Rappelons aussi que si Kest un corps p-valué et Lune extension de K. Alors Lest dit un corps for-
mellement p-adique sur Ksi Ladmet une p-valuation prolongeant celle de K. Les corps formellement
p-adiques sont aussi caractérisés par la propriété suivante :
Proposition 1.2 (voir [13]) Soit Kun corps p-valué et Lune extension de K. Alors Lest formelle-
ment p-adique sur Ksi et seulement si on a 1
p6∈ VK[γ(L)].
Par exemple, si (K, v)est un corps p-valué alors le corps des fractions rationnelles K(X)est un corps
formellement p-adique sur K. En effet, si P∈K[X]tel que P=akXk+ak+1Xk+1 +··· +amXm,
avec ak6= 0 et k≤m. On pose w0(P) = ¡k, v(ak)¢. Maintenant si f, g sont dans K[X], on pose :
w(f±g) = w0(f)−w0(g). Alors west une p-valuation sur K(X)prolongeant la p-valuation de K.
Rappelons également qu’un corps p-valué est dit p-adiquement clos s’il n’admet aucune extension
algébrique p-adiquement close propre. La théorie des corps p-adiquement est l’analogue p-adique de
celle des corps réel clos d’algèbre réelle. Elle a été obtenue en axiomatisant certaines propriétés algé-
briques du corps p-adiquement clos Qp, corps des nombres p-adiques. La clôture p-adique d’un corps
p-valué est une extension algébrique p-adiquement close de ce corps.
Nous rappelons maintenant quelques éléments de la théorie des modèles des corps p-adiquement
clos qui seront utilisés ici. Nous notons L= (+,−,×,0,1) le langage du premier ordre des anneaux.
Le symbole +est interprété dans un anneau comme la loi additive, ×comme la loi multiplicative, et
les constantes 0et 1comme les éléments neutres des lois +et ×respectivement. Soit Aun anneau.
Une formule du premier ordre du langage Là paramètres dans Aest une formule construite au moyen
d’un nombre fini de conjonctions, disjonctions, négation et quantifications universelles ou existen-
tielles sur des variables à partir des formules atomiques du type f(x) = 0, avec f∈A[X1, . . . , Xm].
Si A=Z, on dit tout simplement une formule du premier ordre du langage L.Les variables libres
d’une formule sont les variables figurant dans les polynômes qui ne sont pas quantifiées. Un énoncé
du langage Lest une formule où toutes les variables sont quantifiées. La théorie élémentaire de Qp,
notée Th(Qp), est l’ensemble des énoncés de Lqui sont vrais dans Qp. Pour plus de détails sur la
théorie des modèles des corps p-adiquement clos, nous renvoyons le lecteur à [13]. Le résultat suivant
affirme que la théorie des corps p-adiquement est modèle-complète dans le langage des anneaux L:
Théorème 1.3 (voir [13]). Soit Ket Ldeux corps p-adiquement clos tels que K⊂Let ϕune
formule du langage L. Alors ϕest vraie dans Lsi et seulement si ϕest vraie dans K.
Les corps p-adiquement clos comme dans le théorème sont dit élémentairement équivalents. Si dans
le théorème 1.3 la formule ϕest à paramètres dans un anneau A, on dit que les corps sont élémentai-
rement équivalents sur A. Il résulte de ce résultat qu’un corps Kest p-adiquement clos si et seulement
s’il est élémentairement équivalent à Qp, et note alors K|=Th(Qp). Comme conséquence, voici le :
Corollaire 1.4 Soit Kun corps p-valué. Soit Let Mdeux extensions p-adiquement closes de K.
Alors Let Msont élémentairement équivalent sur Ksi et seulement si on a :
K∩L(n)=K∩M(n)pour tout n≥1.
Nous donnons aussi comme conséquence, le résultat suivant qui est l’analogue p-adique du théorème
d’homomorphisme d’Artin-Lang en géométrie algébrique réelle :
Corollaire 1.5 (voir aussi [16, corollaire 1.6]). Soit Ket Ldeux corps p-adiquement clos tels que
K⊂Let Iun idéal de K[X]. Si Φ : K[X]/I −→ Lest un K-homomorphisme alors il existe un
K-homomorphisme Ψ : K[X]/I −→ K.
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