Chapitre1 : Fondements

Chapitre1 : Fondements
1. Expériences aléatoires, événements, probabilité d’un
événement.
2. Principales propriétés des probabilités.
3. Analyse combinatoire.
4. Probabilités conditionnelles.
5. Probabilités totales et formule de BAYES.
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 1/??
I-Expériences Aléatoires
I.1 : Exemples
:
Exemple 1 :
On lance une pièce de monnaie bien équilibrée.
1. Quel est l’ensemble des résultats possibles pour cette
expérience aléatoire ?
Ω = {P, F }
2. Quelle est la probabilité d’obtenir Pile ?
L’événement “Obtenir Pile” est représenté par A = {P }
et on a
P(A) = 1/2
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 2/??
Exemple 2
On lance un Dé bien équilibré.
1. Quel est l’ensemble des résultats possibles Ω
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 ?
A = {3} et P(A) = 1/6
3. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair ?
B = {1, 2, 3} et P(B) = 3/6
4. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre entier
entre un 1 et 6 ?
C = Ω et P(C) = 1
5. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre plus
grand strictement que 6 ?
D = ∅ et P(D) = 0
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 3/??
Exemple 3
On lance un dé bien balancé à deux reprises. Quel est
l’ensemble des résultats possibles Ω


(1, 1) (1, 2)




(2, 1) (2, 2)



 (3, 1) (3, 2)
Ω=

(4, 1) (4, 2)





(5, 1) (5, 2)



(6, 1) (6, 2)
(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
(5, 3)
(6, 3)
(1, 4)
(2, 4)
(3, 4)
(4, 4)
(5, 4)
(6, 4)

(1, 5) (1, 6) 



(2, 5) (2, 6) 



(3, 5) (3, 6) 
(4, 5) (4, 6) 




(5, 5) (5, 6) 



(6, 5) (6, 6)
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 4/??
Exemple 3
1. Quelle est la probabilité que la somme des deux
lancers soit égale à 10 ?
A = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
et
P(A) = 3/36
2. Quelle est la probabilité pour que le plus grand des
deux lancers soit égale à 4 ?
B = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (4, 3), (4, 2), (4, 3)}
et
P(B) = 7/36
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 5/??
Exemple 4
Pierre, Paul et Marie lancent une piéce de monnaie à tour
de rôle jusqu’à ce que l’un d’entre eux obtienne une face.
Le premier qui obtient une face gagne le jeu. Pierre lance
en premier, puis c’est au tour de Paul, puis c’est Marie, puis
Pierre, puis Paul, etc.
1. Quel est l’ensemble des résultats possibles pour cette
expérience ?
2. Quelles sont leurs chances respectives de gagner ?
Ω = {F, P F, P P F, P P P F, P P P P F, P P P P P F, P P P P P P F, ...}
On constate que Ω est un ensemble dénombrable. Il y a
une bijection entre Ω et N.
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 6/??
Exemple 4
1. Pierre gagne si l’événement suivant est réalisé :
A = {F, P P P F, P P P P P P F, P P P P P P P P P F, ...}
et P(A) =
1
2
+
1
24
+
1
27
+
1
210
+ ...
2. Paul gagne si l’événement suivant est réalisé :
B = {P F, , P P P P F, P P P P P P P F, P P P P P P P P P P F...}
et P(B) =
1
22
+
1
25
+
1
28
+
1
211
+ ...
3. Marie gagne si l’événement suivant est réalisé :
C = {P P F, P P P P P F, P P P P P P P P F, P P P P P P P P P P P F, ...}
et P(C) =
1
23
+
1
26
+
1
29
+
1
212
+ ...
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 7/??
Exemple 5
Choisir, au hasard et de façon uniforme, un point sur le
disque de rayon R centré à l’origine.
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 8/??
Exemple 5
Quelle est la probabilité que le point choisi soit à l’intérieur
de l’anneau A de rayons R/4 et R/3 centré à l’origine ?
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 9/??
Exemple 5
p
Ω = D(O, R) = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ R}
L’anneau A est un sous ensemble de Ω :
et
p
A = {(x, y) ∈ R2 |R/4 ≤ x2 + y 2 ≤ R/3}
Surface de A π((R/3)2 − (R/4)2 )
P(A) =
=
= 7/144
2
Surface de D
πR
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 10/??
I.2 : Evénement
Tout événement est représenté par une partie de Ω
On note en particulier :
ω =événement élémentaire
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 11/??
I.3 : Opérations sur les événements
1. Intersection
A ∩ B = {ω ∈ Ω|ω ∈ A etω ∈ B}
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 12/??
Opération sur les événements
2 Union :
A ∪ B = {ω ∈ Ω|ω ∈ A ou ω ∈ B}
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 13/??
Opérations sur les événements
3 Différence symetrique :
A∆B = (A − B) ∪ (B − A)
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 14/??
Opérations sur les événements
4 Complémentation :
Ac = Ω − A
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 15/??
I.4 : Réalisation des événements
1. ω ∈ A =⇒ L’événement A est réalisé
2. ω ∈ A ∩ B =⇒ A réalisé et B réalisé
3. ω ∈ A ∪ B =⇒ A réalisé ou B réalisé
4. ω ∈ Ac =⇒ A n’est pas réalisé
5. ω ∈ A∆B =⇒ [A réalisé et B non réalisé] ou [A non
réalisé et B réalisé]
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 16/??
I.5 : Tribu des événements
On note F l’ensemble des événements.
F doit vérifier :
1. Ω ∈ F
2. A ∈ F =⇒ Ac ∈ F
3. Si A1 ∈ F , A2 ∈ F , ..., An ∈ F , ... alors
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ .... ∪ An ∪ .... ∈ F
F s’appelle tribu des événements
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 17/??
I.6 : Probabilité
A tout événement A ∈ F on associe un nombre
P(A) ∈ [0, 1].
P(A) mesure les chance de réalisation de l’événement A.
L’application
P : F −→ [0, 1]
A 7−→ P(A)
est une probabilité si elle vérifie les axiomes de
Kolmogorov.
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 18/??
Axiomes de Kolmogorov
1. ∀A ∈ F, 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(φ) = 0
et
P(Ω) = 1
3. Si n ∈ N et si A1 , ..., An sont d mutuellements exclusifs,
P(
n
[
Ai ) =
n
X
P(Ai )
i=1
i=1
4. si A1 , ..., An , ... sont mutuellements exclusifs,
P(
∞
[
i=1
Ai ) =
∞
X
P(Ai )
i=1
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 19/??
II- : Principales propriétés
Propriété 1 :
Le cas équiprobable
⇒ Ω est fini :
Ω = {ω1 , ω1 , . . . , ωn }
⇒ Tous les résultas de l’expérience aléatoire ont la
même chance d’étre réalisé :
P{ω1 } = P{ω2 } = . . . = P{ωn } = 1/n
∀ A ⊂ Ω on a :
card(A)
P(A) =
card(Ω)
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 20/??
Principale propriétés
Exemple 1 On tire au hasard une main de poker (5 carte)à
partir d’un jeu ordinaire de 52 cartes. Calculez la probabilité
d’obtenir un full c-à-d une main comprenant une paire et un
triplet.
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 21/??
Principales propriétés
Propriété 2 : Complémentation
Pour tout événement A, on a
P(A) = 1 − P(Ac )
Exemple 2 Combien de fois faut-il lancer un dé bien
balancé pour que la probabilité d’obtenir au moins un 6 soit
supérieur à 95% ?
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 22/??
Principales propriétés
Propriété 3 : L’identité de POINCARÉ
Si E1 et E2 sont deux événements alors
P(E1 ∪ E2 ) = P(E1 ) + P(E2 ) − P(E1 ∩ E2 )
Exemple 3 On lance un dé bien balancé trois fois. Calculer
la probabilité d’obtenir au moins une fois un 6.
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 23/??
Principales propriétés
Propriété 4 : MONOTONOCITÉ
Si A et B sont des vévénements alors,
A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
Exemple 4 Considérons l’expérience aléatoire qui consiste
à lancer un dé, bien équilibré, dix fois. Considérons les
événements : A="la somme des dix lancers est plus petite
que 14"
B="chacun des dix lancers est plus petit que 5"
Montrer que A ⊂ B et calculer P(B).
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 24/??
Principales propriétés
Propriété 5 : Iégalité de BOOLE
Si A1 , ..., An sont des événements,
alors
n
Sn
P
P(Ak )
P( k=1 Ak ) ≤
k=1
Propriété 6 : Propriété de BONFERRONI
Si A1 , ..., An sont des événements, alors
n
Tn
P
P(Ack )
P( k=1 Ak ) ≥ 1 −
k=1
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 25/??
Principales propriétés
Propriété 7 : Continuité pour les suites croissantes
Si
A1 ⊂ A2S⊂ A3 ⊂ ... ⊂ An ⊂ ....
alors P( ∞
k=1 Ak ) = lim P(An )
n→∞
Propriété 8 : Continuité pour les suites décroissantes
Si T
A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ....
P( ∞
k=1 Ak ) = lim P(An )
n→∞
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 26/??
III- : Analyse combinatoire
III.1 : Introduction
On suppose que Card(Ω) = n et tous les résultats sont
equiprobables
Alors pour tout événement A on a :
card(A)
nombre de cas favorables
P(A) =
=
card(Ω)
nombre total de cas possibles
Définition 5 L’ensemble des techniques de dénombrement
s’appelle l’analyse combinatoire
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 27/??
Exemple 6 Les codes régionaux de téléphones
d’Amérique du nord étaient tous de de la forme (a, b, c)avec
a ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, b ∈ {0, 1},c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Combien de codes régionaux étaient possibles.
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 28/??
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 29/??
Analyse combinatoire
III.2- Le principe fondamentale du dénombrement
Une procédure donnée comporte k étapes. Supposons
que :
1. Il y a n1 façons différentes de réaliser la première étape
2. Peu importe la façon choisie pour réaliser la première
étape, il y a n2 façons différentes de réaliser la
deuxième étape . . .
3. Peu importe la façon choisie pour réaliser les premières
k − 1 étapes,il y a nk façons différentes de réaliser
l’étape k
Alors il y a en tout n = n1 × n2 × ... × nk façons différentes
de réaliser la procédure.
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 30/??
Analyse combinatoire
Exemple 7 Sur les plaques d’immatriculation des véhicules
automobiles d’un pays, il y a 3 lettres suivies de 3 chiffres.
1. il y a en tout combien de numéros de plaque possibles
au pays ?
2. il y a en tout combien de numéros de plaque
comprenant 3 lettres différentes et 3 chiffres différents ?
3. Si on choisit un numéro de plaque au hasard, quelle est
la probabilité d’obtenir un numéro de plaque
comprenant 3 lettres differentes et 3 chiffres différents ?
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 31/??
Analyse combinatoire
III.3 :Permutations
Définition 8 Une permutation de n objets est un
arrangements ordonné de ces n objets.
Il y en a
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 3 × 2 × 1
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 32/??
Exemple 9 Sur un bureau il y a 12 livres : 4 livres de
mathématiques, 3 livres d’économie générale, 3 livres de
comptabilité et 2 livres de finance. Il faut ranger ces livres
sur une tablette.
1. De combien de façons peut-on ranger ces 12 livres sur
la tablette ?
2. Si les livres sont rangés au hasard, quelle est la
probabilité que les livres se retrouvent groupés par
matière ?
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 33/??
Analyse combinatoire
III.4 :Arrangements
Définition 10 Le nombre de permutations de r objets
choisis parmi un groupe de n objets est :
Arn
n!
=
(n − r)!
Exemple 11 A la finale du 100 mètres, il y a 8 coureurs qui
s’affrontent pour les médailles d’or, d’argent et de bronze.
De combien de façons différentes ces médailles
peuvent-elles être attribuées ?
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 34/??
Analyse combinatoire
III.5 :Combinaisons
Définition 12 : Soit un groupe de n objets. Un ensemble
de r objets choisis parmi ces n objets s’appelle une
combinaison
Le nombre de combinaisons de r objets choisies parmi un
groupe de n objets est :
n
n!
=
r
r!(n − r)!
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 35/??
Analyse cobinatoire
III.6-Quelques Identitée mathématiques
1.
(a + b)n =
n X
n
r=0
2.
2n =
r
ar bn−r
n X
n
r=0
r
3.
n
n
=
r
n−r
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 36/??
IV- Probabilités conditionnelles
IV.1 Introduction
:
Exemple 13 Je lance à deux reprises un dé bien
équilibré.
1. Quelle est la probabilité que j’obtienne au moins une
fois la valeur six ?
2. Maintenant, je lance le dé deux fois et je vous
annonce que la somme des deux lancers est 8.
Etant donné cette information, quelle est la
probabilité que j’aie obtenu au moins un six ?
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 37/??
IV.1 : Introduction


(1, 1) (1, 2)




(2, 1) (2, 2)



 (3, 1) (3, 2)
Ω=

(4, 1) (4, 2)





(5, 1) (5, 2)



(6, 1) (6, 2)
(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
(5, 3)
(6, 3)
(1, 4)
(2, 4)
(3, 4)
(4, 4)
(5, 4)
(6, 4)

(1, 5) (1, 6) 



(2, 5) (2, 6) 



(3, 5) (3, 6) 
(4, 5) (4, 6) 




(5, 5) (5, 6) 



(6, 5) (6, 6)
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 38/??
IV.2 Définition
Définition 14 Soit une expérience aléatoire décrite par
(Ω, F, P) Soit A et B deux événements tel que
P(B) > 0
La probabilité conditionnelle de A sachant B, dénotée
P(A | B), est définie par :
P(A ∩ B)
P(A | B) =
P(B)
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 39/??
IV.2 Définition
L’application
PB : F −→
[0, 1]
A 7−→ P(A | B)
est une mesure de probabilité. Elle vérifie les axiomes de
Kolmogorov :
Axiome 1 :
Pour tout événement A on a
0 ≤ P(A | B) ≤ 1
Axiome 2 :
P(φ | B) = 0
et
P(Ω | B) = 1
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 40/??
Axiome 3 :
Si A1 et A2 sont des événements exclusifs, alors
P(A1 ∪ A2 | B) = P(A1 | B) + P(A2 | B)
si A1 , ..., An , ... sont des événements
mutuellements exclusifs, alors
Axiome 4 :
P(
∞
[
i=1
Ai | B) =
∞
X
P(Ai | B)
i=1
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 41/??
IV.3 Formule des probabilités composées
1. A et B tels que P(A) > 0; P(B) > 0 Alors on a :
P(A ∩ B) = P(A | B) × P(B) = P(B | A) × P(A)
Exemple 15 Un panier contient cinq boules noires et trois
boules blanches. On tire deux boules au hasard et sans
remise à partir du panier. Quelle est la probabilité d’obtenir
deux boules noires ?
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 42/??
IV.4 Formule des probabilités totales
Partition de Ω
:
E1 , ..., En forment une partition de Ω si :
1. ils sont mutuellements exclusifs
Ei ∩ Ej = ∅
si i 6= j
2. Ils sont exhaustifs :
E1 ∪ E2 ∪ . . . ∪ En = Ω
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 43/??
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 44/??
La formule
Soient E1 , ..., En des événements mutuellements exclusifs
et exaustifs. Alors on a :
Pour tout événement A ∈ F
P(A) = Σnj=1 P(A | Ej )P(Ej )
Exemple 16 On lance une pièce de monnaie jusqu’à ce
qu’on obtienne une face. Puis, on lance un dé un nombre
de fois égal au nombre de fois qu’on a lancé la pièce de
monnaie. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un six
avec le dé ?
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 45/??
Exemple 17 Dans l’entrepôt d’une certaine usine de
fabrication de clous,
1. 50% des clous sont fabriqués par la machine I ;
2. 30% sont fabriqués par la machine II ;
3. 20% par la machine III.
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 46/??
1. Parmi les clous fabriqués par la machine I, 3% sont
défectueux.
2. Parmi ceux fabriqués par la machine II, 5% sont
défectueux
3. et parmi ceux fabriqués par la machine III, 8% sont
défectueux.
Si on obtient un clou choisi au hasard dans l’entrepôt de
cette usine, quelle est la probabilité que ce clou soit
défectueux ?
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 47/??
Formule de Bayes
Théorème 18 Soient E1 , ..., En des événements
mutuellements exclusifs et exaustifs.
Soit A un événement tel que P(A) > 0 Alors on a :
P(A | Ei )P(Ei )
P(Ei | A) = n
Σj=1 P(A | Ej )P(Ej )
Exemple 19 Considérons à nouveau l’exemple concernant
les clous. On obtient un clou provenant de l’entrepôt de
l’usine. On note que ce clou est défectueux. Sachant qu’il
est défectueux, quelle est la probabilité qu’il ait été fabriqué
par la machine I ?
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 48/??
Exemple 20 Dans une certaine population, 1 individu sur
1000 est porteur d’un certain virus V.
Les porteurs du virus ne présentent aucun symptôme
perceptible. Un test sanguin a été développé pour détecter
la présence du virus chez ces individus.
Le test a les propriétés suivantes :
1. Sur les individus qui portent le virus, le test est positif
avec probabilité 0.98
2. chez les individus qui ne portent pas le virus, le test est
négatif avec probabilité 0.97.
On choisit un individu au hasard dans cette population et on
lui administre le test. Le résultat du test est positif. Quelle
est la probabilité que cet individu soit porteur du virus ?
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 49/??
V-Indépendance
Définition 21 Deux événements A et B sont indépendants
si on a :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Exemple 22 On lance un dé deux fois. Les événements
suivants sont indépendants :
A : "obtenir un 5 au premier lancer"
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 50/??
V-Indépendance
Définition 23 Deux événements A et B sont indépendants
si on a :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Exemple 24 On lance un dé deux fois. Les événements
suivants sont indépendants :
A : "obtenir un 5 au premier lancer"
B :" obtenir un 3 au deuxième lancer"
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 50/??
Définition 25 Les événements A, B , C sont indépendants
si :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
P(A ∩ C) = P(A) × P(C)
P(B ∩ C) = P(B) × P(C)
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) × P(B) × P(C)
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 51/??
Contre exemple
Exemple 26 On lance une pièce de monnaie à deux
reprises.
Considérons les événement suivants :
A : "obtenir P au prmier lancer"
Ces événements sont mutuellements indépendants mais
ne sont pas indépendants.
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 52/??
Contre exemple
Exemple 27 On lance une pièce de monnaie à deux
reprises.
Considérons les événement suivants :
A : "obtenir P au prmier lancer"
B : "obtenir P au deuxième lancer"
Ces événements sont mutuellements indépendants mais
ne sont pas indépendants.
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 52/??
Contre exemple
Exemple 28 On lance une pièce de monnaie à deux
reprises.
Considérons les événement suivants :
A : "obtenir P au prmier lancer"
B : "obtenir P au deuxième lancer"
C : "obtenir deux résultats identiques"
Ces événements sont mutuellements indépendants mais
ne sont pas indépendants.
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 52/??
Préservation de l’indépendance
A et B indépendants alors A et B c indépendants
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 53/??
Préservation de l’indépendance
A et B indépendants alors A et B c indépendants
A et B indépendants alors Ac et B indépendants
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 53/??
Préservation de l’indépendance
A et B indépendants alors A et B c indépendants
A et B indépendants alors Ac et B indépendants
A et B indépendants alors Ac et B c indépendants
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 53/??
Préservation de l’indépendance
A et B indépendants alors A et B c indépendants
A et B indépendants alors Ac et B indépendants
A et B indépendants alors Ac et B c indépendants
A,B,C indépendants alors A ∩ B et C sont indépendants
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 53/??
Préservation de l’indépendance
A et B indépendants alors A et B c indépendants
A et B indépendants alors Ac et B indépendants
A et B indépendants alors Ac et B c indépendants
A,B,C indépendants alors A ∩ B et C sont indépendants
A,B,C indépendants alors A ∪ B et C sont indépendants
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 53/??
Préservation de l’indépendance
A et B indépendants alors A et B c indépendants
A et B indépendants alors Ac et B indépendants
A et B indépendants alors Ac et B c indépendants
A,B,C indépendants alors A ∩ B et C sont indépendants
A,B,C indépendants alors A ∪ B et C sont indépendants
A,B,C,D indépendants alors A ∩ B et C ∪ D sont
indépendants
Probabilités– A. YAACOUBI – Octobre 2011 – p. 53/??