Résolution d`intégrales contenant des expressions

Résolution d’intégrales contenant des expressions
trigonométriques.
A. ∫
sin cos
mn
u u du
1. m et/ou n sont des entiers positifs impairs
modifier la fonction trigonométrique dont l’exposant est impair ou dont l’exposant est
le plus petit impair en procédant comme suit:
♦ isoler un facteur de puissance un
♦ mettre en évidence un facteur carré et utiliser l’identité sin pour
obtenir une intégrale de la forme cos
22
1uu+=
sin cos
pu u du
∫co ∫
ou
u sinu du
p
♦ celle-ci pourra se résoudre par un changement de variable.
(voir les exemples 1 à 3)
2. m et n sont des entiers positifs pairs
Dans tous ces cas on s’organisera pour obtenir une fonction trigonométrique unique :
♦ mettre en évidence un facteur carré et utiliser les identités trigonométriques
sin ( cos ) cos ( cos )
22
1
212 1 212uuuu=− =+ ou
pour obtenir une intégrale contenant une ou des intégrales de la forme
cos vdv
∫ ou cos
pvdv
∫
♦ dans le dernier cas il faudra réutiliser la dernière identité jusqu’à ce que l’on
obtienne l’intégrale d’un cosinus si p est pair sinon on se retrouve dans le cas 1.
(voir les exemples 4 à 6)
Claude Skeene th_integ_express_trigo_sin_cos_sec_tan_3(int_etri.pdf) Page 1/5

B.
tan sec
mn
u u du
∫
1. n est pair
♦ isoler un facteur et transformer le reste avec l’identité trigonométrique sec2u
sec tan
22
1uu=+
♦ on obtient alors une intégrale pouvant se résoudre par changement de variable
ayant la forme
tan sec
pu u du 2
∫
♦ celle-ci pourra se résoudre par un changement de variable.
(voir les exemples 19 à 22)
2. m et n sont impairs
♦ isoler un facteur et transformer par
l’identité sec tanu u tanmu
−1
tan sec
22
1uu=
−
♦ on obtient une intégrale pouvant se résoudre par changement de variable et de la
forme
sec sec tan
pu u u du
∫
♦ celle-ci pourra se résoudre par un changement de variable.
(voir les exemples 23 et 24)
3. m est pair et n est impair
♦ transformer ta
n
mu en mettant en évidence un facteur carré et en utilisant
l’identitétan sec
22
1uu=
−
♦ effectuer les opérations pour obtenir une intégrale de la forme
secpu du
∫ où p est impair
♦ utiliser la formule de réduction
2
2
sec tan 2
sec sec , 2
11
p
pp
uu
p
udu udu p
pp
−
−
−
=+ ≥
−−
∫∫
♦ et utiliser la formule suivante
sec ln sec tanudu u u C=+
∫+
(voir les exemples 25 et 26)
Claude Skeene th_integ_express_trigo_sin_cos_sec_tan_3(int_etri.pdf) Page 2/5

Exemples
1-
32 2 2 22
34
24 2 4
sin cos sin sin cos (1 cos )cos sin
cos cos
(cos cos )sin cos sin cos sin 34
x xdx xx xdx x xxdx
xx
x
x xdx x x dx x x dx C
==−=
−= − =−+
∫∫ ∫
∫∫∫ +
2-
32 2 2
3
cos cos cos (1 sin )cos cos sin cos
sin
sin 3
x
dx x x dx x x dx x dx x x dx
x
xC
==−=−
−+
∫∫ ∫ ∫∫ =
3- a)
35 2 5 25
68
57 5 7
sin cos sin sin cos (1 cos )cos sin
cos cos
(cos cos)sin cos sin cos sin 68
x xdx xx xdx x xxdx
xx
x
x x dx x x dx x x dx C
==−=
−= − =−+
∫∫ ∫
∫∫∫ +
b)
57 4 7 227
247
7911
81012
sin cos sin sin cos (1 cos ) cos sin
(1 2 cos cos ) cos sin
cos sin 2 cos sin cos sin
cos cos cos
8512
x xdx xx xdx x xxdx
xxxxdx
xxdx xxdx xxdx
xxx
C
==−=
−+=
−+=
−+−+
∫∫ ∫
∫
∫∫∫
4-
2111
222 sin2
cos (1 cos2 ) cos2
24
xx
x
dx x dx dx x dx C=+ = + =+ +
∫∫ ∫∫
5-
[]
2
422 2
11
24
2
11 1 1
42 4 4
sin (sin ) (1 cos2 ) (1 2cos2 cos 2 )
sin2 (1 cos4 )
cos2 cos 2
44 2
3sin2sin4
84 32
x
dx x dx x dx x x dx
xx x
dx x dx x dx dx
xxx
C
==−=−+
+
−+ =−+ =
−++
∫∫ ∫ ∫
∫∫ ∫ ∫
=
Claude Skeene th_integ_express_trigo_sin_cos_sec_tan_3(int_etri.pdf) Page 3/5

6-
[
]
2
24 2 22 11
22
223
11
88
2
11
88
2
1
8
sin cos sin (cos ) (1 cos 2 ) (1 cos2 )
(1 cos 2 )(1 cos2 ) (1 cos 2 cos 2 cos 2 )
(1 cos 4 ) sin 2
(cos 2 cos 2 )
82 16
sin 4 sin 2 ((1 sin 2 ) c
16 64 16
x x dx x x dx x x dx
xxdx xxxdx
xxx
dx x x dx
xxx x
==−+=
−+=−+−=
+
−+−=
−+−−
∫∫ ∫
∫∫
∫∫
3
os 2 )
sin 4 sin 2 sin 2
16 64 16 48
xdx
xxx x
C
=
−−++
∫
19-
42222
42
3232 2
tan sec tan sec sec tan (tan 1)sec
tan tan
(tan tan)sec tan sec tan sec 42
xxdx xxxdx xx xdx
xx
x
x x dx x x dx x x dx C
==+=
+= + =+
∫∫ ∫
∫∫∫ +
20-
34 322 32 2
532 52 32
64
tan sec tan sec sec tan(tan 1)sec
(tan tan )sec tan sec tan sec
tan tan
64
x
xdx x x xdx x x xdx
x x xdx x xdx x xdx
xx
C
==+
+= + =
++
∫∫ ∫
∫∫∫
=
21-
64222
422 53 2
52 32 2
642
tan sec tan sec sec tan (tan 1) sec
tan (tan 2 tan 1)sec (tan 2 tan tan )sec
tan sec 2 tan sec tan sec
tan tan tan
622
x x dx x x x dx x x x dx
xx x xdx x x xxdx
xxdx xxdx xxdx
xxx
C
==+
++ = ++
++=
+++
∫∫ ∫
∫∫
∫∫∫
2
=
=
22-
44 422 42 2
642 62 42
75
tan sec tan sec sec tan (tan 1)sec
(tan tan )sec tan sec tan sec
tan tan
75
x
xdx x x xdx x x xdx
x x xdx x xdx x xdx
xx
C
==+
+= + =
++
∫∫ ∫
∫∫∫
=
23-
32 2
3
2
tan sec tan tan sec (sec 1)sec tan
sec
sec sec tan sec tan sec
3
x
xdx x x xdx x x xdx
x
x x xdx x xdx x C
==−
−=−+
∫∫ ∫
∫∫
=
Claude Skeene th_integ_express_trigo_sin_cos_sec_tan_3(int_etri.pdf) Page 4/5

24-
35 2 4
24 64
75
64
tan sec tan tan sec sec
(sec 1)sec sec tan (sec sec ) sec tan
sec sec
sec sec tan sec sec tan 75
xxdx xxxxdx
x xxxdx x x xxdx
xx
xx xdx xx xdx C
==
−=−=
−=−+
∫∫
∫∫
∫∫
25-
22 3
tan sec (sec 1)sec sec sec
sec tan 1 sec tan 1
sec sec ln sec tan
22 22
x x dx x x dx x dx x dx
xx xx
x
dx x dx C x x C
=− = − =
+−+=−+
∫∫ ∫∫
∫∫ +
26-
42242
53
333
3
3
tan sec (sec 1) sec (sec 2sec 1)sec
sec 2 sec sec
sec tan 3 sec 2 sec ln sec tan
44
sec tan 5 sec tan 1 sec ln sec tan
4422
sec tan 5
48
x
xdx x xdx x x xdx
xdx xdx xdx
xx xdx xdx x x
xx xx xdx x x
xx
=− =−+
−+=
+−++=
⎡⎤
−+++=
⎢⎥
⎣⎦
−
∫∫ ∫
∫∫∫
∫∫
∫
=
3
5
sec tan ln sec tan ln sec tan
8
sec tan 5 3
sec tan ln sec tan
48 8
xx xx xxC
xx xx x xC
−++++=
−+++
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