On quasi-invariant measures in topological vector spaces

On quasi-invariant measures in topological
vector spaces
H. Hogbe Nlend
Abstract
We give a complete solution of the fundamental problem of existence of
quasi-invariant measures in infinite dimensional vector spaces considered and
partially solved by I.M. Gelfand in 1967 [4]. Our general result shows
particularly that in all infinite dimensional usual vector spaces, in particular,in
all Fr´echet, Banach or Hilbert spaces and in all spaces of distributions, the
only quasi-invariant measure is null measure.
R´esum´e
Nous donnons une solution compl`ete au probl`eme fondamental de l’existence
des mesures quasi-invariantes dans les espaces vectoriels de dimension infinie,
probl`eme pos´e et partiellement r´esolu par I.M. Gelfand en 1967 [4]. Notre
r´esultat g´en´eral montre notamment que dans tous les espaces vectoriels usuels
de dimension infinie, en particulier, dans tous les espaces de Fr´echet, Banach
ou Hilbert et dans tous les espaces de distributions, la seule mesure quasi-
invariante est la mesure nulle.
0 Introduction
Dans [4], I. M. Gelfand a d´emontr´eleth´eor`eme suivant : Soit Eun espace de
Fr´echet de dimension infinie sur le corps des r´eels, s´eparable et tel que l’enveloppe
convexe ´equilibr´ee de tout compact de Eest rare dans E. Alors la seule mesure
quasi-invariante sur Eest la mesure nulle ([4] page 352, th. 4).
Received by the editors July 1996.
Communicated by J. Schmets.
1991 Mathematics Subject Classification : 28C20, 46G12.
Key words and phrases : quasi-invariant measures, infinite dimensional spaces.
Bull. Belg. Math. Soc. 4 (1997), 613–616

614 H. Hogbe Nlend
Le but de la pr´esente Note est d’am´eliorer ce r´esultat en le d´emontrant pour tous
les espaces de Fr´echet de dimension infinie et en particulier pour tous les espaces de
Banach et espaces de Hilbert de dimension infinie, sans aucune condition restrictive
particuli`ere et de l’´etendre `a une vaste classe d’espaces vectoriels topologiques comprenant
pratiquement tous les espaces usuels de l’Analyse math´ematique en dimension infinie.
Soit Eun espace vectoriel topologique s´epar´e sur le corps des nombres r´eels.
Rappelons qu’une mesure positive sur Eest dite σ-finie si Eest r´eunion d’une suite
de parties de mesures finies. Une mesure µ, positive σ-finie, sur Eest une mesure
quasi-invariante si pour toute partie Ade Ede µ-mesure nulle, ses translat´ees x+A
pour tout x∈Esont aussi de µ-mesure nulle.
Sauf mention expresse du contraire, notre terminologie est celle de N. Bourbaki
en ce qui concerne les espaces vectoriels topologiques et les bornologies [1],[2] et la
th´eorie de la mesure dans les espaces topologiques non localement compacts [3]. Les
espaces vectoriels consid´er´es sont de dimension infinie sur le corps des r´eels.
1Leth
´
eor` eme principal et ses premi` eres cons´ equences
Th´eor`eme 1 :Soit Eun espace localement convexe s´epar´e de dimension infinie
et soit µune mesure quasi-invariante sur E.
a) Si Eest ultrabornologique, tout disque compact de Eest de µ-mesure nulle.
b) Si Eest limite inductive d’une suite strictement croissante de sous espaces
vectoriels bor´eliens, l’espace Etout entier est de µ-mesure nulle.
Enon¸cons tout de suite les premi`eres cons´equences de ce r´esultat g´en´eral.
Corollaire 1 :Dans tout espace ultrabornologique quasi-complet et en particulier
dans tout espace de Fr´echet de dimension infinie , ou dans tout espace de Banach
ou de Hilbert de dimension infinie, la seule mesure quasi-invariante est la mesure
nulle.
Corollaire 2 :Dans tout espace dual de Fr´echet, de dimension infinie, la seule
mesure quasi-invariante est la mesure nulle.
Corollaire 3 :Dans tout espace (LF )de dimension infinie, limite inductive
stricte d´enombrable d’espaces de Fr´echet, la seule mesure quasi-invariante est la
mesure nulle.
Corollaire 4 :Soit Ele dual fort d’un espace nucl´eaire complet de dimension
infinie. Si Eest quasi-complet, la seule mesure quasi-invariante sur Eest la mesure
nulle.
En particulier dans les huit principaux espaces de la th´eorie des distributions :
D,E,S,E0,S0,D0,OM,O0
C,... la seule mesure quasi-invariante est la mesure nulle.

On quasi-invariant measures in topological vector spaces 615
2D
´
emonstrations du th´ eor` eme principal et des corollaires
a) Soit Eun espace localement convexe s´epar´e ultrabornologique de dimension
infinie. Supposons qu’il existe Kun disque compact de Etel que µ(K)6=0.Alors
l’espace vectoriel EKengendr´eparKet norm´eparlajaugedeKest un espace de
Banach et une partie bor´elienne de E,r´eunion d´enombrable des bor´eliens nK,n
entier ≥1. Donc µ(EK)6=0.
Par ailleurs EK6=E. En effet, sinon l’identit´eE→EKserait une bijection
lin´eaire dont l’inverse est continue donc serait continue en vertu du th´eor`eme du
graphe ferm´e, puisque Eest suppos´e ultrabornologique [1] ou [2]. Donc Eet EK
seraient topologiquement isomorphes et parsuite Kqui est compact dans Eserait
compact dans EK;doncEKserait de dimension finie et parsuite Eserait de dimension
finie ce qui est contraire `a l’hypoth`ese. Donc EK6=E.
Comme µ(EK)6=0,µ(x+EK)6= 0 pour tout x∈Epar hypoth`esedequasi-
invariance de la mesure µ.Consid´erons l’espace quotient E/EK. Cet espace vectoriel
est de dimension ≥1 sur le corps des r´eels, donc a la puissance du continu. Tout
point ˙x=x+EKde E/EKavec x∈Eestdoncdemesure>0. L’ensemble de ces
points forme une partition infinie non d´enombrable de parties de Ede mesures non
nulles, ce qui est impossible en vertu de la propri´et´edeσ-finitude de la mesure µ.
En conclusion tout disque compact de Eest de µ-mesure nulle, ce qui ach`eve la
d´emonstration de la premi`ere partie du th´eor`eme 1.
b) Supposons que Esoit une limite inductive d’une suite strictement croissante (En)
de sous-espaces vectoriels bor´eliens, autrement dit E=∪∞
n=0 Enet En⊆En+1,
En6=En+1 ,et Enbor´elien de E.
Supposons µ(E)6= 0. Alors puisque µest d´enombrablement additive, il existe
un entier m≥1telqueµ(Em)6= 0. On obtient la contradiction comme dans le
raisonnement du premier cas a) en consid´erant l’espace quotient E/Emcar Em6=
Em+1 entraine Em6=E; on conclue alors que µ(E)=0,cequiach`eve la d´emonstration
du th´eor`eme 1.
c) Passons `alad´emonstration des corollaires.
De mani`ere g´en´erale la mesure de l’espace tout entier Eest la borne sup´erieure
des mesures de ses compacts en vertu de la propri´et´eder´egularit´eint´erieure des
mesures [3].
Le th´eor`eme 1,a) entraine donc que tout espace localement convexe s´epar´e, de
dimension infinie, ultrabornologique dont tout compact est contenu dans un disque
compact est de µ-mesure nulle. Il en est ainsi de tout espace de Fr´echet ou de tout
espace (LF ), limite inductive stricte d’espaces de Fr´echet, puisque dans un tel espace
l’enveloppe convexe ´equilibr´ee ferm´ee d’un compact est encore compacte, d’o`ules
corollaires 1 et 3.
Le corollaire 2 est une cons´equence du th´eor`eme 1,b). En effet soit Eun espace
de Fr´echet. Son dual E0est r´eunion de la suite des espaces de Banach E0
no`uE0 nest
le sous espace de E0engendr´e par le polaire ∪0
nd’un voisinage de z´ero de E,avec
(∪n)unsyst`eme fondamental d´enombrable de voisinages de z´ero de E. Comme ∪0
n
est une partie ´equicontinue faiblement ferm´ee de E0,c’estunbor´elien de E0pour
toutes les topologies usuelles de E0,doncE0
nest un bor´elien de E0pour n’importe

616 H. Hogbe Nlend
laquelle de ces topologies. On peut donc appliquer le th´eor`eme 1,b) et obtenir le
corollaire 2.
Le corollaire 4 r´esulte du th´eor`eme 1,a) combin´eaveclesr´esultats suivants
[5] : Le dual fort d’un espace localement convexe s´epar´enucl´eaire complet est
ultrabornologique et si Eest quasi-complet, l’enveloppe convexe ´equilibr´ee de tout
compact de Eest encore compacte. Notons qu’il existe un espace nucl´eaire complet
dans le dual fort duquel il existe des suites de Cauchy non convergentes, d’o`ula
n´ecessit´e de l’hypoth`ese de quasi-compl´etude sur E(voir [5] th´eor`eme 1 et remarque
2).
R´ ef´ erences
[1] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Masson, Paris (1981).
[2] N. Bourbaki, Topological Vector Spaces, Springer-Verlag, (1987).
[3] N. Bourbaki, Int´egration, chap IX : Int´egration sur les espaces topologiques
s´epar´es, Hermann, Paris (1969).
[4] I.M. Gelfand & N.Y. Vilenkin, Applications de l’Analyse harmonique Les
distributions, Tome 4, Dunod, Paris, (1967).
[5] H. Hogbe Nlend, Sur un th´eor`emedeL.Schwartz,CRAS, Paris, T. 273,
(1971), 1130–1131.
H. Hogbe Nlend
Math´ematiques - Informatique
Universit´e Bordeaux I
351, Cours de la Lib´eration
33405 TALENCE / Bordeaux, France
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