Avant de faire des problèmes d`équilibre, il fait savoir quoi faire avec
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Avant de faire des problèmes d’équilibre, il fait savoir quoi faire avec des forces qui ne sont ni horizontale, ni verticale. On a déjà mentionné qui pourra décomposer cette force en composantes horizontale et verticale. www.hk-phy.org/contextual/mechanics/for/ad_fo02_e.html On pourra trouver les composantes assez facilement avec les fonctions trigonométriques. Pour la composante en x, on a la situation suivante. www.hk-phy.org/contextual/mechanics/for/ad_fo02_e.html Nous avons un beau triangle. Avec le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse, on a cos Fx F En multipliant par F, de chaque côté, on arrive à Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Fx F cos Pour la composante en y, on a la situation suivante. www.hk-phy.org/contextual/mechanics/for/ad_fo02_e.html Nous avons encore un beau triangle. Avec le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse, on a sin Fy F En multipliant par F, de chaque côté, on arrive à Fy F sin Le tableau suivant résume donc tout ce qu’on sait sur les composantes horizontale et verticale des forces. Composantes des forces Forces horizontales Fx 50 N Fx 50 N Version 2016b Fy 0 N Fy 0 N 4 – L’équilibre statique 1 2 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Forces verticales Fx 0 N Fx 0 N Fy 50 N Fy 50 N Forces dans n’importe quelle direction Fx 50 N cos 55 Fy 50 N sin 55 Pour séparer en composante il faut trouver l’angle que fait la force avec l’axe des x. Cette façon donnera toujours les bons signes et il ne sera jamais nécessaire d’ajouter un signe négatif pour obtenir la bonne composante. Bien sûr, il y a d’autres façons de trouver les composantes à partir d’autres angles et vous pouvez les prendre si vous êtes à l’aise avec ces méthodes. Cependant, une grande partie des erreurs de calcul dans les problèmes d’équilibre vient d’une mauvaise séparation en composantes. En prenant toujours l’angle avec l’axe des x, on évite ces erreurs. Un bon truc pour trouver l’angle si vous n’êtes pas sûr : tracer la force et l’axe des x en partant d’un même point et chercher l’angle entre les deux. C’est ce que nous ferons pour quelques-uns des prochains exemples. Il n’y a qu’un seul danger : l’angle peut être négatif ! La règle est la suivante : De l’axe des x vers l’axe des y positifs, l’angle est positif et de l’axe des x vers l’axe des y négatifs, l’angle est négatif. Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 3 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Exemple 4.1.1 On tire sur une barge de 100 tonnes avec les forces indiquées sur la figure (le 3000 N est la friction de l’eau). Quelle est la somme des forces en x et en y sur la barge ? curricula2.mit.edu/pivot/book/ph0503.html?acode=0x0200 Séparons tout d’abord les forces en composantes. F1 (remorqueur du haut) F1x 10000 N cos 30 8660 N F1 y 10000 N sin 30 5000 N F2 (remorqueur du bas) F2 x 10000 N cos 30 8660 N F2 y 10000 N sin 30 5000 N F3 (friction) F3 x 3000 N F3 y 0 N Les composantes de la force totale sont donc F F Version 2016b x 8660 N 8660 N 3000 N 14320 N y 5000 N 5000 N 0 N 0 N 4 – L’équilibre statique 1 4 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Exemple 4.1.2 Quelle est la somme des forces en x et en y sur cet objet ? Séparons les forces en composantes. F1 (force de 150 N) F1 x 150 N F1 y 0 F2 (force de 120 N) F2 x 120 N cos 45 84,85N F2 y 120 N sin 45 84,85N F3 (force de 140 N) F3 x 140 N cos 130 89,99 N F3 y 140 N sin 130 107,25N F4 (force de 200 N) F4 x 200 N F4 y 0 F5 (force de 80 N) F5 x 0 N F5 y 80 N F6 (force de 100 N) F6 x 100 N cos 55 57,36 N F6 y 100 N sin 55 81,92 N Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 5 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Les composantes de la force totale sont donc F F x 150 N 84,85N 89,99 N 200 N 0 N 57,36 N 2, 22 N y 0 N 84,85N 107, 25 N 0 N 80 N 81,92 N 29,88 N La statique est l’étude des objets continuellement au repos. Il n’y a aucune accélération pour l’objet ou n’importe quelle composante de l’objet. Ça peut sembler facile, mais ça peut devenir assez complexe si on étudie un objet comme le pont de Québec. L’étude de la statique dans ce cas nous permet de déterminer la tension dans chacune des poutres du pont. Évidemment, cette partie de la physique est très importante pour tous ceux qui doivent construire des édifices, des ponts ou des prothèses. En connaissant les forces exercées par les composantes, on est en mesure de déterminer quel doivent être la composition et la taille de ces composantes pour résister au contraire imposées. Si l’accélération est nulle, on doit simplement avoir les conditions suivantes : Conditions d’équilibre F F x 0 y 0 (On travaillera uniquement avec des forces en x et en y, il n’y aura pas de force en z) Il est important de bien suivre une méthode pour résoudre des problèmes d’équilibre statique. Cette méthode est Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 6 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 1) Trouver toutes les forces agissant sur le ou les corps qu’on étudie. a) La gravitation Il y a une force de gravitation sur tous les objets, à moins qu’on néglige leur masse. b) Forces de contact Si l’objet touche à un autre objet sans qu’il soit fixé. On a alors les forces suivantes. - Une normale, qui est une force de répulsion entre les corps. Une force de friction (à moins qu’on spécifie qu’il n’y en a pas). c) Les forces faites par les cordes ou les tiges Toutes les cordes font une force de tension. Toutes les tiges font une force de tension ou de compression. 2) Séparez ces forces en composantes x et y avec Fx F cos Fy F sin En respectant les règles pour les angles vues à la section précédente. 3) Faites vos équations de condition d’équilibre F x 0 F y 0 4) Résoudre ces équations pour trouver les inconnus. Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 7 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Exemple 4.3.1 Quelles sont les forces exercées par les deux tiges qui soutiennent cette masse ? www.chegg.com/homework-help/questions-andanswers/block-figure-figure -1-weighs-632n--coefficientstatic-friction-block-surface-rests-027-wei-q5846031 Les forces sur la masse sont 1. La gravitation de 30 kg x 9,8 N/kg = 294 N vers le bas 2. La force faite par la corde 1 (T1) 3. La force faite par la corde 2 (T2) On peut voir la direction de ces forces sur cette figure. Pour faire la somme des forces, on peut utiliser un tableau comme celui-ci Forces Poids Corde 1 Corde 2 x 0 -T1 T2 cos 45° y -294 N 0 T2 sin 45° Dans ce tableau, on trouve les composantes des forces selon les règles données précédemment. L’angle pour la corde 2 est l’angle entre la force et l’axe des x positifs. Pour trouver cet angle, on peut tracer deux flèches qui partent du même endroit. Une des flèches est dans la direction de la force alors que l’autre est dans la direction des x positifs, donc vers la droite. L’angle entre ces deux flèches est l’angle pour calculer les composantes de la force. Dans notre cas, cet angle est de 45°. Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 8 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Voici deux remarques importantes. Vous aurez uniquement des cosinus pour la composante en x et uniquement des sinus pour la composante en y. De plus, vous ne pouvez jamais avoir des angles différents en x et en y pour une même force. Ainsi, l’angle est de 45° pour les deux composantes de T2. Pour faire la somme des forces en x et en y, il ne reste qu’à additionner les composantes de chacune des colonnes. La somme des forces en x (somme de la colonne x du tableau) F x 0 T1 T2 cos 45 0 La somme des forces en y (somme de la colonne y du tableau) F y 294 N T2 sin 45 0 Avec la deuxième équation, on peut trouver la valeur de T2. 294 N T2 sin 45 0 294 N T2 sin 45 294 N 0 294 N T2 sin 45 294 N T2 sin 45 294 N sin 45 sin 45 294 N T2 sin 45 T2 415,78N On peut ensuite utiliser cette valeur dans la somme des forces en x pour obtenir T1. T1 T2 cos 45 0 T1 415,78N cos 45 0 T1 294 N 0 T1 294 N 294 N 0 294 N T1 294 N T1 294 N Les tensions des cordes sont donc 294 N (corde 1) et 415,78 N (corde 2). Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 9 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Exemple 4.3.2 Même si Lucien tire avec une force de 120 N sur le traineau d’Adèle, le traineau ne bouge pas. ww.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/physics-archive-2013-october-15 a) Déterminer la grandeur de la normale et de la force de friction sur le traineau. Les forces sur le traineau sont : 1. 2. 3. 4. La gravitation de 40 kg x 9,8 N/kg = 392 N vers le bas. La normale (FN) vers le haut. La force de friction (Ff) qui s’oppose au déplacement du traineau. La force faite par la corde 1 (T). On peut voir la direction de ces forces sur cette figure. Il est assez facile de trouver les composantes de la friction et de la normale, mais c’est un peu plus compliqué pour la force de 120 N. Pour faire cette décomposition, il fait trouver l’angle que fait cette force avec l’axe de x positifs. Cet angle est 150°. Le tableau des forces est donc Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 10 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Forces Poids Normale Friction Tension x 0 0 Ff 120N cos 150° = -103,92N y -392 N FN 0 120 N sin 150° = 60 N La somme des forces en x (somme de la colonne x du tableau) F x Ff 103,92 N 0 La somme des forces en y (somme de la colonne y du tableau) F y 392 N FN 60 N 0 La première équation nous donne la valeur de la force de friction Ff 103,92 N 0 Ff 103,92 N 103,92 N 0 103,92 N Ff 103,92 N La deuxième équation nous donne la valeur de la force normale. 392 N FN 60 N 0 332 N FN 0 332 N FN 332 N 0 332 N FN 332 N b) Quelle est la valeur minimale du coefficient de frottement pour que le traineau reste ainsi en place ? Si le traineau ne glisse pas, c’est qu’il y a suffisamment de friction statique pour annuler les forces appliquées sur le traineau. Comme on a vu dans la section sur la force de friction, cela est possible si la force de friction statique nécessaire est inférieure à µsFN. On a donc F f µs FN Cela veut aussi dire qu’il faut que µsFN soit plus grand ou égal que la force de friction statique. La plus petite valeur que peut avoir µsFN est donc de µs min FN F f Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 11 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec En utilisant la valeur de la normale et de la friction, on arrive à µs min 332 N 103,92 N Il ne reste qu’à isoler le coefficient de friction µs min 332 N 103,92 N µs min 332 N 103,92 N 332 N 332 N 103,92 N µs min 332 N µs min 0,313 Exemple 4.3.3 Quelles sont les forces exercées par les deux tiges qui soutiennent cette masse ? (Les tiges n’ont pas de masse.) www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/mechanical-engineering-archive-2012-september-09 Les forces sur la boule sont 1. La gravitation de 80 kg x 9,8 N/kg = 784 N vers le bas 2. La force faite par la tige 1 3. La force faite par la tige 2 On ne sait pas si les tiges vont pousser ou tirer sur la boule. Peut-être que certains d’entre vous devinent la direction de ces forces, mais la question reste : comment saiton si la tige pousse ou tire sur la boule ? En fait, ce sont les lois de Newton qui nous fourniront la réponse. Il suffit de supposer une des deux possibilités. Ce n’est pas grave si on se trompe. On fait ensuite la solution pour obtenir les grandeurs des forces. Si on obtient une réponse positive, la force est dans le sens supposé. Si on obtient une réponse négative, la force est dans le sens contraire de ce qu’on avait supposé. Ainsi, si on avait supposé qu’une tige poussait et qu’on obtient, par exemple, une réponse de Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 12 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec -1000 N pour la force de poussée, cela veut dire qu’en réalité la tige tire avec une force de 1000 N. Ici, on va supposer que les deux forces tirent sur la boule. On a alors les forces suivantes sur la boule. Pour séparer en composante, il nous faut la direction de la force F2. Selon la figure suivante, l’angle est de 180° + 30° = 210°. (Notez qu’on aurait pu aussi utiliser –150° comme angle.) Le tableau des forces est donc Forces Poids Tige 1 Tige 2 x 0 - T1 T2 cos 210° y - 784 N 0 T2 sin 210° La somme des forces en x (somme de la colonne x du tableau) F x T1 T2 cos 210 0 La somme des forces en y (somme de la colonne y du tableau) F y Version 2016b 784 N T2 sin 210 0 4 – L’équilibre statique 1 13 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec La deuxième équation nous donne la valeur de T2. 784 N T2 sin 210 0 784 N T2 sin 210 784 N 0 784 N T2 sin 210 784 N T2 sin 210 784 N sin 210 sin 210 T2 784 N sin 210 T2 1568 N Puisque la valeur est négative, la force faite par la tige est dans le sens contraire de ce qu’on avait supposé. Comme on avait supposé que la tige tirait, cette réponse signifie que la tige pousse avec une force de 1568 N. Cela veut aussi dire que la tige 2 subit une force de compression de 1568 N. Avec la valeur de T2, on peut trouver la valeur de T1 avec la première équation. T1 T2 cos 210 0 T1 1568 N cos 210 0 T1 1357,9 N 0 T1 1357,9 N 1357,9 N 0 1357,9 N T1 1357,9 N T1 1357,9 N Cette réponse est positive, ce qui signifie que cette tige fait une force dans le sens qu’on avait supposé. Comme on avait supposé que la tige tirait, cette réponse veut dire que la tige 1 tire sur la boule avec une force de 1357,9 N. Cela vaut aussi dire que la tige 1 subit une force de tension de 1357,9 N. La figure montre donc les forces sur la boule. Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 14 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Exemple 4.3.4 Quelle est la tension des cordes qui soutiennent le feu de circulation ? www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/x--i5ss-question_block-main-problem-i-m-having-problem-end-t1-t2equal-814-i-think-814-sin-q343518 Les forces sur le feu de circulation sont 1. La gravitation de 20 kg x 9,8 N/kg = 196 N vers le bas 2. La tension de la corde 1 3. La tension de la corde 2 Il est alors important de bien trouver les angles des tensions. Pour T1, on a L’angle entre la force et l’axe des x est donc de 150°. Pour la tension T2 on a L’angle est donc de 45°. Ainsi, le tableau des forces est Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 15 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Forces Poids Corde 1 Corde 2 x 0 T1cos150° T2cos45° y -196 N T1sin150° T2sin45° On peut ensuite faire la somme des forces en x F x 0 T1 cos150 T2 cos 45 0 On peut aussi faire la somme des forces en y F y 196 N T1 sin150 T2 sin 45 0 Aucune équation ne nous permet de trouver directement une des inconnues. Pour résoudre ce genre d’équation, on isole T2 dans la première équation T1 cos150 T2 cos 45 0 T1 cos150 T2 cos 45 T1 cos150 0 T1 cos150 T2 cos 45 T1 cos150 T2 cos 45 T1 cos150 cos 45 cos 45 T cos150 T2 1 cos 45 cos150 T2 T1 cos 45 T2 T1 1, 2247 On substitue dans la deuxième équation pour obtenir T1 cos150 T2 cos 45 0 196 N T1 sin150 T1 1, 2247 sin 45 0 196 N T1 0,5 T1 0,866 0 196 N T1 0,5 0,866 0 196 N T1 1,366 0 196 N T1 1,366 196 N 0 196 N T1 1,366 196 N T1 1,366 196 N 1,366 1,366 196 N T1 143,5N 1,366 Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 16 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec En utilisant cette valeur, on trouve ensuite T2. T2 T1 1, 2247 143,5 N 1, 2247 175,7 N Une fois la réponse obtenue, ça peut être une bonne idée de remplacer ces chiffres dans les deux équations de départ (somme des forces en x et en y) pour vérifier que ça marche… On pourrait faire une petite variante de ce problème. On pourrait suspendre le feu de circulation de cette façon. www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/x--i5ss-question_block-mainproblem-i-m-having-problem-end-t1-t2-equal-814-i-think-814-sin-q343518 (Il y a une corde de plus dans cette version, qui relie le feu au nœud qui relie les trois cordes.) Dans cette variable, on trouverait premièrement la tension de la troisième corde en faisant la somme des forces sur le feu. On trouverait alors assez facilement que la tension T3 doit être de 196 N. On examinerait ensuite les forces sur le nœud qui relie les trois cordes. On aurait alors les forces suivantes. Avec ces forces, on revient exactement aux mêmes forces qu’on avait dans notre exemple. Tout ça pour dire que s’il y a un nœud reliant plusieurs cordes, on trouve souvent la solution du problème en faisant la somme des forces sur le nœud. Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 17 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec La mise en évidence Dans l’exemple précédent, on a dû faire l’étape suivante dans les calculs T1 0,5 T1 0,866 T1 0,5 0,866 Pour résoudre l’équation. Cette procédure s’appelle une mise en évidence. On fait cette étape quand on remarque qu’une variable se retrouve plusieurs fois des termes qui s’additionnent ou qui se soustraient. Par exemple, supposons qu’on ait la situation suivante 26 N F sin 35 F 0,356 F sin 135 0 On remarque alors qu’on retrouve F dans 3 termes additionnés ou soustraits. On peut alors mettre F en évidence pour obtenir 26 N F sin 35 0, 356 sin 135 0 Remarquez qu’entre parenthèse, on retrouve la même chose qu’on avait avec les 3 termes, sauf qu’on a enlevé F. On peut alors calculer la valeur de ce qu’il y a entre parenthèse pour obtenir. 26 N F sin 35 0,356 sin 135 0 26 N F 0, 22247 0 À partir de là, on pourrait isoler F. Exemple 4.3.5 Quel doit être la valeur minimale du coefficient de friction entre la pente et le bloc pour que ce dernier ne glisse pas ? www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/block-mass-m1-86-kg-incline-angle-30-respect-horizontal-firstquestion-friction-rest-probl-q5866067 Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 18 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Les forces sur le bloc sont 1. La gravitation de 5 kg x 9,8 N/kg = 49 N vers le bas 2. La normale faite par la pente 3. La force de friction qui s’oppose à la descente du bloc Le tableau des forces nous donne donc Forces Poids Normale Friction x 0 FN cos 115° Ff cos 25° y -49 N FN sin 115° Ff sin 25° La somme des forces en x (somme de la colonne x du tableau) F x 0 FN cos115 Ff cos 25 0 La somme des forces en y (somme de la colonne y du tableau) F y 49 N FN sin115 Ff sin 25 0 Encore une fois, on se retrouve avec deux équations dans lesquelles il y a nos deux inconnues. On doit donc isoler une des variables dans une équation pour ensuite aller substituer dans l’autre équation. Avec la première équation, on a FN cos115 F f cos 25 0 FN cos115 Ff cos 25 Ff cos 25 0 Ff cos 25 FN cos115 Ff cos 25 FN cos115 Ff cos 25 cos115 cos115 Ff cos 25 FN cos115 FN 2,1445Ff En substituant dans l’autre équation, on a 49 N FN sin115 Ff sin 25 0 49 N Ff 2,1445 sin115 Ff sin 25 0 49 N Ff 1,9436 Ff 0,4226 0 Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 19 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec On va maintenant mettre en évidence pour obtenir 49 N F f 1,9436 Ff 0, 4226 0 49 N F f 1,9436 0, 4226 0 49 N Ff 2,3662 0 Il ne reste qu’à isoler Ff . 49 N Ff 2,3662 0 49 N Ff 2,3662 49 N 0 49 N Ff 2,3662 49 N Ff 2,3662 49 N 2,3662 2,3662 49 N Ff 2,3662 Ff 20,708N On trouve ensuite la force normale sur le bloc FN 2,1445Ff 2,1445 20,708 N 44, 409 N Si le bloc ne glisse pas, il faut que µsFN soit supérieure ou égale à la force de friction. On a donc µs FN F f La plus petite valeur que peut avoir µsFN est donc de µs min FN F f Avec les valeurs de la normale et de la friction, on peut trouver la valeur de µs min . µs min FN F f µs min 44, 409 N 20,708 N Il ne reste qu’à isoler le coefficient Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 20 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec µs min 44, 409 N 20,708 N µs min 44, 409 N 20,708 N 44, 409 N 44, 409 N 20,708 N µs min 44, 409 N µs min 0, 4663 Exemples avec plusieurs corps Quand il y a plusieurs objets dans notre système, on doit faire la somme des forces séparément pour chacun des objets. Exemple 4.3.6 Werner, dont la masse est de 70 kg, se retrouve dans la situation montrée sur la figure. La pierre de 100 kg ne glisse pas. (Il n’y a pas de friction entre le sol et la corde sur le bord de la falaise) www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/75climber-finds-dangling-edgeof-ice-cliff-shown-figure-fortunately-sroped-880-rock-locat-q780848 a) Quelle est la force de friction sur la pierre ? Ici, il y a deux objets (la pierre et Werner). On doit trouver les forces qui s’exercent sur chacun de ces objets. Les forces sur pierre sont 1. Une force de gravitation de 980 N vers le bas. 2. Une normale FN vers le haut. 3. Une force de friction vers la gauche. 4. La tension de la corde vers la droite. Les équations des forces sont Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 21 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec F F x T Ff 0 y 980 N FN 0 Les forces sur Werner sont 1. Une force de gravitation de 686 N vers le bas. 2. La tension de la corde vers le haut. L’équation des forces en y est donc F y 686 N T 0 On trouve la tension de la corde avec cette équation 686 N T 0 686 N T 686 N 0 686 N T 686 N On peut ensuite utiliser cette valeur dans l’équation des forces en x de la pierre. T Ff 0 686 N F f 0 686 N F f 686 N 0 686 N F f 686 N F f 686 N b) Quel doit-être la valeur minimale du coefficient de friction pour que la pierre ne glisse pas ? Si la pierre ne glisse pas, il faut que µsFN soit supérieure ou égale à la force de friction. On a donc µs FN F f La plus petite valeur que peut avoir µsFN est donc de µs min FN F f On a donc Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 22 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec µs min FN 686 N Pour trouver la valeur du coefficient de friction, on doit trouver la normale. On peut la trouver avec somme des forces en y sur la pierre. Cette somme était 980 N FN 0 Si on isole la normale, on obtient 980 N FN 0 980 N FN 980 N 0 980 N FN 980 N On a donc µs min FN 686 N µs min 980 N 686 N µs min 980 N 686 N 980 N 980 N 686 N µs min 980 N µs min 0,7 Exemple 4.3.7 Quelle doit être la valeur de la masse m pour que ce système soit en équilibre ? Il n’y a pas de friction entre la masse inconnue et la surface. ww.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/consider-three-connected-objects-shown-figure--assume-first-inclinedplane-frictionless-sy-q4332920 Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 23 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Ici, il y a deux objets (la masse de 2 kg et la masse inconnue). On doit trouver les forces qui s’exercent sur chacun de ces objets. Les forces sur la masse de 2 kg. 1. La gravitation de 2 kg x 9,8 N/kg = 19,6 N vers le bas 2. La tension de la corde vers le haut La somme des forces en y est donc F y 19,6 N T 0 On trouve alors la tension de la corde. 19, 6 N T 0 19, 6 N T 19, 6 N 0 19, 6 N T 19, 6 N Les forces sur la masse inconnue sont 1. La gravitation de m x 9,8 N/kg vers le bas. 2. La normale à 110°. 3. La tension de la corde de 19,6 N à 20°. Le tableau des forces est Forces Poids Normale Tension x 0 FN cos110° 19,6 N cos 20° = 18,42 N y -m x 9,8 N/kg FN sin110° 19,6 N sin 20° = 6,70 N Les équations des forces sont donc F F x FN cos 110 18, 42 N 0 y m 9,8 kgN FN sin 110 6,70 N 0 On trouve la normale avec la première équation Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 24 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec FN cos 110 18, 42 N 0 FN cos 110 18, 42 N 18, 42 N 0 18, 42 N FN cos 110 18, 42 N FN cos 110 18, 42 N cos 110 cos 110 FN 18, 42 N cos 110 FN 53,85N On trouve ensuite la masse avec la deuxième équation. m 9,8 kgN FN sin 110 6, 70 N 0 m 9,8 kgN 53,85N sin 110 6,70 N 0 m 9,8 kgN 57,31N 0 m 9,8 kgN 57,31N 57,31N 0 57,31N m 9,8 kgN 57,31N m 9,8 kgN 9,8 kgN m 57, 31N 9,8 kgN 57,31N 9,8 kgN m 5,85kg m 5,85kg Exemple 4.3.8 Dans la situation montrée sur la figure, quelle est la tension de la corde ? www.ux1.eiu.edu/~cfadd/1350/Hmwk/Ch05/Ch5.html Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 25 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Regardons premièrement les forces sur le bloc du haut. Les forces sur le bloc sont 1. La gravitation de 10 kg x 9,8 N/kg = 98 N vers le bas. 2. Une normale vers le haut. 3. Une force de friction horizontale faite par la boite du bas. 4. La force de 50 N vers la droite. On se doute que la force de friction doit être vers la gauche parce que c’est la seule force qui peut annuler la force de 50 N. Les équations des forces sont alors F F x F f 50 N 0 y 98 N FN 0 Avec la première équation, on trouve la friction F f 50 N 0 F f 50 N 50 N 0 50 N F f 50 N F f 50 N Avec la deuxième équation, on trouve la force normale 98 N FN 0 98 N FN 98 N 0 98 N FN 98 N (En passant, on peut vérifier que la boite du haut ne bouge pas puisque la force de friction statique maximale est de F f max µs FN 0,7 98 N 68,6 N Comme on tire avec seulement 50 N, la boite ne bouge pas) Examinons maintenant les forces sur la boite du bas. Les forces sont 1. La gravitation de 20 kg x 9,8 N/kg = 196 N vers le bas. Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 26 Luc Tremblay 2. 3. 4. 5. Collège Mérici, Québec Une normale vers le haut faite par le sol. Une normale vers le bas de 98 N faite par la boite du haut. La force de friction vers la droite de 50 N faite par la boite du haut. La tension de la corde vers la gauche. Les forces 3 et 4 sont là en vertu de la troisième loi de Newton. En effet, la normale de 98 N sur la boite du haut est faite par la boite du bas. Or, si la boite du bas fait une normale de 98 N vers le haut sur la boit du haut, alors la boite du haut doit faire une normale de 98 N vers le bas sur la boite du bas. Il en va de même pour la friction. La force de friction de 50 N sur la boite du haut est faite par la boite du bas. Or, si la boite du bas fait une force de friction de 50 N vers la gauche sur la boite du haut, alors la boite du haut doit faire une force de friction de 50 N vers la droite sur la boite du bas. Les équations des forces sont alors F F x 50 N T 0 y 98 N FN 2 196 N 0 Avec la première équation, on trouve la tension 50 N T 0 50 N T 50 N 0 50 N T 50 N T 50 N Exemples avec une corde qui passent plusieurs fois dans une poulie Il est possible que la corde passe plusieurs fois dans la poulie comme dans les poulies de cette figure. Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 27 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec www.justonly.com/blog/?cat=8 Dans ce cas, il faut bien examiner la corde qui passe dans la poulie pour trouver combien de fois la corde tire sur la poulie. Parfois, il faudra aussi faire l’équation des forces s’exerçant sur la poulie pour trouver une tension. Dans ce cas, on négligera la masse de la poulie à moins d’indication contraire. Les exemples suivants illustrent ces deux idées. Exemple 4.3.9 Quelle est la tension T1 dans la situation montrée sur la figure ? (La masse de la poulie est négligeable.) science.howstuffworks.com/transport/engines-equipment/pulley.htm On va commencer par trouver la tension de la corde 2 en faisant la somme des forces sur le bloc de 10 kg. Il y a deux forces sur le bloc. 1. La gravitation de 10 kg x 9,8 N/kg = 98 N vers le bas 2. La tension de la corde vers le haut L’équation des forces en y sur le bloc est donc de F y Version 2016b 98 N T2 0 4 – L’équilibre statique 1 28 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec On peut alors isoler T2. 98 N T2 0 98 N T2 98 N 0 98 N T2 98 N Trouvons par la suite les forces qui s’exercent sur la poulie. Si on néglige la masse de la poulie, les forces sont 1. La tension de 98 N vers le bas 2. La tension de la corde vers le haut. Comme la corde sort des deux côtés de la poulie, la corde tire deux fois sur la poulie. L’équation des forces en y sur le bloc est donc de F y 98 N T1 T1 0 La solution est 98N T1 T1 0 98N 2T1 0 98 N 2T1 98N 0 98N 2T1 98 N 2T1 98N 2 2 98 N T1 2 T1 49 N Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 29 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Exemple 4.3.10 En 2008, on a amené le sous-marin Onondaga sur la terre ferme pour l’installer le long du quai de Pointe-au-Père à Rimouski. Pour y arriver, on a tiré le sous-marin de 1400 tonnes le long d’une rampe inclinée de 4° à l’aide de poulie. En tout, le câble d’acier tirait 18 fois sur la poulie attachée au sous-marin. Le sous-marin était sur des petits chariots, ce qui limitait la friction entre le sol et le sous-marin de sorte qu’on va la négliger ici. Avec quelle force devait-on tirer sur le câble pour faire monter le sous-marin à vitesse constante ? www.thebattleofatlanticmuseum.ca/page3/page3.html www.cstephenmurray.com/onlinequizes/physics/simplemachines/pulleybasics.htm Commençons par trouver la force avec laquelle on doit tirer le sous-marin pour le faire monter à vitesse constante. Les forces sur le sous-marin sont les suivantes 1. La gravitation de 1 400 000 kg x 9,8 N/kg = 13 720 000 N vers le bas 2. La normale 3. La tension de l’attache de la poulie vers le haut. On a donc Forces Poids Normale Tension Version 2016b x 0 FN cos 94° T1 cos 4° y - 13 720 000 N FN sin 94° T1 sin 4° 4 – L’équilibre statique 1 30 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Les équations des forces sont donc F F x FN cos 94 T1 cos 4 0 x 13 720 000 N FN sin 94 T1 sin 4 0 Encore une fois, on ne peut pas trouver T1 ou FN directement. On va donc isoler la normale dans la première équation FN cos 94 T1 cos 4 0 FN cos 94 T1 cos 4 T1 cos 4 0 T1 cos 4 FN cos 94 T1 cos 4 FN cos 94 T1 cos 4 cos 94 cos 94 FN T1 cos 4 cos 94 FN cos 4 T1 cos 94 FN 14,3 T1 Pour ensuite remplacer cette valeur dans la deuxième équation 13 720 000 N FN sin 94 T1 sin 4 0 13 720 000 N 14,3 T1 sin 94 T1 sin 4 0 13 720 000 N T1 14,3 sin 94 sin 4 0 13 720 000 N T1 14,34 0 13 720 000 N T1 14,34 13 720 000 N 0 13 720 000 N T1 14,34 13 720 000 N T1 14,34 13 720 000 N 14,34 14,34 13 720 000 N T1 14,34 T1 957 059 N C’est la force qu’il faudrait déployer s’il fallait tirer directement sur le sous-marin. Examinons maintenant les forces sur la poulie. Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 31 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Les forces sur la poulie sont 1. La force faite par l’attache de la poulie, qui est de T1 = 957 059 N 2. La tension de la corde de l’autre côté de la poulie. Comme la corde sort 18 fois de la poulie, la corde tire 18 fois sur la poulie. L’équation des forces en x est 957 059 N 18T2 0 Si on isole T2, on obtient 957 059 N 18T2 0 957 059 N 18T2 957 059 N 0 957 059 N 18T2 957 059 N 18T2 957 059 N 18 18 957 059 N T2 18 T2 53170 N C’est quand même beaucoup, soit l’équivalent du poids d’une masse de 5,4 tonnes, mais on peut facilement trouver un treuil qui peut fournir une telle force. Conditions d’équilibre F F Version 2016b x 0 y 0 4 – L’équilibre statique 1 32 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 4.2 Séparation des forces qui ne sont ni horizontale ni verticale 1. Déterminer les composantes x et y des forces suivantes : a) A = 200 N à 140° b) B = 400 N à -110° 2. Les deux forces représentées sur la figure sont appliquées sur un objet. a) Calculer la somme des forces en x. b) Calculer la somme des forces en y. 3. Un enfant maintient un cerf-volant en vol en tirant sur une corde reliée au cerfvolant avec une force de 650 N. Calculer les composantes en x et en y de la force que la corde exerce sur le cerf-volant. 4. Un paquebot en panne est tiré par trois remorqueurs A B et C. Les forces exercées par les remorqueurs sont A : 3500 N dirigée à 50° au nord de l’est B : 7000 N dirigée à 30° au nord de l’est C : 9000 N dirigée à 20° au sud de l’est Déterminer les composantes de la force résultante de ces trois forces sur le paquebot. Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 33 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 5. Cet objet est soumis aux forces montrées sur la figure. Quelles sont les sommes des forces en x et en y sur l’objet ? www.physicsclassroom.com/class/vectors/u3l3a.cfm 6. Le petit Aaron sur son traineau de 2 kg se fait tirer par ses parents, Alfred et Gertrude. Quelles sont les sommes des forces en x et en y faites sur le traineau par ces trois forces ? www.chegg.com/homework-help/questions-andanswers/22-kg-child-ride-teenagers-pull-32-kg-sled-ropes-indicated-figure-figure -1--teenagers-pull-q2939212 7. Quelles sont les sommes des forces en x et en y faites par les 3 cordes ? www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/result-force-vertically-upward-850n-i-f1-319n-i-having-troublefinding-theta-best-way-angl-q1954937 Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 34 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 4.3 Exemples d’équilibre statique 8. Une sphère homogène d’un rayon de r = 5 cm et une masse de 3,6 kg est maintenue en place contre un mur par une corde fixée au mur à une distance L = 30 cm au-dessus du centre de la sphère. a) Quelle est la tension dans la corde ? b) Quelle est la normale faite par le mur sur la sphère ? 9. Quelles sont les normales s’exerçant sur cette balle de 400 g ? (Il n’y a pas de friction entre la boule et les surfaces.) www.ipho2012.ee/physicscup/physics-solvers-mosaic/3-force-diagrams-or-generalized-coordinates/ 10. Irina, dont la masse est de 60 kg, fait de l’escalade. À un certain moment, elle se retrouve dans la position montrée sur la figure. (Il n’y a pas de friction entre la falaise et les pieds d’Irina.) cnx.org/content/m42139/latest/?collection=col11406/latest a) Quelle est la tension de la corde ? b) Quelle est la grandeur de la normale s’exerçant sur les pieds d’Irina ? Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 35 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 11. Un petit bateau est amarré dans une rivière par trois câbles. Le courant exerce sur le bateau une force de 300 N parallèle à la rive. La tension du câble B est de 224 N. Calculer la tension des câbles A et C. (Vous pouvez laisser faire le poids du bateau ici puisqu’il est annulé par la force de flottaison du bateau, qui est l’équivalent de la normale sur l’eau.) 12. Ghislain tire un bloc de glace de 100 kg avec une force F de 400 N appliquée avec un angle de 30° par rapport à l’horizontale. Malgré ses efforts, le bloc ne bouge pas. a) En faisant la somme des forces en x et en y, déterminez la grandeur de chacune des forces qui s’appliquent sur le bloc de glace. b) Quelle est la valeur minimale du coefficient de friction pour que le bloc reste en place ? cnx.org/content/m42139/latest/?collection=col11406/latest 13. Une boite de 3 kg est posée sur une pente inclinée à 25°. La friction est suffisante pour maintenir le bloc en place. a) Déterminer la grandeur de chacune des forces qui s’applique sur la boite. b) Quel doit être la valeur du coefficient de friction minimal pour que le bloc puisse rester en place ? Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 36 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 14. Un objet est suspendu avec deux cordes telles qu’illustrées sur la figure. Quelles sont les tensions des cordes ? www.saburchill.com/physics/chapters/0020.html 15. Une force F maintient un bloc de 10 kg dans la position d’équilibre montrée sur la figure. www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/a-10-mass-is-suspended-at-rest-by-two-strings-attachedto-wallsas-shown-in-the-figure-belo-q689905 a) Quelle est la valeur de F ? b) Quelle est la tension de la corde ? 16. Un bloc de 30 kg est maintenu en place sur une surface inclinée de 25° par une corde horizontale. Il n’y a pas de friction entre le bloc et la surface.) www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/question-1-classic-carnival-ride-patrons-stand-wall-cylindricallyshaped-room-room-gets-sp-q4298548 a) Quelle est la tension de la corde ? b) Quelle est la grandeur de la normale sur le bloc ? Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 37 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 17. Un bloc de 1 kg est maintenu en place sur un mur quand on appuie dessus. Avec quelle force minimale doit-on appuyer pour que l’objet ne glisse pas si le coefficient de friction statique entre le bloc et le mur est de 0,8 ? www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/physics-archive-2013-february-23 18. En faisant la somme des forces au point B, déterminer la tension dans les câbles et la grandeur de la force exercée (tension ou compression) par chaque tige. Attention : La corde BC dans la figure de droite n’est pas la même que celle passant par la poulie. 19. Une boite A de 5 kg est posée sur une autre boite B de 10 kg. La boite A est attachée au mur tel qu’illustré sur la figure. www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/physics-archive-2012-september-06 Le coefficient de friction statique entre la boite A et la boite B est de 0,8 et le coefficient de friction statique entre la boite B et le sol est nul. Quelle est la tension de la corde si on tire avec une force de 10 N ? Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 38 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 20. Un bloc de 10 kg est placé sur un bloc de 20 kg posé sur une table. Déterminer l’intensité de toutes les forces appliquées sur chacun des blocs. www.alpcentauri.info/chapter_4_problems1.html 21. Un bloc de 200 g est relié par une corde à un bloc de 300 g tel qu’illustré sur la figure. On attache ensuite le bloc de 200 g au plafond à l’aide d’une autre corde. Calculer la tension dans les cordes. www.masteringphysicssolutions.net/mastering-physics-solutions-two-hanging-masses/ 22. Quelle est la normale entre le sol et le bloc de 12 kg dans cette situation ? whs.wsd.wednet.edu/faculty/busse/mathhomepage/busseclasses/apphysics/studyguides/APPhysics2012/Chapter5_2012/Ch apter5_2012.html Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 39 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 23. Quelle est la tension de cette corde qui maintient cette masse de 100 kg à l’équilibre ? en.wikipedia.org/wiki/Mechanical_advantage_device 24. Dans la situation illustrée sur la figure, avec quelle force doit-on tirer sur la corde pour que la masse soit en équilibre ? www.physicsforums.com/showthread.php?t=192001 25. Quelle doit être la masse de la chaudière pour que ce système soit en équilibre ? physicstasks.eu/uloha.php?uloha=508 Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 40 Luc Tremblay Collège Mérici, Québec 4.2 Séparation des forces qui ne sont ni horizontale ni verticale 1. a) Ax = -153,2 N Ay = 128,6 N b) Bx = -136,8 N By = -375,9 N 2. a) 5,92 N b) 14,57 N 3. en x : 499,3 N en y = -416,1 N 4. en x : 16 769 N en y : 3103 N 5. somme en x = 32,07 N somme en y = -22,93 N 6. somme en x = -33,11 N somme en y = 0 N 7. somme en x = 208,18 N somme en y = 968,69 N 4.3 Exemples d’équilibre statique 8. a) 35,77 N b) 5,88 N 9. mur vertical : 6,79 N vers la gauche surface inclinée : 7,84 N à 30° 10. T = 590,9 N FN = 315,0 N 11. TA = 24,24 N TC = 175,6 N 12. a) P = 980 N F = 400 N FN = 780 N Ff = 346,4 N b) µ = 0,444 13. a) P = 29,4 N FN = 26,6 N Ff = 12,4 N b) µ = 0,467 14. Corde de droite : 199 N corde de gauche : 374 N 15. T = 113,2 N F = 56,58 N 16. a) 137,1 N b) 324,4 N 17. 12,25 N 18. a) poutre AB : compression, 2400 N poutre BC : tension, 3000 N b) poutre AB : tension, 3916 N câble BC : tension, 2517 N 19. 10 N 20. Sur le bloc du haut : Poids 98 N vers le bas, Normale : 98 N vers le haut Sur le bloc du bas : Poids 196 N vers le bas, Normale avec le bloc du haut : 98 N vers le bas, Normale avec la table : 294 N vers le haut. 21. T1 = 4,9 N T2 = 2,94 N 22. FN = 78,4 N vers le haut 23. 326,7 N 24. 24,5 N 25. 12,5 kg Version 2016b 4 – L’équilibre statique 1 41
