On quasi-invariant measures in topological
vector spaces
H. Hogbe Nlend
Abstract
We give a complete solution of the fundamental problem of existence of
quasi-invariant measures in infinite dimensional vector spaces considered and
partially solved by I.M. Gelfand in 1967 [4]. Our general result shows
particularly that in all infinite dimensional usual vector spaces, in particular,in
all Fr´echet, Banach or Hilbert spaces and in all spaces of distributions, the
only quasi-invariant measure is null measure.
esum´e
Nous donnons une solution compl`ete au probl`eme fondamental de l’existence
des mesures quasi-invariantes dans les espaces vectoriels de dimension infinie,
probl`eme pos´e et partiellement r´esolu par I.M. Gelfand en 1967 [4]. Notre
esultat g´en´eral montre notamment que dans tous les espaces vectoriels usuels
de dimension infinie, en particulier, dans tous les espaces de Fechet, Banach
ou Hilbert et dans tous les espaces de distributions, la seule mesure quasi-
invariante est la mesure nulle.
0 Introduction
Dans [4], I. M. Gelfand a d´emontr´eleth´eor`eme suivant : Soit Eun espace de
Fr´echet de dimension infinie sur le corps des r´eels, eparable et tel que l’enveloppe
convexe ´equilibr´ee de tout compact de Eest rare dans E. Alors la seule mesure
quasi-invariante sur Eest la mesure nulle ([4] page 352, th. 4).
Received by the editors July 1996.
Communicated by J. Schmets.
1991 Mathematics Subject Classification : 28C20, 46G12.
Key words and phrases : quasi-invariant measures, infinite dimensional spaces.
Bull. Belg. Math. Soc. 4 (1997), 613–616
614 H. Hogbe Nlend
Le but de la pr´esente Note est d’am´eliorer ce esultat en le d´emontrant pour tous
les espaces de Fr´echet de dimension infinie et en particulier pour tous les espaces de
Banach et espaces de Hilbert de dimension infinie, sans aucune condition restrictive
particuli`ere et de l’´etendre `a une vaste classe d’espaces vectoriels topologiques comprenant
pratiquement tous les espaces usuels de l’Analyse math´ematique en dimension infinie.
Soit Eun espace vectoriel topologique s´epar´e sur le corps des nombres r´eels.
Rappelons qu’une mesure positive sur Eest dite σ-finie si Eest r´eunion d’une suite
de parties de mesures finies. Une mesure µ, positive σ-finie, sur Eest une mesure
quasi-invariante si pour toute partie Ade Ede µ-mesure nulle, ses translat´ees x+A
pour tout xEsont aussi de µ-mesure nulle.
Sauf mention expresse du contraire, notre terminologie est celle de N. Bourbaki
en ce qui concerne les espaces vectoriels topologiques et les bornologies [1],[2] et la
th´eorie de la mesure dans les espaces topologiques non localement compacts [3]. Les
espaces vectoriels consid´er´es sont de dimension infinie sur le corps des r´eels.
1Leth
´
eor`
eme principal et ses premi`
eres cons´
equences
Th´eor`eme 1 :Soit Eun espace localement convexe epar´e de dimension infinie
et soit µune mesure quasi-invariante sur E.
a) Si Eest ultrabornologique, tout disque compact de Eest de µ-mesure nulle.
b) Si Eest limite inductive d’une suite strictement croissante de sous espaces
vectoriels bor´eliens, l’espace Etout entier est de µ-mesure nulle.
Enon¸cons tout de suite les premi`eres cons´equences de ce r´esultat g´en´eral.
Corollaire 1 :Dans tout espace ultrabornologique quasi-complet et en particulier
dans tout espace de Fechet de dimension infinie , ou dans tout espace de Banach
ou de Hilbert de dimension infinie, la seule mesure quasi-invariante est la mesure
nulle.
Corollaire 2 :Dans tout espace dual de Fechet, de dimension infinie, la seule
mesure quasi-invariante est la mesure nulle.
Corollaire 3 :Dans tout espace (LF )de dimension infinie, limite inductive
stricte d´enombrable d’espaces de Fechet, la seule mesure quasi-invariante est la
mesure nulle.
Corollaire 4 :Soit Ele dual fort d’un espace nucl´eaire complet de dimension
infinie. Si Eest quasi-complet, la seule mesure quasi-invariante sur Eest la mesure
nulle.
En particulier dans les huit principaux espaces de la th´eorie des distributions :
D,E,S,E0,S0,D0,OM,O0
C,... la seule mesure quasi-invariante est la mesure nulle.
On quasi-invariant measures in topological vector spaces 615
2D
´
emonstrations du th´
eor`
eme principal et des corollaires
a) Soit Eun espace localement convexe s´epar´e ultrabornologique de dimension
infinie. Supposons qu’il existe Kun disque compact de Etel que µ(K)6=0.Alors
l’espace vectoriel EKengendr´eparKet norm´eparlajaugedeKest un espace de
Banach et une partie bor´elienne de E,r´eunion d´enombrable des bor´eliens nK,n
entier 1. Donc µ(EK)6=0.
Par ailleurs EK6=E. En effet, sinon l’identit´eEEKserait une bijection
lin´eaire dont l’inverse est continue donc serait continue en vertu du th´eor`eme du
graphe fere, puisque Eest suppos´e ultrabornologique [1] ou [2]. Donc Eet EK
seraient topologiquement isomorphes et parsuite Kqui est compact dans Eserait
compact dans EK;doncEKserait de dimension finie et parsuite Eserait de dimension
finie ce qui est contraire `a l’hypoth`ese. Donc EK6=E.
Comme µ(EK)6=0(x+EK)6= 0 pour tout xEpar hypoth`esedequasi-
invariance de la mesure µ.Consid´erons lespace quotient E/EK. Cet espace vectoriel
est de dimension 1 sur le corps des r´eels, donc a la puissance du continu. Tout
point ˙x=x+EKde E/EKavec xEestdoncdemesure>0. L’ensemble de ces
points forme une partition infinie non d´enombrable de parties de Ede mesures non
nulles, ce qui est impossible en vertu de la propri´et´edeσ-finitude de la mesure µ.
En conclusion tout disque compact de Eest de µ-mesure nulle, ce qui ach`eve la
emonstration de la premi`ere partie du th´eor`eme 1.
b) Supposons que Esoit une limite inductive d’une suite strictement croissante (En)
de sous-espaces vectoriels bor´eliens, autrement dit E=
n=0 Enet EnEn+1,
En6=En+1 ,et Enbor´elien de E.
Supposons µ(E)6= 0. Alors puisque µest d´enombrablement additive, il existe
un entier m1telqueµ(Em)6= 0. On obtient la contradiction comme dans le
raisonnement du premier cas a) en consid´erant l’espace quotient E/Emcar Em6=
Em+1 entraine Em6=E; on conclue alors que µ(E)=0,cequiach`eve la emonstration
du th´eor`eme 1.
c) Passons `alaemonstration des corollaires.
De mani`ere g´en´erale la mesure de l’espace tout entier Eest la borne sup´erieure
des mesures de ses compacts en vertu de la propri´et´eder´egularit´eint´erieure des
mesures [3].
Le th´eor`eme 1,a) entraine donc que tout espace localement convexe s´epar´e, de
dimension infinie, ultrabornologique dont tout compact est contenu dans un disque
compact est de µ-mesure nulle. Il en est ainsi de tout espace de Fechet ou de tout
espace (LF ), limite inductive stricte d’espaces de Fechet, puisque dans un tel espace
l’enveloppe convexe ´equilibr´ee ferm´ee d’un compact est encore compacte, d’o`ules
corollaires 1 et 3.
Le corollaire 2 est une cons´equence du th´eor`eme 1,b). En effet soit Eun espace
de Fr´echet. Son dual E0est r´eunion de la suite des espaces de Banach E0
no`uE0
nest
le sous espace de E0engendr´e par le polaire 0
nd’un voisinage de ero de E,avec
(n)unsyst`eme fondamental enombrable de voisinages de z´ero de E. Comme 0
n
est une partie ´equicontinue faiblement ferm´ee de E0,cestunbor´elien de E0pour
toutes les topologies usuelles de E0,doncE0
nest un bor´elien de E0pour n’importe
616 H. Hogbe Nlend
laquelle de ces topologies. On peut donc appliquer le th´eor`eme 1,b) et obtenir le
corollaire 2.
Le corollaire 4 r´esulte du th´eor`eme 1,a) combin´eaveclesr´esultats suivants
[5] : Le dual fort d’un espace localement convexe s´epar´enucl´eaire complet est
ultrabornologique et si Eest quasi-complet, l’enveloppe convexe ´equilibr´ee de tout
compact de Eest encore compacte. Notons qu’il existe un espace nucl´eaire complet
dans le dual fort duquel il existe des suites de Cauchy non convergentes, d’o`ula
ecessit´e de l’hypoth`ese de quasi-compl´etude sur E(voir [5] teor`eme 1 et remarque
2).
R´
ef´
erences
[1] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Masson, Paris (1981).
[2] N. Bourbaki, Topological Vector Spaces, Springer-Verlag, (1987).
[3] N. Bourbaki, Int´egration, chap IX : Int´egration sur les espaces topologiques
epar´es, Hermann, Paris (1969).
[4] I.M. Gelfand & N.Y. Vilenkin, Applications de l’Analyse harmonique Les
distributions, Tome 4, Dunod, Paris, (1967).
[5] H. Hogbe Nlend, Sur un th´eor`emedeL.Schwartz,CRAS, Paris, T. 273,
(1971), 1130–1131.
H. Hogbe Nlend
Math´ematiques - Informatique
Universit´e Bordeaux I
351, Cours de la Lib´eration
33405 TALENCE / Bordeaux, France
E.mail :h2n@math.U-bordeaux.fr
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