Structures algébriques - CPGE du Lycée Montesquieu

Chapitre 12
Structures algébriques
I
Introduction
1 – Remplir le tableau suivant. Par opérations, on entendra opérations de base. On pourra alors exclure la
multiplication dans N ou Z qui ne sont que des raccourcis de l’addition.
ensemble
{a, b, c}
N
Z
Q
R[X]
nbre d’opérations
opposé
inverse
Nous allons voir que ces différences permettent de décrire différents objets mathématiques que l’on appelle les
structures algébriques.
II
Définitions
II.1
Groupes
Définition 1 : Loi de composition interne
Soit E un ensemble quelconque. On appelle loi de composition interne (l.c.i.) sur E toute application dont l’ensemble de départ est E × E et l’ensemble d’arrivée est E. Le symbole de cette application est utilisé en notation infixe : on notera x y et non pas (x, y).
Exemple
— Sur N, l’addition est-elle une l.c.i. ?
— Sur Z, la division est-elle une l.c.i. ?
Remarque :On ne suppose rien sur le caractère ni injectif ni surjectif de l’application concernée.
On associera donc parfois un ensemble avec une loi de composition. On notera alors (E, ) pour parler de
l’ensemble E associé à la l.c.i. . On construira alors différentes structures.
Définition 2 :
Une loi de composition interne sur un ensemble E peut :
— être associative : ∀(x, y, z) ∈ E3 , (x y) z = x (y z) ;
— être commutative : ∀(x, y) ∈ E2 , x y = y x ;
— admettre un élément neutre : ∃e ∈ E; ∀x ∈ E, x e = e x = x ;
— être distributive par rapport à une autre l.c.i. ? : ∀(x, y, z) ∈ E3 , x (y ? z) = (x y) ? (x z).
La plupart des l.c.i. que l’on croisera seront et associatives, et commutatives.
1
CHAPITRE 12. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
II. DÉFINITIONS
Exemple
La composition des fonctions n’est pas commutative.
La l.c.i. sur N définie par ? : (a, b) 7→ ab est-elle associative ? commutative ?
Le produit vectoriel est une l.c.i. sur R3 . Est-il associatif ?
Définition 3 : Groupe
Soit E
—
—
—
un ensemble muni d’une l.c.i. . On dira que (E, ) est un groupe si :
admet un élément neutre dans E ;
est associative ;
tout élément de E admet un symétrique par : ∀x ∈ E, ∃y ∈ E; x y = y x = e
Lorsque la loi est commutative, on dira que le groupe est abélien. Suivant la notation employée, on appellera le
symétrique opposé (notation additive) et on le notera −x, ou inverse (notation multiplicative) et on le notera
x−1 . Souvent, les lois commutatives seront notées additivement.
2 – (N, +) est-il un groupe ? (Z, +) est-il un groupe ? (R∗ , ×) est-il un groupe ?
Définition 4 : Sous-groupe
Sois F une partie d’un ensemble E. Si (E, ) forme un groupe, (F, ) est un sous-groupe de E si :
— F est non vide ;
— si x est dans F, alors son symétrique est dans F ;
— F est stable par .
Autrement dit, la restriction de à F doit engendrer une l.c.i. sur F et lui donner la structure de groupe.
Exemple
(Z, +) est un sous-groupe de (Q, +), et (Q∗ , ×) est un sous-groupe de (R∗ , ×). Par contre, (N, +) n’est pas un
sous-groupe de (Z, +) bien que N soit un sous-ensemble de Z et que N soit stable par l’addition.
3 – L’ensemble des fonctions continues, associé à l’addition fonctionnelle forme-t-il un groupe ? L’ensemble
des fonctions continues, associé à la composition des fonctions, forme-t-il un groupe ? Quelle contrainte doit-on
ajouter pour former un groupe ?
Comment montrer proprement qu’un ensemble, muni d’une opération, est un groupe ? On peut soit énumérer toutes les propriétés une à une, et en particulier exhiber le symétrique et l’élément neutre et expliciter
l’associativité, ou alors se contenter de montrer que c’est un sous-groupe.
Propriété 1
Soit (E, ) un groupe et (F, ) un sous-groupe. Alors :
— (F, ) est un groupe ;
— l’élément neutre dans F est l’élément neutre dans E ;
— le symétrique dans F est le symétrique dans E.
4 – Montrer cette propriété.
5 – On sait que R∗ est un groupe, et que R est un groupe aussi (préciser les lois). Pour autant, a-t-on R∗ est
un sous-groupe de R ?
6 – Montrer que l’intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe.
7 – Qu’en est-il de l’union de deux sous-groupes ?
Exemple
Soit (G, ∗) un groupe, on note Z(G) l’ensemble {z ∈ G|∀x ∈ G, x ∗ z = z ∗ x} des éléments de G qui commutent
avec tous les éléments de G. Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G.
II.2
Groupe de permutations
On considère ici X un ensemble contenant n éléments.
Définition 5 :
On appelle permutation de X une bijection de l’ensemble X dans lui-même. On note SX l’ensemble des
permutations de X.
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8 – Combien peut-on construire de permutations d’un ensemble à 3 éléments ? à 4 éléments ? et à n éléments ?
Exemple
Donner toutes les permutations de {1, . . . , 3} et de {1, . . . , 4}.
9 – Montrer que si σ et σ 0 sont deux permutations d’un ensemble X, alors σ ◦ σ 0 est aussi une permutation de
l’ensemble X.
10 – Montrer que l’identité est un élément neutre pour la composition.
11 – Montrer que toute permutation admet un symétrique par la composition.
12 – Que peut-on dire de la structure de (SX , ◦) ?
II.3
Anneau, Corps
La plupart des ensembles que vous manipulez avec des opérations sont associés à au moins deux opérations
(addition, multiplication par exemple). Il existe des structures algébriques prenant en compte ces cas de figure.
Définition 6 : Anneau
Soit A un ensemble et +, ∗ deux lois de composition internes sur A. (A, +, ∗) est un anneau ssi le triplet
vérifie les conditions suivantes :
— (A, +) est un groupe abélien. On note le neutre 0A ;
— la loi ∗ est associative et possède un élément neutre dans A noté 1A ;
— la loi ∗ est distributive par rapport à la loi + :
∀(a, b, c) ∈ A3 , a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c et (b + c) ∗ a = b ∗ a + c ∗ a.
On dira qu’un anneau est commutatif si la deuxième loi est commutative.
On ne suppose ici rien sur l’existence d’éléments symétriques pour la loi ∗. Par exemple, (Z, +, ∗)
est un anneau, mais il n’y a pas toujours d’inverse pour la multiplication. Cependant, certains éléments, que l’on appellera éléments inversibles, ou unités, peuvent avoir un symétrique. Dans Z, 1 et
−1 ont un inverse, mais aucun autre élément n’en possède.
Définition 7 :
Le symétrique pour la première loi est appelé opposé, l’éventuel symétrique pour la seconde loi est appelé
inverse. On note a−1 l’inverse d’un élément a ∈ A. On pourra définir une soustraction par : a − b =
a + (−b) où −b désigne l’opposé de b.
Exemple
√
√
On note Z[ 2] = {a + b 2|(a, b) ∈ Z2 }. Montrer que c’est un anneau, lorsqu’il est munit de l’addition et de
la multiplication des réels.
13 – Le triplet (RR , +, ◦) est-il un anneau ?
Définition 8 :
Soit (A, +, ∗) un
— 1A ∈ B ;
— pour tous
— pour tous
Sous-anneau
anneau. Une partie B de A est un sous anneau si les conditions suivantes sont vérifiées :
(a, b) ∈ B2 , a − b ∈ B ;
(a, b) ∈ B2 , a ∗ b ∈ B.
14 – Montrer qu’un sous-anneau est un anneau.
Encore une fois, pour montrer qu’un triplet est un anneau, on se ramènera souvent à montrer que c’est un
sous-anneau d’un anneau bien connu.
Définition 9 : Corps
Un anneau (A, +, ∗) non réduit à {0A } dans lequel tout élément différent de 0A admet un inverse est appelé un corps. Nous ne considèrerons ici que des corps commutatifs, c’est à dire s’appuyant sur un anneau
commutatif : c’est notre définition d’un corps. Un sous-corps de A est un sous-anneau de A qui est à la
fois un corps.
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3
CHAPITRE 12. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
II. DÉFINITIONS
CHAPITRE 12. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
III. ARITHMÉTIQUE DANS Z
Exemple
(Q, +, ×), (R, +, ×) et (C, +, ×) sont des corps. Ce seront les seuls corps pour lesquels nous auront un intérêt.
II.4
Règles de calcul et notations
Nous allons voir dans ce paragraphe les différentes règles de calcul dans les groupes et les anneaux, ainsi que les
conséquences des définitions. Dans tout ce paragraphe, on considère un groupe (G, ?) et un anneau (A, +, ∗).
De façon générale, on utilisera la notation multiplicative pour les groupes, sauf dans le cas de groupes abéliens,
pour lesquels on s’autorisera la notation additive. On notera x0 = e, x2 = x ? x et plus généralement, xn =
|x ? x ?{z· · · ? x} (pour les groupes abéliens, nx = x + x + · · · + x).
n fois
15 – Soient x et y deux éléments de G. Montrer les égalités suivantes : (x ? y)−1 = y−1 ? x−1 , (x−1 )
n m
16 – Soit x un élément de G. Montrer les égalités suivantes : xm+n = xn ? xm , (x )
−1
= x.
= xmn .
17 – Soient x, y et z trois éléments de G. Montrer que si x ? z = x ? y alors z = y, et que si x ? y = e alors y
est le symétrique de x et réciproquement.
18 – Soient a et b deux éléments de A, montrer que l’on a les égalités suivantes : 0A ∗ a = a ∗ 0A = 0A et
(−a) ∗ b = a ∗ (−b) = −(a ∗ b)
P
19 – Montrer que le produit
∗ estPdistributif sur le symbole
, c’est-à-dire que si a, b1 , · · · , bn sont des
Pn
n
éléments de A, alors a ∗ k=1 bk = k=1 a ∗ bk .
20 – Dans le cas où l’anneau est commutatif, montrer la formule du binôme de Newton, ainsi que la formule
Pn−1
an − bn = (a − b) k=0 ak bn−1−k . Écrire cette dernière pour des petites valeurs de n (au moins jusqu’à 3),
et dans le cas où a ou b valent 1A .
III
Arithmétique dans Z
Dans la section précédente, nous avons vu que (Z, +) est un groupe, mais pas (Z, ×) car tous les éléments n’ont
pas un inverse. De la même manière, (Z, +, ×) est un anneau, mais pas un corps.
III.1
Division euclidienne et sous-groupes de Z
On commence par montrer deux résultats importants dans la suite :
Définition 10 : Division euclidienne dans Z
On élargit le champ d’action de la division euclidienne à Z tout entier : soit (a, b) ∈ Z × Z∗ deux entiers
relatifs, il existe un unique couple (q, r) ∈ Z2 tel que a = bq + r et 0 ≤ r < |b|.
21 – En remarquant qu’il existe un entier k tel que a+k|b| ≥ 0 et en effectuant sa division euclidienne naturelle
par |b|, montrer cette propriété.
Algorithme de division euclidienne dans N :
Algorithme 1 : Algorithme de division euclidienne
Entrées : a,b deux entiers
Sorties : Quotient et reste
1 Q←0
2 R←a
3 i←0
4 tant que R >= b faire
5
Q←Q+1
6
R←R−b
7
i←i+1
8 fin
9 retourner [Q, R]
4
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Démonstration. Comment montrer que cet algorithme fonctionne ? Il faut montrer deux choses : l’algorithme
termine et renvoie bien le bon résultat. Le risque que le programme ne termine pas vient de la boucle, qui
pourrait ne pas se terminer. Mais ici, les valeurs successives de R sont strictement décroissantes. On a donc une
suite strictement décroissante d’entiers, il y a donc bien un moment où R < b.
La correction se montre en utilisant ce que l’on appelle un invariant de boucle : entre les lignes 6 et 7, la formule
logique (R ≥ 0) ∧ (a = Q ∗ b + R) est vraie. Entre les lignes 8 et 9, la formule (R ≥ 0) ∧ (a = Q ∗ b + R) ∧ (R < b)
est vraie. Par unicité de la division euclidienne, les valeurs retournées de Q et R sont bien les valeurs de la
division euclidienne.
Propriété 2
Soit n un entier naturel, on note nZ l’ensemble {nk k ∈ Z}. G est un sous-groupe de (Z, +) si et seulement si il existe un entier naturel n tel que G = nZ.
22 – Montrer l’implication réciproque : les nZ sont des sous-groupes de (Z, +).
23 – Montrer l’implication directe : si G est un sous-groupe, alors il est de la forme nZ. On s’intéressera pour
cela au plus petit élément strictement positif, s’il existe, de G.
III.2
Notion de divisibilité
Définition 11 : Divisibilité
Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b et on note a|b ssi il existe un entier relatif c tel
que ac = b.
Le reste de la division euclidienne dans le cas de nombres vérifiant une relation de divisibilité est donc 0.
Si l’on restreint la relation de divisibilité à N, on obtient une relation d’ordre. Quel est le plus grand
élément pour la relation de divisibilité dans N ? La relation de divisibilité dans Z n’est pas une relation d’ordre, car elle n’est pas antisymétrique : 1 divise −1 et −1 divise 1.
Définition 12 : Vocabulaire
On a les équivalences suivantes :
a divise b ⇔ a|b ⇔ a est un diviseur de b ⇔ b est un multiple de a
24 – Montrer que si d|a et d|b alors d|(αa + βb) pour tous α, β ∈ Z.
25 – Montrer que si a|b et c|d alors ac|bd.
26 – Montrer que si d 6= 0, alors a|b ⇔ ad|bd.
Exemple
Montrer que pour tout couple d’entiers (a, b), a − b divise an − bn .
Définition 13 : Relation de congruence
Soit n un entier naturel, soient a et b deux entiers relatifs. a est congru à b modulo n si n divise (b − a).
Cela est équivalent à ∃k ∈ Z tq b − a = kn. On note a ≡ b mod n ou encore a ≡ b [n].
27 – Montrer que la relation de congruence est une relation d’équivalence.
28 – Montrer la propriété suivante :
Propriété 3
— Si a ≡ b [n] et si a 0 ≡ b 0 [n] alors a + a 0 ≡ b + b 0 [n] ;
— Si a ≡ b [n] et si a 0 ≡ b 0 [n] alors aa 0 ≡ bb 0 [n] ;
— Si k =
6 0 alors a ≡ b [n] ⇔ ak ≡ bk [kn].
Exemple
Calculer le reste de la division euclidienne de 332498 par 7.
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CHAPITRE 12. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
III. ARITHMÉTIQUE DANS Z
CHAPITRE 12. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
III. ARITHMÉTIQUE DANS Z
Remarque :1 et −1 sont des diviseurs de tous les entiers relatifs. Donc tous les entiers admettent des diviseurs.
De plus, un nombre entier est son propre diviseur.
III.3
PGCD et PPCM
L’étude des diviseurs communs ou des multiples communs, est l’occasion de voir appraître de grands théorèmes.
Définition 14 : PGCD, PPCM
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls, on définit le plus grand diviseur commun de a et b comme
étant le plus grand entier qui divise à la fois a et b. On définit le plus petit commun multiple comme étant
le plus petit entier divisible à la fois par a et b. Le Plus Grand Diviseur Commun est noté PGCD(a, b)
ou a ∧ b et le Plus Petit Commun Multiple est noté PPCM(a, b) ou a ∨ b.
On dira que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD(a, b) = 1.
29 – On note D = {c ∈ Z c|a et c|b}. Que représente PGCD(a, b) ? On note M = {c ∈ Z∗+ a|c et b|c}. Que
représente PPCM(a, b) ?
30 – Montrer que aZ ∩ bZ est un sous-groupe de (Z, +). Montrer que aZ ∩ bZ = PPCM(a, b)Z.
31 – Montrer que aZ + bZ est un sous-groupe de (Z, +). Montrer que aZ + bZ = PGCD(a, b)Z.
Il existe un algorithme permettant de calculer le PGCD de deux nombres.
Cet algorithme construit une suite de valeurs de a, que l’on peut
a et b deux entiers
noter comme une suite (an ). L’idée est de montrer que cette suite est
tels que a > b.
nulle à partir d’un certain rang et que sa dernière valeur non nulle
est le PGCD recherché.
32 – Montrer que la suite (an ) est décroissante à valeurs entières
r est le reste de la
positives.
En déduire qu’elle est nulle à partir d’un certain rang N.
a←b
division euclidienne
–
Montrer
que aN divise aN−1 . En déduire, par récurrence, que
33
b←r
de a par b.
aN divise a et b.
34 – Montrer que tout diviseur commun de a et b divise tous les
termes de la suite a.
Montrer que la suite est nulle à partir d’un certain rang permet de
r = 0
montrer que l’algorithme termine, et montrer que aN divise a et b
et que tout diviseur de a et b divise aN permet de montrer que
l’algorithme est correct.
Cet algorithme est appelé Algorithme d’Euclide
PGCD = b
Théorème 1 Bezout
Soit a et b deux nombres entiers, il existe un couple
(x, y) d’entiers relatifs tel que ax + by = PGCD(a, b).
En particulier, a et b sont premiers entre eux si et
seulement si il existe un couple (x, y) d’entiers relatifs
tels que ax + by = 1.
k
rk
1
a
2
b
q2
0
3
r3
q3
...
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
k−1
rk−1
qk−1
xk−1
qk−1
yk−1
k
rk
qk
xk
k+1
rk+1
qk+1
xk+1
qk+1
yk+1
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
N
rN
qN
xN
qN
yN
Le théorème de Bezout permet de montrer un ensemble de
résultats.
N+1
rN+1
∗
xN+1
qN+1
yN+1
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35 – Montrer ce théorème grâce aux sous-groupes de Z.
36 – Dans le théorème, l’existence n’est pas unique : si
(x, y) et (x 0 , y 0 ) sont deux solutions, étudier la différence
entre ces deux solutions.
On peut représenter l’algorithme sous forme de tableau, et
calculer par la même occasion les coefficients du théorème
de Bezout (Tableau ci-contre).
37 – Montrer, par récurrence, que sur chaque ligne on a
rk = axk + byk .
Exemple
Calculer le PGCD de 198 et 75. Trouver l’ensemble des
solutions de 198x + 75y = PGCD(198, 75).
qk
xk
qk
yk
1
0
q2
1
...
−
×
−
qk
×
yk
Propriété 4
Soient a, b et c deux entiers relatifs, alors PGCD(ca, cb) = |c|PGCD(a, b).
38 – Démontrer cette propriété. On commencera par démontrer que |c|PGCD(a, b) est un diviseur commun
de ca et cb Puis que tout diviseur de ca et cb divise |c|PGCD(a, b) grâce au théorème de Bezout.
39 – En déduire que
a
PGCD(a,b)
et
b
PGCD(a,b)
sont premiers entre eux.
40 – Démontrer la propriété suivante en utilisant le théorème de Bezout.
Propriété 5
Soient a, b et c trois entiers relatifs tels que a est premier avec b et c. Alors a est premier avec bc.
41 – Démontrer le théorème de Gauss :
Théorème 2 Gauss
Soit a et b deux entiers relatifs non tous nuls et c un entier relatif différent de 0. Si c divise ab et c est
premier avec b, alors c divise a.
En déduire le corollaire suivant :
Corollaire 1 : Soient a, b et c sont trois entiers relatifs tels que b et c sont premiers entre eux et divisent a.
Alors bc divise a.
Exemple
Si 20 et 9 divisent un entier n, alors 180 divise n. Mais si 10 et 18 divisent n, alors 180 ne divise pas forcément
n : donner un contre exemple.
42 – Montrer, en utilisant notamment le théorème de Gauss, que PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b. Que se
passe-t-il dans le cas où a et b sont premiers entre eux ?
III.4
Nombres premiers
Définition 15 : Nombres premiers
Un entier naturel n est premier ssi il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Remarque :Pourquoi exclut-on 1 de l’ensemble des nombres premiers ? Nous allons voir l’importance de cette
exclusion dans la suite.
43 – Montrer que l’ensemble des nombres premiers n’est pas fini. On pourra procéder par l’absurde.
Propriété 6
Tout entier naturel se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers. Formellement :
∀n ∈ N, n ≥ 2, il existe un unique entier naturel r, une unique famille (p1 , . . . , pr ) de nombres premiers classés dans l’ordre et une unique famille d’entiers naturels non nuls (α1 , . . . , αr ) tels que n =
αr
1 α2
pα
1 p2 . . . p r .
Remarque :La démonstration de cette propriété est hors-programme, mais la propriété en elle-même est au
programme. Vous devez retenir qu’elle donne une existence ET une unicité.
Définition 16 :
Pour un entier n, soit p un nombre premier et α sa puissance dans la décomposition en facteurs de n. On
dit que α est la valuation p-adique de n et on note α = νp (n).
44 – Comment serait modifiée cette propriété si 1 était considéré comme un nombre premier ?
Propriété 7
δ1 δ2
αr
δr
1 α2
Si n = pα
1 p2 . . . pr les diviseurs de n sont tous de la forme p1 p2 . . . pr avec, pour tout i : 0 ≤ δi ≤
αi .
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7
CHAPITRE 12. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
III. ARITHMÉTIQUE DANS Z
CHAPITRE 12. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
III. ARITHMÉTIQUE DANS Z
45 – Énoncer les diviseurs de 45. Calculer la somme de ces diviseurs.
46 – Combien de diviseurs a un entier n ?
Propriété 8
αr
1 α2
La somme des diviseurs d’un entier n = pα
1 p2 . . . pr est :
r
Y
k=1
i +1
pα
i
1−
.
1 − pi
47 – Vérifier cette propriété sur l’exemple précédent.
48 – Montrer cette propriété.
49 – Soient a et b deux nombres entiers, exprimer le PGCD et le PPCM de a et de b en fonction de la
décomposition en produit de facteurs premiers des deux nombres a et b.
On étudie ici un théorème particulier, nommé le petit théorème de Fermat. on commence par montrer un résultat
particulier.
50 – Montrer que si un entier p est premier alors tous les pk sont divisibles par p pour 1 ≤ k ≤ p − 1.
51 – Montrer alors que pour tout entier n, (n + 1)p ≡ kp + 1 [p].
52 – Montrer alors le petit théorème de Fermat suivant par récurrence sur a :
Théorème 3 Petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier, soit a un entier quelconque, alors
ap ≡ a [p].
8
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Feuille d’exercices no 12
MPSi
1
Dans R, les lois suivantes sont-elles des lois de groupe ?
1. (x, y) 7→ xy
2. (x, y) 7→ |x + y|
3. (x, y) 7→ x + y + xy
p
4. (x, y) 7→ 3 x3 + y3
5. (x, y) 7→ sup(x, y)
2
— Montrer que l’ensemble des bijections d’un ensemble X
dans lui-même est un groupe pour la composition.
— Montrer que l’ensemble des similitudes directes du plan
est un groupe pour la composition.
— Montrer que R∗ × R munit de la l.c.i. (a, b) ? (a 0 , b 0 ) =
(aa 0 , b + b 0 ) est un groupe dont on précisera le neutre et
les inverses.
— Montrer que U, muni de la multiplication complexe, est
un groupe. Montrer que l’ensemble des racines n-ièmes en
est un sous groupe.
3
— L’ensembles des fonctions paires est-il un groupe pour la
loi + ?
— La loi sur R\{1} : x?y = x+y−xy définit-elle un groupe ?
Simplifier dans ce cas |x ? x{z
? · ? x}.
n fois
10 (Attali)
Soit A un anneau, on appelle élément idempotent de A
toute solution dans A de l’équation x2 = x. Soit donc e un
f : A −→ A
idempotent de A et soit e
. Montrer que
x 7→ exe
eAe = fe (A) a la structure d’anneau, mais n’est un sousanneau que si e = 1A .
11 (PrépaSciences)
Soit A un anneau, on dit que x est nilpotent dans A s’il existe
n ∈ N tel que xn = 0A . Montrer que si u et v sont tels que
uv est nilpotent, alors vu est niplotent. Montrer que si x et y
sont nilpotents et xy = yx alors x + y et xy sont nilpotents.
Montrer que si x est nilpotent, alors 1A − x est inversible et
calculer son inverse.
12 (PrépaSciences)
Soit (A, +, ×) un anneau commutatif non réduit à 0. Montrer
que si A est fini et intègre, alors A est un corps.
13 (Cap Prépa)
Soit ϕ : A → B un morphisme d’anneau, montrer que
ϕ(U (A)) ⊂ U (B). En déduire que si A est un corps, alors ϕ
est injective.
14 (Précis 8.1)
Soit n un entier relatif. Montrer que
pas simultanément dans Z.
21n−3
4
et
15n−2
4
ne sont
4
15 (Précis 8.6)
On considère la loi suivante, notée ? et définie sur I =] − 1; 1[ : Montrer que la somme des carrés de deux entiers est divisible
par 11 si et seulement si chacun d’eux l’est.
x+y
x, y 7→
.
1 + xy
16 (Précis 8.7)
2
Montrer que (] − 1; 1[, ?) est un groupe commutatif. Montrer Résoudre dans Z l’équation 4x − xy − 17 = 0.
qu’il est isomorphe à (R, +).
5
On considère l’ensemble de fonctions suivant :
1
x
f1 (x) = x
f2 (x) =
f3 (x) =
(12.1)
1−x
x−1
1
x−1
f4 (x) =
f5 (x) = 1 − x
f6 (x) =
(12.2)
x
x
Montrer qu’il s’agit d’un groupe lorsqu’on l’associe à la composition des fonctions. Déterminer ses sous-groupes.
6
Décrire tous les groupes possibles à 1, 2, 3 ou 4 éléments.
7 (Précis)
Soit (G, ·) un groupe, soit a et b deux éléments de G. L’élément a · b · a−1 · b−1 est appelé le commutateur de a et b. On
note C l’ensemble des commutateurs et Gr(C) le sous-groupe
qu’il engendre (c’est l’intersection de tous les sous-groupes
contenant C). Soit (G 0 , ?) un groupe et f un morphisme de
G dans G 0 . Montrer que f(G) est un sous-groupe commutatif
de (G 0 , ?) si et seulement si Gr(C) ⊂ ker f.
8 (Guinin)
Soit (G, ·) un groupe tel que ∀a ∈ G, a · a = 1G . Montrer que
G est commutatif.
9 (PrépaSciences)
Soit (G, ·) un groupe, montrer que l’application
f : G −→ G
est un automorphisme de groupe
x 7→ x−1
de (G, ·) si et seulement si G est abélien.
CHAPITRE 12. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
17 (Précis 8.16)
Soit n ∈ N∗ , montrer que 5n3 + n est divisible par 6.
18 (CapPrépa 19.6)
Trouver les entiers k ∈ N tels que k − 3 divise k3 − 3.
19
Résoudre dans N2∗ l’équation :
PGCD(x, y) = x − y
PPCM(x, y) = 300
.
20 (RMS 1999)
Montrer que p divise tous les pk pour k ∈ {1, . . . , p − 1} si
et seulement si p est premier. Si p est un nombre premier,
montrer que ∀a ∈ N∗ , ap = a [p].
21
Soit p un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que si (p−1)! ≡
−1 [p], alors p est premier.
22
Trouver le nombre de zéros à la fin de 2013! ? Montrer que
n
pour tout entier naturel n, 1010 ≡ 4 [7]. Quels sont les deux
derniers chiffres de 32013 ?
Le Bras - Lycée Montesquieu - 2013/2014