) X σa (n)σb (n)
=
ζ(2s − a − b)
ns
n=1
§4. Ordre de grandeur des fonctions arithmétiques
Notations:
f (x) = O(g(x)) veut dire que |f (x)| < Ag(x)
f (x) = o(g(x)) veut dire que f (x)/g(x) → 0
f (x) ∼ g(x) veut dire que f (x)/g(x) → 1,
lorsque x → ∞.
12
4.1. Théorème de nombres premiers. Soit
π(x) le nombre de nombres premiers ≤ x.
Alors
π(x) ∼
x
log x
C’est un théorème difficile.
Exemples. Pour x = 10, 106 , 109 on a
π(x) = 168, 78498, 50847478
et
[x/ log x] = 145, 72382, 48254942
4.2. Théorème.
n
X
i=1
d(i) ∼ n log n
On remarque que
n
X
i=1
log i ∼
Z
n
1
log xdx ∼ n log n
Preuve. Considérons le domaine sous l’hyperbole
Dn = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0, xy ≤ n}
et le réseau L = Z2 ⊂ R2 . Alors
n
n
X
X
d(i) = Card(Dn ∩ L) =
[n/i] =
i=1
i=1
=n
n
X
i=1
1
+ O(n) = n log n + O(n)
i
où on a utilisé Thm. 1.6. Voici une version plus forte de 4.2.
4.3. Théorème.
n
X
i=1
Ici
√
d(i) = n log n + (2γ − 1)n + O( n)
X
n
1
− log n
γ = lim
n→∞
n
i=1
est la constante d’Euler - Mascheroni.
13
4.4. Théorème.
n
X
π 2 n2
+ O(n log n)
12
σ(i) =
i=1
Preuve.
n
X
X
σ(i) =
i=1
j=
(i,j)∈Dn ∩L
n
=
n X
X
j=
i=1 j≤i/n
n
1X
1X
[n/i]([n/i] + 1) =
(n/i + O(1))2 =
2 i=1
2 i=1
n
n
X
n2 X 1
=
+O n
1/i + O(n);
2
2 i=1 i
i=1
Or,
∞
∞
n
X
X
X
1
1
1
=
−
2
2
i
i
i2
i=1
i=n+1
i=1
et
Z ∞
∞
X
dx
1
∼
∼ O(1/n)
2
2
i
n+1 x
i=n+1
Donc
n
X
1
π2
+
O(1/n)
=
+ O(1/n).
2
i
6
i=1
D’un autre côté
n
X
1/i = O(log n),
i=1
cf. 1.6. L’assertion du théorème 4.4 en suit. 4.5. Théorème.
n
X
φ(i) =
i=1
Preuve.
n
X
φ(i) =
n
X
[n/d]
µ(d)
=
2
d=1
X
e=1
d=1
n
1X
m
m=1
i=1
=
n
X
3n2
+ O(n log n)
π2
X
µ(d)/d =
d|m
X
eµ(d) =
de≤n
n
e=
1X
µ(d)([n/d]2 + [n/d]) =
2
d=1
n
n
X
n2 X µ(d)
µ(d)(n /d + O(n/d)) =
1/d) =
+ O(n
2 d=1 d2
d=1
2
2
14
Or,
n
∞
∞
X
6
n2 X µ(d)
n2 X µ(d)
2
1/d2 ) = 2 + O(n)
=
+ O(n
2
2
2 d=1 d
2 d=1 d
π
d=n+1
et
O(n
n
X
1/d) = O(n log n),
d=1
et le théorème en découle. 4.6. Théorème.
n
X
i=1
On remarque que
Preuve. Soit
Pn
i=1
|µ(i)| =
√
6n
+ O( n)
2
π
|µ(i)| est le nombre de nombres libres de carrés ≤ n.
Q(x) =
X
i≤x
|µ(i)|
Soit Sd l’ensemble de nombres naturels n ≤ y 2 dont le facteur le plus grand carré
est d2 . Alors
Card Sd = Q(y 2 /d2 )
et
X
[y 2 ] =
Q(y 2/d2 )
d≤y
Il s’en suit
Q(y 2) =
X
µ(d)[y 2/d2 ] =
d≤y
X
µ(d)(y 2/d2 + O(1)) = y 2
d≤y
X
µ(d)/d2 + O(y) =
X
d−2 ) + O(y)
d≤y
y2
∞
X
µ(d)/d2 + O(y 2
d>y
d=1
Or,
X
d−2 = O(1/y)
d>y
(exercice.)
Il s’en suit que
Q(y 2 ) =
y2
+ O(y).
ζ(2)
15
§5. Nombres de Bernoulli et formule d’Euler - Maclaurin
5.1. Nombres de Bernoulli sont définis par une série génératrice:
∞
X
Bn n
x
=
x ,
ex − 1 n=0 n!
Exercice. Montrer que B2n+1 = 0 pour n > 0.
Voici quelques premières valeurs:
1
1
1
B0 = 1, B1 = − , B2 = , B4 = − ,
2
6
30
1
1
5
691
B6 = , B8 = − , B10 = , B12 = −
42
30
66
2730
5.2. Polynômes de Bernoulli. On définit les polynômes Bn (t) (n ≥ 0) par
la série génératrice:
∞
X
xetx
Bn (t) n
=
·x
x
e − 1 n=0 n!
Exercice. Montrez que: (i)
Bn (t) =
n X
n
k=0
k
Bn−k tk
(ii) Bn′ (t) = nBn−1 (t)
(iii) Bn (t + 1) − Bn (t) = ntn−1 . En déduire que
k
X
i=1
in =
Bn+1 (k + 1) − Bn+1 (0)
n+1
(5.2.1)
Considérez les cas n = 1, 2 explicitement.
Pn−1 n (iv)
m=0 m Bm = 0 pour n > 1, ce qui permet de calculer les Bn par
recurrence. (Utilisez (iii) avec t = 0).
5.3. Théorème (Euler).
ζ(2n) = (−1)n+1
22n−1 B2n 2n
·π ,
(2n)!
5.4. Théorème (Euler - Maclaurin). Pour tout f ∈ R[x] et n ∈ N on a
f (1) + f (2) + . . . + f (n) =
16
=
Z
0
n
∞
X B2p
1
(f (2p−1) (n) − f (2p−1) (0))
f (t)dt + (f (n) − f (0)) +
2
(2p)!
p=1
Preuve (ésquise, cf. [W], pp. 258 - 259). Cherchons un polynôme S(x) tel
que
S(x) − S(x − 1) = f (x).
Si D = d/dx alors
S(x − 1) = e−D S(x)
donc
f (x) = (1 − e−D )S(x)
Il s’en suit
S(x) = (1 − e−D )−1 = (b0 D −1 + b1 + b2 D + ...)f (x)
où les bn sont définis par la série génératrice
∞
X
t
bn n
=
t ,
−t
1−e
n!
n=0
i.e. b0 = 1, b1 = 1/2, bn = Bn , n ≥ 2.
Cela donne
S(x) =
Z
x
0
∞
X
1
Bm (m)
f (x) + C
f (t)dt + f (x) +
2
m!
m=1
La condition supplémentaire S(0) = 0 donne la valeur de la constante C, et on
l’en déduit
Z x
∞
X
1
Bm (m)
S(x) =
f (t)dt + (f (x) − f (0)) +
(f (x) − f (m) (0))
2
m!
0
m=1
5.4. Théorème (Euler).
ζ(2n) = (−1)n+1
22n−1 B2n 2n
·π ,
(2n)!
§6. Formule d’Euler - Maclaurin. II.
6.1. Étudions maintenant le cas de fonctions pas forcement polynômielles, cf.
[AAR], Appendix D.
17
Soit f ∈ C 1 ([1, ∞)). On a
Z j+1
1
(f (j) + f (j + 1)) =
((x − j − 1/2)f (x))′ dx
2
j
Z j+1
Z j+1
=
f (x)dx +
(x − j − 1/2)f ′ (x)dx
j
En sommant
Pn
j=1 ,
j
il s’en suit:
6.2. Théorème.
n
X
j=2
f (j) + B1 · (f (n) − f (1)) =
n−1
X
1
f (j) + (f (1) + f (n)) =
2
j=2
Z
n
f (x)dx +
1
Z
n
1
B1 (x − [x])f ′ (x)dx
où
B1 (x) = x − 1/2
est le premier polynôme de Bernoulli. 6.3. Formule de Stirling. Faisons f (x) = log x dans 6.2:
Z n
B1 (x − [x])
dx
log n! − (n + 1/2) log n + n = 1 +
x
1
La fonction B1 (x − [x]) est périodique de période 1 et
Z j+1
B1 (x − [x])dx = 0, j ∈ Z
j
En faisant l’intégration par parties, on en déduit que la limite
Z n
B1 (x − [x])
dx
lim
n→∞ 1
x
existe et est finie. Notons-le C − 1. Donc,
lim (log n! − (n + 1/2) log n + n) = C
n→∞
On peut montrer que
C=
1
log 2π
2
√
−1/2
Donc
n! ∼
2πn
n
n
e
(6.1.1)
18
6.4. Plus généralement, si f ∈ C k ([1, ∞)),
Z n
n
k
X
X
Bj
· (f (j−1) (n) − f (j−1) (1))
f (j) =
f (x)dx +
(−1)j
j!
1
j=2
j=1
Z
(−1)k−1 n
(j−1) )
+
Bk (x − [x])f (k
(x)dx
k!
1
Bibliographie
[AAR] G.Andrews, R.Askey, R.Roy, Special functions.
[HW] G.H.Hardy, E.M.Wright, Introduction to the theory of numbers, Chapitres
XVI - XVIII.
[RW] G.-P.Ramis, A.Warusfel, Cours de mathématiques pures et appliquées,
Vol. 1, Première Partie, Chapitre 5.
[W] A.Weil, Number theory, An approach through history.