On quasi-invariant measures in topological vector spaces 615
2D
´
emonstrations du th´
eor`
eme principal et des corollaires
a) Soit Eun espace localement convexe s´epar´e ultrabornologique de dimension
infinie. Supposons qu’il existe Kun disque compact de Etel que µ(K)6=0.Alors
l’espace vectoriel EKengendr´eparKet norm´eparlajaugedeKest un espace de
Banach et une partie bor´elienne de E,r´eunion d´enombrable des bor´eliens nK,n
entier ≥1. Donc µ(EK)6=0.
Par ailleurs EK6=E. En effet, sinon l’identit´eE→EKserait une bijection
lin´eaire dont l’inverse est continue donc serait continue en vertu du th´eor`eme du
graphe ferm´e, puisque Eest suppos´e ultrabornologique [1] ou [2]. Donc Eet EK
seraient topologiquement isomorphes et parsuite Kqui est compact dans Eserait
compact dans EK;doncEKserait de dimension finie et parsuite Eserait de dimension
finie ce qui est contraire `a l’hypoth`ese. Donc EK6=E.
Comme µ(EK)6=0,µ(x+EK)6= 0 pour tout x∈Epar hypoth`esedequasi-
invariance de la mesure µ.Consid´erons l’espace quotient E/EK. Cet espace vectoriel
est de dimension ≥1 sur le corps des r´eels, donc a la puissance du continu. Tout
point ˙x=x+EKde E/EKavec x∈Eestdoncdemesure>0. L’ensemble de ces
points forme une partition infinie non d´enombrable de parties de Ede mesures non
nulles, ce qui est impossible en vertu de la propri´et´edeσ-finitude de la mesure µ.
En conclusion tout disque compact de Eest de µ-mesure nulle, ce qui ach`eve la
d´emonstration de la premi`ere partie du th´eor`eme 1.
b) Supposons que Esoit une limite inductive d’une suite strictement croissante (En)
de sous-espaces vectoriels bor´eliens, autrement dit E=∪∞
n=0 Enet En⊆En+1,
En6=En+1 ,et Enbor´elien de E.
Supposons µ(E)6= 0. Alors puisque µest d´enombrablement additive, il existe
un entier m≥1telqueµ(Em)6= 0. On obtient la contradiction comme dans le
raisonnement du premier cas a) en consid´erant l’espace quotient E/Emcar Em6=
Em+1 entraine Em6=E; on conclue alors que µ(E)=0,cequiach`eve la d´emonstration
du th´eor`eme 1.
c) Passons `alad´emonstration des corollaires.
De mani`ere g´en´erale la mesure de l’espace tout entier Eest la borne sup´erieure
des mesures de ses compacts en vertu de la propri´et´eder´egularit´eint´erieure des
mesures [3].
Le th´eor`eme 1,a) entraine donc que tout espace localement convexe s´epar´e, de
dimension infinie, ultrabornologique dont tout compact est contenu dans un disque
compact est de µ-mesure nulle. Il en est ainsi de tout espace de Fr´echet ou de tout
espace (LF ), limite inductive stricte d’espaces de Fr´echet, puisque dans un tel espace
l’enveloppe convexe ´equilibr´ee ferm´ee d’un compact est encore compacte, d’o`ules
corollaires 1 et 3.
Le corollaire 2 est une cons´equence du th´eor`eme 1,b). En effet soit Eun espace
de Fr´echet. Son dual E0est r´eunion de la suite des espaces de Banach E0
no`uE0
nest
le sous espace de E0engendr´e par le polaire ∪0
nd’un voisinage de z´ero de E,avec
(∪n)unsyst`eme fondamental d´enombrable de voisinages de z´ero de E. Comme ∪0
n
est une partie ´equicontinue faiblement ferm´ee de E0,c’estunbor´elien de E0pour
toutes les topologies usuelles de E0,doncE0
nest un bor´elien de E0pour n’importe