Structures algébriques - CPGE du Lycée Montesquieu

Chapitre 12
Structures algébriques
I Introduction
1 – Remplir le tableau suivant. Par opérations, on entendra opérations de base. On pourra alors exclure la
multiplication dans Nou Zqui ne sont que des raccourcis de l’addition.
ensemble nbre d’opérations opposé inverse
{a, b, c}
N
Z
Q
R[X]
Nous allons voir que ces différences permettent de décrire différents objets mathématiques que l’on appelle les
structures algébriques.
II Définitions
II.1 Groupes
Soit Eun ensemble quelconque. On appelle loi de composition interne (l.c.i.) sur Etoute application 
dont l’ensemble de départ est E×Eet l’ensemble d’arrivée est E. Le symbole de cette application est uti-
lisé en notation infixe : on notera xyet non pas (x, y).
Définition 1 : Loi de composition interne
Exemple
— Sur N, l’addition est-elle une l.c.i. ?
— Sur Z, la division est-elle une l.c.i. ?
Remarque :On ne suppose rien sur le caractère ni injectif ni surjectif de l’application concernée.
On associera donc parfois un ensemble avec une loi de composition. On notera alors (E, )pour parler de
l’ensemble Eassocié à la l.c.i. . On construira alors différentes structures.
Une loi de composition interne sur un ensemble Epeut :
— être associative : ∀(x, y, z)∈E3,(xy)z=x(yz);
— être commutative : ∀(x, y)∈E2, x y=yx;
— admettre un élément neutre : ∃e∈E;∀x∈E, x e=ex=x;
— être distributive par rapport à une autre l.c.i. ?:∀(x, y, z)∈E3, x (y?z)=(xy)?(xz).
Définition 2 :
La plupart des l.c.i. que l’on croisera seront et associatives, et commutatives.
1

CHAPITRE 12. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
II. DÉFINITIONS
Exemple
La composition des fonctions n’est pas commutative.
La l.c.i. sur Ndéfinie par ?: (a, b)7→abest-elle associative ? commutative ?
Le produit vectoriel est une l.c.i. sur R3. Est-il associatif ?
Soit Eun ensemble muni d’une l.c.i. . On dira que (E, )est un groupe si :
—admet un élément neutre dans E;
—est associative ;
— tout élément de Eadmet un symétrique par :∀x∈E, ∃y∈E;xy=yx=e
Définition 3 : Groupe
Lorsque la loi est commutative, on dira que le groupe est abélien. Suivant la notation employée, on appellera le
symétrique opposé (notation additive) et on le notera −x, ou inverse (notation multiplicative) et on le notera
x−1. Souvent, les lois commutatives seront notées additivement.
2 – (N,+) est-il un groupe ? (Z,+) est-il un groupe ? (R∗,×)est-il un groupe ?
Sois Fune partie d’un ensemble E. Si (E, )forme un groupe, (F, )est un sous-groupe de Esi :
—Fest non vide ;
— si xest dans F, alors son symétrique est dans F;
—Fest stable par .
Autrement dit, la restriction de àFdoit engendrer une l.c.i. sur Fet lui donner la structure de groupe.
Définition 4 : Sous-groupe
Exemple
(Z,+) est un sous-groupe de (Q,+), et (Q∗,×)est un sous-groupe de (R∗,×). Par contre, (N,+) n’est pas un
sous-groupe de (Z,+) bien que Nsoit un sous-ensemble de Zet que Nsoit stable par l’addition.
3 – L’ensemble des fonctions continues, associé à l’addition fonctionnelle forme-t-il un groupe ? L’ensemble
des fonctions continues, associé à la composition des fonctions, forme-t-il un groupe ? Quelle contrainte doit-on
ajouter pour former un groupe ?
Comment montrer proprement qu’un ensemble, muni d’une opération, est un groupe ? On peut soit énumé-
rer toutes les propriétés une à une, et en particulier exhiber le symétrique et l’élément neutre et expliciter
l’associativité, ou alors se contenter de montrer que c’est un sous-groupe.
Soit (E, )un groupe et (F, )un sous-groupe. Alors :
—(F, )est un groupe ;
— l’élément neutre dans Fest l’élément neutre dans E;
— le symétrique dans Fest le symétrique dans E.
Propriété 1
4 – Montrer cette propriété.
5 – On sait que R∗est un groupe, et que Rest un groupe aussi (préciser les lois). Pour autant, a-t-on R∗est
un sous-groupe de R?
6 – Montrer que l’intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe.
7 – Qu’en est-il de l’union de deux sous-groupes ?
Exemple
Soit (G, ∗)un groupe, on note Z(G)l’ensemble {z∈G|∀x∈G, x ∗z=z∗x}des éléments de Gqui commutent
avec tous les éléments de G. Montrer que Z(G)est un sous-groupe de G.
II.2 Groupe de permutations
On considère ici Xun ensemble contenant néléments.
On appelle permutation de Xune bijection de l’ensemble Xdans lui-même. On note SXl’ensemble des
permutations de X.
Définition 5 :
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II. DÉFINITIONS CHAPITRE 12. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
8 – Combien peut-on construire de permutations d’un ensemble à 3 éléments ? à 4 éléments ? et à néléments ?
Exemple
Donner toutes les permutations de {1, . . . , 3}et de {1,...,4}.
9 – Montrer que si σet σ0sont deux permutations d’un ensemble X, alors σ◦σ0est aussi une permutation de
l’ensemble X.
10 – Montrer que l’identité est un élément neutre pour la composition.
11 – Montrer que toute permutation admet un symétrique par la composition.
12 – Que peut-on dire de la structure de (SX,◦)?
II.3 Anneau, Corps
La plupart des ensembles que vous manipulez avec des opérations sont associés à au moins deux opérations
(addition, multiplication par exemple). Il existe des structures algébriques prenant en compte ces cas de figure.
Soit Aun ensemble et +,∗deux lois de composition internes sur A.(A, +,∗)est un anneau ssi le triplet
vérifie les conditions suivantes :
—(A, +) est un groupe abélien. On note le neutre 0A;
— la loi ∗est associative et possède un élément neutre dans Anoté 1A;
— la loi ∗est distributive par rapport à la loi +:
∀(a, b, c)∈A3, a ∗(b+c) = a∗b+a∗cet (b+c)∗a=b∗a+c∗a.
Définition 6 : Anneau
On dira qu’un anneau est commutatif si la deuxième loi est commutative.
On ne suppose ici rien sur l’existence d’éléments symétriques pour la loi ∗. Par exemple, (Z,+,∗)
est un anneau, mais il n’y a pas toujours d’inverse pour la multiplication. Cependant, certains élé-
ments, que l’on appellera éléments inversibles, ou unités, peuvent avoir un symétrique. Dans Z,1et
−1ont un inverse, mais aucun autre élément n’en possède.
Le symétrique pour la première loi est appelé opposé, l’éventuel symétrique pour la seconde loi est appelé
inverse. On note a−1l’inverse d’un élément a∈A. On pourra définir une soustraction par : a−b=
a+ (−b)où −bdésigne l’opposé de b.
Définition 7 :
Exemple
On note Z[√2] = {a+b√2|(a, b)∈Z2}. Montrer que c’est un anneau, lorsqu’il est munit de l’addition et de
la multiplication des réels.
13 – Le triplet (RR,+,◦)est-il un anneau ?
Soit (A, +,∗)un anneau. Une partie Bde Aest un sous anneau si les conditions suivantes sont vérifiées :
—1A∈B;
— pour tous (a, b)∈B2,a−b∈B;
— pour tous (a, b)∈B2,a∗b∈B.
Définition 8 : Sous-anneau
14 – Montrer qu’un sous-anneau est un anneau.
Encore une fois, pour montrer qu’un triplet est un anneau, on se ramènera souvent à montrer que c’est un
sous-anneau d’un anneau bien connu.
Un anneau (A, +,∗)non réduit à {0A}dans lequel tout élément différent de 0Aadmet un inverse est ap-
pelé un corps. Nous ne considèrerons ici que des corps commutatifs, c’est à dire s’appuyant sur un anneau
commutatif : c’est notre définition d’un corps. Un sous-corps de Aest un sous-anneau de Aqui est à la
fois un corps.
Définition 9 : Corps
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CHAPITRE 12. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
III. ARITHMÉTIQUE DANS Z
Exemple
(Q,+,×),(R,+,×)et (C,+,×)sont des corps. Ce seront les seuls corps pour lesquels nous auront un intérêt.
II.4 Règles de calcul et notations
Nous allons voir dans ce paragraphe les différentes règles de calcul dans les groupes et les anneaux, ainsi que les
conséquences des définitions. Dans tout ce paragraphe, on considère un groupe (G, ?)et un anneau (A, +,∗).
De façon générale, on utilisera la notation multiplicative pour les groupes, sauf dans le cas de groupes abéliens,
pour lesquels on s’autorisera la notation additive. On notera x0=e,x2=x?xet plus généralement, xn=
x?x?··· ?x
| {z }
n fois
(pour les groupes abéliens, nx =x+x+··· +x).
15 – Soient xet ydeux éléments de G. Montrer les égalités suivantes : (x?y)−1=y−1?x−1,(x−1)−1=x.
16 – Soit xun élément de G. Montrer les égalités suivantes : xm+n=xn?xm,(xn)m=xmn.
17 – Soient x,yet ztrois éléments de G. Montrer que si x?z=x?yalors z=y, et que si x?y=ealors y
est le symétrique de xet réciproquement.
18 – Soient aet bdeux éléments de A, montrer que l’on a les égalités suivantes : 0A∗a=a∗0A=0Aet
(−a)∗b=a∗(−b) = −(a∗b)
19 – Montrer que le produit ∗est distributif sur le symbole P, c’est-à-dire que si a, b1,··· , bnsont des
éléments de A, alors a∗Pn
k=1bk=Pn k=1a∗bk.
20 – Dans le cas où l’anneau est commutatif, montrer la formule du binôme de Newton, ainsi que la formule
an−bn= (a−b)Pn−1
k=0akbn−1−k. Écrire cette dernière pour des petites valeurs de n(au moins jusqu’à 3),
et dans le cas où aou bvalent 1A.
III Arithmétique dans Z
Dans la section précédente, nous avons vu que (Z,+) est un groupe, mais pas (Z,×)car tous les éléments n’ont
pas un inverse. De la même manière, (Z,+,×)est un anneau, mais pas un corps.
III.1 Division euclidienne et sous-groupes de Z
On commence par montrer deux résultats importants dans la suite :
On élargit le champ d’action de la division euclidienne à Ztout entier : soit (a, b)∈Z×Z∗deux entiers
relatifs, il existe un unique couple (q, r)∈Z2tel que a=bq +ret 0≤r < |b|.
Définition 10 : Division euclidienne dans Z
21 – En remarquant qu’il existe un entier ktel que a+k|b|≥0et en effectuant sa division euclidienne naturelle
par |b|, montrer cette propriété.
Algorithme de division euclidienne dans N:
Algorithme 1 : Algorithme de division euclidienne
Entrées : a,b deux entiers
Sorties : Quotient et reste
1Q←0
2R←a
3i←0
4tant que R >=bfaire
5Q←Q+1
6R←R−b
7i←i+1
8fin
9retourner [Q, R]
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III. ARITHMÉTIQUE DANS Z CHAPITRE 12. STRUCTURES ALGÉBRIQUES
Démonstration. Comment montrer que cet algorithme fonctionne ? Il faut montrer deux choses : l’algorithme
termine et renvoie bien le bon résultat. Le risque que le programme ne termine pas vient de la boucle, qui
pourrait ne pas se terminer. Mais ici, les valeurs successives de Rsont strictement décroissantes. On a donc une
suite strictement décroissante d’entiers, il y a donc bien un moment où R<b.
La correction se montre en utilisant ce que l’on appelle un invariant de boucle : entre les lignes 6 et 7, la formule
logique (R≥0)∧(a=Q∗b+R)est vraie. Entre les lignes 8 et 9, la formule (R≥0)∧(a=Q∗b+R)∧(R<b)
est vraie. Par unicité de la division euclidienne, les valeurs retournées de Qet Rsont bien les valeurs de la
division euclidienne.
Soit nun entier naturel, on note nZl’ensemble {nk
k∈Z}.Gest un sous-groupe de (Z,+) si et seule-
ment si il existe un entier naturel ntel que G=nZ.
Propriété 2
22 – Montrer l’implication réciproque : les nZsont des sous-groupes de (Z,+).
23 – Montrer l’implication directe : si Gest un sous-groupe, alors il est de la forme nZ. On s’intéressera pour
cela au plus petit élément strictement positif, s’il existe, de G.
III.2 Notion de divisibilité
Soient aet bdeux entiers relatifs. On dit que adivise bet on note a|bssi il existe un entier relatif ctel
que ac =b.
Définition 11 : Divisibilité
Le reste de la division euclidienne dans le cas de nombres vérifiant une relation de divisibilité est donc 0.
Si l’on restreint la relation de divisibilité à N, on obtient une relation d’ordre. Quel est le plus grand
élément pour la relation de divisibilité dans N? La relation de divisibilité dans Zn’est pas une rela-
tion d’ordre, car elle n’est pas antisymétrique : 1divise −1et −1divise 1.
On a les équivalences suivantes :
adivise b⇔a|b⇔aest un diviseur de b⇔best un multiple de a
Définition 12 : Vocabulaire
24 – Montrer que si d|aet d|balors d|(αa +βb)pour tous α, β ∈Z.
25 – Montrer que si a|bet c|dalors ac|bd.
26 – Montrer que si d6=0, alors a|b⇔ad|bd.
Exemple
Montrer que pour tout couple d’entiers (a, b),a−bdivise an−bn.
Soit nun entier naturel, soient aet bdeux entiers relatifs. aest congru à bmodulo nsi ndivise (b−a).
Cela est équivalent à ∃k∈Ztq b−a=kn. On note a≡bmod nou encore a≡b[n].
Définition 13 : Relation de congruence
27 – Montrer que la relation de congruence est une relation d’équivalence.
28 – Montrer la propriété suivante :
— Si a≡b[n]et si a0≡b0[n]alors a+a0≡b+b0[n];
— Si a≡b[n]et si a0≡b0[n]alors aa0≡bb0[n];
— Si k6=0alors a≡b[n]⇔ak ≡bk [kn].
Propriété 3
Exemple
Calculer le reste de la division euclidienne de 332498 par 7.
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