Résolution d`intégrales contenant des expressions

Résolution d’intégrales contenant des expressions
trigonométriques.
A. ∫ sin m u cos n u du
1. m et/ou n sont des entiers positifs impairs
modifier la fonction trigonométrique dont l’exposant est impair ou dont l’exposant est
le plus petit impair en procédant comme suit:
♦ isoler un facteur de puissance un
♦ mettre en évidence un facteur carré et utiliser l’identité sin 2 u + cos2 u = 1 pour
obtenir une intégrale de la forme
∫ sin
p
u cos u du ou
∫ co u sinu du
p
♦ celle-ci pourra se résoudre par un changement de variable.
(voir les exemples 1 à 3)
2. m et n sont des entiers positifs pairs
Dans tous ces cas on s’organisera pour obtenir une fonction trigonométrique unique :
♦ mettre en évidence un facteur carré et utiliser les identités trigonométriques
sin 2 u =
1
(1 − cos 2 u)
2
ou
cos2 u =
1
(1 + cos 2 u)
2
pour obtenir une intégrale contenant une ou des intégrales de la forme
∫ cos v dv
ou
∫ cos
p
v dv
♦ dans le dernier cas il faudra réutiliser la dernière identité jusqu’à ce que l’on
obtienne l’intégrale d’un cosinus si p est pair sinon on se retrouve dans le cas 1.
(voir les exemples 4 à 6)
Claude Skeene
th_integ_express_trigo_sin_cos_sec_tan_3(int_etri.pdf)
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B. ∫ tan m u sec n u du
1. n est pair
♦ isoler un facteur sec 2 u et transformer le reste avec l’identité trigonométrique
sec 2 u = tan 2 u + 1
♦ on obtient alors une intégrale pouvant se résoudre par changement de variable
ayant la forme
∫ tan
p
u sec 2 u du
♦ celle-ci pourra se résoudre par un changement de variable.
(voir les exemples 19 à 22)
2. m et n sont impairs
♦ isoler un facteur sec u tan u et transformer tan m−1 u par
l’identité tan 2 u = sec 2 u − 1
♦ on obtient une intégrale pouvant se résoudre par changement de variable et de la
forme
∫ sec
p
u sec u tan u du
♦ celle-ci pourra se résoudre par un changement de variable.
(voir les exemples 23 et 24)
3. m est pair et n est impair
♦ transformer tan m u en mettant en évidence un facteur carré et en utilisant
l’identité tan 2 u = sec 2 u − 1
♦ effectuer les opérations pour obtenir une intégrale de la forme
∫ sec
p
u du
où p est impair
♦ utiliser la formule de réduction
secp−2 u tan u p − 2
p
p −2
∫ sec u du = p − 1 + p − 1 ∫ sec u du , p ≥ 2
♦ et utiliser la formule suivante
∫ sec u du = ln sec u + tan u + C
(voir les exemples 25 et 26)
Claude Skeene
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Exemples
1-
∫ sin
3
x cos 2 x dx = ∫ sin 2 x sin x cos2 x dx = ∫ (1 − cos2 x ) cos2 x sin xdx =
2
4
2
4
∫ (cos x − cos x ) sin xdx = ∫ cos x sin x dx − ∫ cos x sin x dx = −
cos3 x cos4 x
+
+C
3
4
2-
∫ cos
3
x dx = ∫ cos2 x cos x dx = ∫ (1 − sin 2 x ) cos x dx = ∫ cos x dx − ∫ sin 2 x cos x dx =
sin x −
sin 3 x
+C
3
3- a)
3
5
2
5
2
5
∫ sin x cos x dx = ∫ sin x sin x cos x dx = ∫ (1 − cos x ) cos x sin x dx =
5
7
5
7
∫ (cos x − cos x ) sin x dx = ∫ cos x sin x dx − ∫ cos x sin x dx = −
cos6 x cos8 x
+
+C
6
8
b)
∫ sin x cos x dx =∫ sin x sin x cos x dx =∫ (1 − cos x ) cos
∫ (1 − 2 cos x + cos x )cos x sin x dx =
∫ cos x sin x dx − 2∫ cos x sin x dx + ∫ cos x sin x dx =
5
7
2
4
4
2
2
7
x sin x dx =
7
7
−
7
9
11
cos8 x cos10 x cos12 x
+
−
+C
8
5
12
4-
∫ cos
2
x dx = ∫ 12 (1 + cos 2 x ) dx =
1
2
x
∫ dx + ∫ cos 2 x dx = 2 +
1
2
sin 2 x
+C
4
5-
∫ sin
1
4
4
x dx = ∫ (sin 2 x ) 2 dx = ∫ [ 12 (1 − cos 2 x ) ] dx = ∫ 14 (1 − 2 cos 2 x + cos2 2 x ) dx =
2
∫ dx − ∫ cos 2 x dx + ∫ cos
1
2
1
4
2
2 x dx =
x sin 2 x 1 (1 + cos 4 x )
dx =
−
+4∫
4
4
2
3x sin 2 x sin 4 x
−
+
+C
8
4
32
Claude Skeene
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62
∫ sin x cos x dx = ∫ sin x (cos x ) dx = ∫ (1 − cos 2x )[ (1 + cos 2x )]
∫ (1 − cos 2x )(1 + cos 2x ) dx = ∫ (1 − cos 2x + cos 2x − cos 2x ) dx =
2
4
2
2
2
1
8
2
1
2
1
2
2
1
8
dx =
3
x 1 (1 + cos 4x )
sin 2x 1
−8∫
dx +
− 8 ∫ (cos2 2x cos 2x ) dx =
8
2
16
x
sin 4x sin 2x 1
−
+
− 8 ∫ ((1 − sin 2 2x ) cos 2x ) dx =
16
64
16
sin 4x sin 2x sin 3 2x
x
−
−
+
+C
16
64
16
48
194
2
2
2
2
∫ tan x sec x dx = ∫ tan x sec x sec x dx = ∫ tan x(tan x + 1) sec x dx =
3
2
3
2
2
∫ (tan x + tan x ) sec x dx = ∫ tan x sec x dx + ∫ tan x sec x dx =
tan 4 x tan 2 x
+
+C
4
2
20-
∫ tan x sec x dx = ∫ tan x sec x sec x dx = ∫ tan x(tan x + 1)sec
∫ (tan x + tan x )sec x dx = ∫ tan x sec x dx + ∫ tan x sec x dx =
3
4
5
3
3
2
2
2
5
3
2
2
3
2
x dx =
2
tan 6 x tan 4 x
+
+C
6
4
21-
∫ tan x sec x dx = ∫ tan x sec x sec x dx = ∫ tan x(tan x + 1) sec x dx =
∫ tan x(tan x + 2 tan x + 1)sec x dx = ∫ (tan x + 2 tan x + tan x )sec x dx =
∫ tan x sec x dx + 2∫ tan x sec x dx + ∫ tan x sec x dx =
6
4
4
5
2
2
2
2
3
2
5
2
2
3
2
2
2
tan 6 x tan 4 x tan2 x
+
+
+C
6
2
2
224
4
4
2
2
4
2
2
∫ tan x sec x dx = ∫ tan x sec x sec x dx = ∫ tan x(tan x + 1)sec x dx =
∫ (tan
6
x + tan 4 x ) sec 2 x dx = ∫ tan 6 x sec 2 x dx + ∫ tan 4 x sec 2 x dx =
tan 7 x tan 5 x
+
+C
7
5
23-
∫ tan
3
x sec x dx = ∫ tan 2 x tan x sec x dx = ∫ (sec 2 x − 1) sec x tan x dx =
2
∫ sec x sec x tan x dx − ∫ sec x tan x dx =
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sec3 x
− sec x + C
3
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24-
∫ tan x sec x dx = ∫ tan x tan x sec x sec x dx =
∫ (sec x − 1)sec x sec x tan x dx = ∫ (sec x − sec x )
3
2
∫
5
2
4
4
6
4
sec 6 x sec x tan x dx − ∫ sec 4 x sec x tan x dx =
sec x tan x dx =
sec 7 x sec 5 x
−
+C
7
5
25-
∫ tan
2
x sec x dx = ∫ (sec 2 x − 1) sec x dx = ∫ sec3 x dx − ∫ sec x dx =
sec x tan x 1
sec x tan x 1
+ ∫ sec x dx − ∫ sec x dx + C =
− ln sec x + tan x + C
2
2
2
2
26-
∫ tan
∫ sec
4
5
x sec x dx = ∫ (sec2 x − 1)2 sec x dx = ∫ (sec4 x − 2sec 2 x + 1) sec x dx =
x dx − 2 ∫ sec3 x dx + ∫ sec x dx =
sec3 x tan x 3
+ ∫ sec3 x dx − 2 ∫ sec3 x dx + ln sec x + tan x =
4
4
3
sec x tan x 5 ⎡ sec x tan x 1
⎤
− ⎢
+ ∫ sec x dx ⎥ + ln sec x + tan x =
4
4⎣
2
2
⎦
5
sec3 x tan x 5
− sec x tan x − ln sec x + tan x + ln sec x + tan x + C =
8
4
8
3
sec x tan x 5
3
− sec x tan x + ln sec x + tan x + C
4
8
8
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