SERIES GENERATRICES Partie III. Fonctions arithmétiques et

SERIES GENERATRICES
Partie III. Fonctions arithm´etiques et s´eries de Dirichlet
Printemps 2012
NOMS
Leonard EULER (1707 - 1783)
Bernhard RIEMANN (1826 - 1866)
1

2
§1. Fonction zˆeta de Riemann
1.1. D´efinition.
ζ(s) =
∞
X
n=1
1
ns, s > 1.
1.2. Th´eor`eme (Euler).
ζ(2) =
∞
X
n=1
1
n2=π2 6
Preuve. Utilisez
sin x=x
∞
Y
n=11−x2
n2π2, x ∈C
1.3. Th´eor`eme (Euler).
ζ(s) = Y
ppremier
1
1−p−s
Corollaire. Il existe un nombre infini de nombres premiers.
Voici un r´esultat plus pr´ecis:
1.4. Th´eor`eme (Euler) Soit P={p1, p2,...}l’ensemble de nombres premiers.
La s´erie
X
p∈P
1
p
diverge.
Preuve. On va utiliser le fait que
Hn:=
n
X
i=1
1
i∼log n,
cf. 1.5 ci-dessous.
En g´en´eral, il est souvent vrai que
n
X
i=1
f(i)∼Zn
1
f(t)dt
Il s’en suit qu’il existe Ctelle que
log Hn≥log log n−C

3
On a
Hn≤
π(n)
Y
i=1
(1 −p−1
i)−1,
d’o`u
log log n−C≤
π(n)
X
i=1
1
pi
+
n
X
i=1
∞
X
j=2
1
jpj
i
Or n
X
i=1
∞
X
j=2
1
jpj
i≤
n
X
i=1
∞
X
j=2
1
pj
i≤
∞
X
n=1
2
n2≤C2,
car ∞
X
j=2
1
pj=p−2(1 −p−1)−1≤2/p2,
d’o`u
π(n)
X
i=1
1
pi≥log log n−C3
1.4. Th´eor`eme. Lorsque s→1+,
(a)
ζ(s) = 1
s−1+O(1)
(b)
log ζ(s) = log 1
s−1+O(s−1)
log ζ(s) = X
p∈P
1
ps+O(1)
(c)
ζ′(s) = −1
(s−1)2+O(1)
Preuve. (a)
ζ(s) =
∞
X
n=1
n−s=Z∞
1
x−sdx +
∞
X
n=1 Zn+1
n
(n−s−x−s)dx
Or Z∞
1
x−sdx =1
s−1

4
lorsque s > 1. D’un autre cˆot´e
0< n−s−x−s=Zx
n
st−s−1dt < s Zn+1
n
t−2dt < s
n2
lorsque n < x < n + 1. Donc
∞
X
n=1 Zn+1
n
(n−s−x−s)dx < s
∞
X
n=1
n−2,
ce qui entraine (a). 
1.5. Constante d’Euler - Mascheroni.
1.5.1. Lemme. N
X
n=1
1
n= 1 + ZN
1
[t]
t2dt
Preuve. N
X
n≤x
1
n=
N−1
X
n=1
n1
n−1 n+ 1+ 1
Or
n1
n−1 n+ 1=Zn+1
n
[t]
t2dt
Il s’en suit: N
X
n=1
1
n= log N+γ+E(N)
o`u
γ= 1 −Z∞
1
t−[t]
t2dt
et
E(N) = Z∞
N
t−[t]
t2dt
On a
0≤Z∞
1
t−[t]
t2dt ≤Z∞
1
1
t2dt = 1,
d’o`u
0≤γ≤1
D’un autre cˆot´e
0≤E(N)≤Z∞
N
1
t2dt = 1/N
Il s’en suit

5
1.6. Th´eor`eme.
N
X
n=1
1
n= log N+γ+O(1/N)
o`u
γ= lim
m→∞m
X
n=1
1
n−log m= 0,5772156...
§2. Fonctions arithm´etiques
2.1. Fonction d’Euler φ(n).Notation: [1, n] = {1,...,n}.
Xn={m∈[1, n]|(m, n) = 1}
Par d´efinition,
φ(n) = Card Xn
Exercice. Calculez φ(pk).
2.2. Th´eor`eme. Soit n=Qr
i=1 pai
ila d´ecomposition en nombres premiers.
Alors
φ(n)
n=
r
Y
i=1
(1 −p−1) = Y
p|n
(1 −p−1)
Preuve. Soit
Ei={m∈[1, n]|pi|m},1≤i≤r.
Alors
φ(n) = Card([1, n]\ ∪iEi)
2.2.1. Formule d’inclusion - exclusion. Soient B1,...,Brdes ensembles
finis. Alors
Card(∪r
i=1Br) =
r
X
i=1
Card Bi−X
1≤i<j≤r
Card(Bi∩Bj)+
X
1≤i<j<k≤r
Card(Bi∩Bj∩Bk)−...+ (−1)r−1Card(B1∩...∩Br)
Exercice. 