Algèbre p-adique et ses applications en géométries algébrique et

Algèbre p-adique et ses applications en géométries
algébrique et analytique p-adiques
Ahmed Srhir
Département de Mathématiques, Faculté Polydisciplinaire, B.P.4162, Safi, Maroc
E-mail : [email protected]
Résumé. Le but principal du présent travail est d’introduire et d’étudier, par analogie avec le cas réel
(voir [5]), la notion d’anneau p-adique ; et aussi de généraliser celle d’idéal p-adique (voir [17]) pour
un anneau commutatif unitaire quelconque. Nous expliquons ensuite comment ces notions permettent
de donner une nouvelle caractérisation des points du spectre p-adique d’un anneau ; et de fournir une
démonstration du théorème des zéros pour ce spectre.
Abstract. The main goal of this paper is to introduce and to study the notion of p-adic ring by
analogy of the real case (see [5]). This allows us to generalize the notion of p-adic ideal (see [17]) for
any commutative ring with unit. We use after that those notions to give a new characterization of the
points of the p-adic spectrum of a ring, and a prove of the Nullstellensatz of this spectrum.
MSC (2000) : 12J12 ; 14Pxx ; 13F20.
Mots-clés : Idéal p-adique, spectre p-adique, théorème des zéros p-adiques.
1 Introduction et notations
Soit p un nombre premier fixé de N. La valeur absolue p-adique sur le corps Q est définie par
∀ x ∈ Q∗ ,
|x|p = p−vp (x) et |0|p = 0,
n
avec l’entier vp (x) ∈ Z est déterminé de manière unique par x = pvp (x) , et les entiers n ∈ N et
m
m ∈ Z∗ sont premiers avec p. Le théorème d’Ostrowski affirme que toute valeur absolue non triviale
sur Q est équivalente à la valeur absolue usuelle ou à une seule valeur absolue p-adique. Ce résultat
classique a été le point de départ dans l’introduction, par Hensel, du corps des nombres p-adiques Qp .
Rappelons que celui-ci est construit en complétant le corps Q pour la valeur absolue p-adique | . |p , et
que le corps des nombres réels R est le complété du corps Q pour la valeur absolue usuelle. Cette forte
analogie dans la construction de R et de Qp a donnée l’idée à plusieurs mathématiciens de transposer
des résultats connus dans le cas réel au cas p-adique. Pour ne citer que deux exemples, la notion de
corps p-adiquement clos a été introduite en axiomatisant des propriétés algébriques du corps Qp par
Kochen dans [10] pour fournir un analogue p-adique de celle de corps réel clos ; et le spectre p-adique
d’un anneau a été introduit par Robinson dans [15] pour donner un analogue p-adique du spectre réel
d’un anneau de Coste-Roy [6].
1
On s’intéresse ici à l’algèbre p-adique. Il s’agit d’introduire un objet qui jouerait un rôle analogue
à celui d’anneau réel. Rappelons d’abord la définition de cette dernière notion :
Définition 1.1 (voir aussi [5]). Soit A un anneau commutatif unitaire. On dit que A est un anneau
réel s’il existe un homomorphisme de A dans un corps réel clos.
La notion d’anneau réel offre un cadre adéquat en géométries algébrique et analytique réelles pour
décrire la situation de façon très concise. Nous renvoyons le lecteur à [5] pour plus de détails sur
cette notion et ses applications en géométrie réelle. L’idée fondamentale qui nous a guidée dans
tout ce travail est encore l’étroite analogie entre le cas réel et le cas p-adique et aussi de donner un
théorème des zéros pour l’anneau des séries formelles et celui des séries convergentes à coefficients
p-adiques. Notre approche est similaire à celle de [5] où Colliot-Thélène utilise des techniques et
des arguments semblables pour traiter le cas réel. Les notions introduites ici possèdent des bonnes
propriétés algébriques analogues à ceux du cas réel, et qui s’adaptent bien à la géométrie p-adique.
Signalons que ces notions peuvent être généralisées aux extensions finies de Qp .
Nous précisons maintenant les notations, et faisons quelques rappels. Dans ce travail, anneau
sera synonyme d’anneau
√ commutatif unitaire, et
√corps de corps commutatif. Si I est un idéal d’un
anneau A, on note par I le radical de I, i.e. I = {x ∈ A | ∃ r ∈ N∗ tel que xr ∈ I}. Si de plus
I est un idéal premier, k(I) désigne le corps résiduel de l’idéal I, c.-à-d. le corps de fractions de
l’anneau A/I. Si K est un corps, on note par K[X] = K[X1 , . . . , Xm ] l’anneau des polynômes
en les indéterminées X1 , . . . , Xm et à coefficients dans K, et par K(X) le corps des fractions de
l’anneau intègre K[X]. On note x le m-uplet (x1 , . . . , xm ). Pour tout entier n dans N∗ , on désigne
par K ∗(n) le sous-groupe multiplicatif des puissances n-ième de K ∗ , et par K (n) le sous-ensemble de
K défini par K (n) = {x ∈ K | x = 0 ou x ∈ K ∗(n) }. On note Pn (resp. Pn• ) le prédicat unaire défini
par
∀ x ∈ K, Pn (x) (resp. Pn• (x)) ⇐⇒ x ∈ K (n) (resp. x ∈ K ∗(n) ).
¯
©
ª
Si v est une valuation¯ sur un corps K, on note VK = x ∈ K ¯ v(x) ≥ 0 l’anneau de valuation de
©
ª
K, MK = x ∈ K ¯ v(x) > 0 l’idéal maximal de VK et K v = VK /MK le corps résiduel de VK .
Rappelons qu’une
¯ v sur un corps
© valuation
ª K est dite une p-valuation si v vérifie les deux conditions :
• v(p) = min v(x) > 0 ¯ x ∈ K \ {0} ,
• K v ' Z/p Z.
Un corps de caractéristique nulle muni d’une p-valuation s’appelle un corps p-valué. Par exemple, le
corps des nombres p-adiques Qp avec son valuation p-adique vp est un corps p-valué. Soit K un corps
p-valué, et soit L une extension de K. L’opérateur p-adique de Kochen de L sur K est défini par :
γ(X) =
Xp − X
1
·
·
p (X p − X)2 − 1
On désigne par VK [γ(L)] le sous-anneau de L engendré par γ(L) et VK . On appelle anneau de Kochen
de L sur K et on note ΛL le sous-anneau de L défini par :
½
¾
¯
t
¯
ΛL =
¯ t, s ∈ VK [γ(L)] et 1 − p s 6= 0 ·
1 − ps
Dans le cas où L = K(X), on note Λ au lieu de ΛK(X) . On note par K[X, γ(K(X))] le sous-anneau
de K(X) engendré par (X1 , . . . , Xm ) et γ(K(X)) sur K. Finalement on désigne par Λ · K[X] le
sous-anneau de K(X) engendré par Λ et K[X]. Alors on a l’égalité suivante :
½
¾
¯
t
¯
Λ · K[X] =
¯ t ∈ K[X, γ(K(X))] et s ∈ VK [γ(K(X))] ·
1 − ps
2
Rappelons aussi que si K est un corps p-valué et L une extension de K. Alors L est dit un corps formellement p-adique sur K si L admet une p-valuation prolongeant celle de K. Les corps formellement
p-adiques sont aussi caractérisés par la propriété suivante :
Proposition 1.2 (voir [13]) Soit K un corps p-valué et L une extension de K. Alors L est formelle1
ment p-adique sur K si et seulement si on a 6∈ VK [γ(L)].
p
Par exemple, si (K, v) est un corps p-valué alors le corps des fractions rationnelles K(X) est un corps
formellement p-adique sur K. En effet, si P¡∈ K[X]¢tel que P = ak X k + ak+1 X k+1 + · · · + am X m ,
avec±ak 6= 0 et k ≤ m. On pose w0 (P ) = k, v(ak ) . Maintenant si f, g sont dans K[X], on pose :
w(f g) = w0 (f ) − w0 (g). Alors w est une p-valuation sur K(X) prolongeant la p-valuation de K.
Rappelons également qu’un corps p-valué est dit p-adiquement clos s’il n’admet aucune extension
algébrique p-adiquement close propre. La théorie des corps p-adiquement est l’analogue p-adique de
celle des corps réel clos d’algèbre réelle. Elle a été obtenue en axiomatisant certaines propriétés algébriques du corps p-adiquement clos Qp , corps des nombres p-adiques. La clôture p-adique d’un corps
p-valué est une extension algébrique p-adiquement close de ce corps.
Nous rappelons maintenant quelques éléments de la théorie des modèles des corps p-adiquement
clos qui seront utilisés ici. Nous notons L = (+, −, ×, 0, 1) le langage du premier ordre des anneaux.
Le symbole + est interprété dans un anneau comme la loi additive, × comme la loi multiplicative, et
les constantes 0 et 1 comme les éléments neutres des lois + et × respectivement. Soit A un anneau.
Une formule du premier ordre du langage L à paramètres dans A est une formule construite au moyen
d’un nombre fini de conjonctions, disjonctions, négation et quantifications universelles ou existentielles sur des variables à partir des formules atomiques du type f (x) = 0, avec f ∈ A[X1 , . . . , Xm ].
Si A = Z, on dit tout simplement une formule du premier ordre du langage L. Les variables libres
d’une formule sont les variables figurant dans les polynômes qui ne sont pas quantifiées. Un énoncé
du langage L est une formule où toutes les variables sont quantifiées. La théorie élémentaire de Qp ,
notée Th(Qp ), est l’ensemble des énoncés de L qui sont vrais dans Qp . Pour plus de détails sur la
théorie des modèles des corps p-adiquement clos, nous renvoyons le lecteur à [13]. Le résultat suivant
affirme que la théorie des corps p-adiquement est modèle-complète dans le langage des anneaux L :
Théorème 1.3 (voir [13]). Soit K et L deux corps p-adiquement clos tels que K ⊂ L et ϕ une
formule du langage L. Alors ϕ est vraie dans L si et seulement si ϕ est vraie dans K.
Les corps p-adiquement clos comme dans le théorème sont dit élémentairement équivalents. Si dans
le théorème 1.3 la formule ϕ est à paramètres dans un anneau A, on dit que les corps sont élémentairement équivalents sur A. Il résulte de ce résultat qu’un corps K est p-adiquement clos si et seulement
s’il est élémentairement équivalent à Qp , et note alors K |= Th(Qp ). Comme conséquence, voici le :
Corollaire 1.4 Soit K un corps p-valué. Soit L et M deux extensions p-adiquement closes de K.
Alors L et M sont élémentairement équivalent sur K si et seulement si on a :
K ∩ L(n) = K ∩ M (n)
pour tout n ≥ 1.
Nous donnons aussi comme conséquence, le résultat suivant qui est l’analogue p-adique du théorème
d’homomorphisme d’Artin-Lang en géométrie algébrique réelle :
Corollaire 1.5 (voir aussi [16, corollaire 1.6]). Soit K et L deux corps p-adiquement clos tels que
K ⊂ L et I un idéal de K[X]. Si Φ : K[X]/I −→ L est un K-homomorphisme alors il existe un
K-homomorphisme Ψ : K[X]/I −→ K.
3
Une autre notion très utile de la théorie des modèles est celle de l’élimination des quantificateurs. La
théorie Th(Qp ) n’admet pas l’élimination des quantificateurs dans le langage des anneaux L, mais
elle l’admet dans le langage de Macintyre L(Pω ) = (+, −, ×, 0, 1, (Pn )n≥1 ). Les formules du langage
L(Pω ) sont construites de la même manière que les formules de L, mais les formules atomiques de
L(Pω ) sont du genre f (x) = 0 et Pn• (g(x)), avec f, g ∈ A[X1 , . . . , Xm ]. On peut maintenant énoncer
le théorème d’élimination des quantificateurs de Macintyre :
Théorème 1.6 (théorème de Macintyre [11]). Soit K un corps p-adiquement clos et Φ une formule
du premier ordre de L(Pω ). Alors il existe une formule sans quantificateur Ψ de L(Pω ) telle que Φ est
vraie dans K si et seulement si Ψ est vraie dans K.
Signalons que là où on utilise le théorème de Macintyre, on peut, dans le cas réel, utiliser son homologue le principe de Tarski-Seidenberg, qui affirme que la théorie des corps réels clos admet l’élimination des quantificateurs dans le langage des corps ordonnés.
Dans le paragraphe 2 nous introduisons la notion d’anneau p-adique par analogie avec le cas réel ;
et nous utilisons ensuite cette nouvelle notion pour généraliser la notion d’idéal p-adique et celle de
radical p-adique d’un idéal pour un anneau quelconque. Le paragraphe 3 a pour but de fournir une
nouvelle caractérisation des points du spectre p-adique d’un anneau. Dans le dernier paragraphe nous
démontrons un théorème des zéros pour le spectre p-adique ; et nous énonçons des conjectures de ce
théorème pour les anneaux des séries formelles et convergentes p-adiques.
2 Anneau p-adique et généralisation d’idéal p-adique
En s’inspirant de la définition 1.1, nous donnons maintenant la définition d’un anneau p-adique :
Définition 2.1 Soit A un anneau. On dit que A est un anneau p-adique s’il existe un homomorphisme
de A dans un corps p-adiquement clos K.
Remarque. Un corps est un anneau p-adique si et seulement s’il est un corps formellement p-adique.
Exemples. Soit K un corps p-adiquement clos. Alors on a :
1) L’anneau des polynômes K[X1 , . . . , Xm ] à coefficients dans K est un anneau p-adique.
2) L’anneau des séries formelles K[[X1 , . . . , Xm ]] à coefficients dans K est un anneau p-adique.
3) L’anneau des séries convergentes Qp {X1 , . . . , Xm } à coefficients dans Qp est un anneau p-adique.
Soit K un corps p-adiquement clos. La notion d’idéal p-adique pour l’anneau des polynômes K[X] a
été introduite et étudiée dans [17]. Elle a été ensuite utilisée avec la modèle-complétude de la théorie
Th(Qp ) pour donner une nouvelle démonstration du théorème des zéros. Rappelons ici cette notion :
Définition 2.2 (voir aussi [17]). Soit I un idéal dans K[X] engendré par les polynômes f1 , . . . , fr .
On dit que I est un idéal p-adique si pour tout g ∈ K[X], tout m∈ N∗ et tout λ1 , . . . , λr ∈ Λ · K[X]
tels que g m = λ1 f1 + · · · + λr fr alors on a g ∈ I.
En utilisant la notion d’anneau p-adique, on a aussi la caractérisation suivante d’un idéal p-adique :
Proposition 2.3 Soit K un corps p-adiquement clos. Alors un idéal I de l’anneau K[X] est un idéal
p-adique si et seulement si l’anneau quotient K[X]/I est un anneau p-adique.
4
Démonstration. Soit I un idéal p-adique de l’anneau K[X]. Alors d’après la proposition 3.8 de [17],
on a I = I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ Ir , avec chaque idéal Ii est un idéal premier p-adique de K[X]. D’après la
proposition 3.6 de [17], le corps résiduel k(I1 ) de I1 est formellement p-adique. Soit L une clôture
p-adique de ce corps. Ainsi on a un homomorphisme ϕ de K[X]/I1 dans L. D’autre part, on a I ⊂ I1 .
Donc il existe un homomorphisme Ψ : K[X]/I −→ K[X]/I1 . Considérons l’application
ϕ
Ψ
K[X]/I −→ K[X]/I1 −→ L.
On pose Φ = ϕ ◦ Ψ. Il est clair que Φ est bien définie. De plus, Φ est un homomorphisme d’anneaux
de K[X]/I dans L. Il en résulte alors que K[X]/I est un anneau p-adique.
Réciproquement, supposons que K[X]/I soit p-adique. Montrons que I est un idéal p-adique de
K[X]. D’après le théorème 3.9 de [17], il suffit de montrer que I = J (Z(I)), avec
¯
¯
©
ª
©
ª
Z(I) = x ∈ K m ¯ f (x) = 0 ∀ f ∈ I et J (Z(I)) = f ∈ K[X] ¯ f (x) = 0 ∀ x ∈ Z(I) .
Puisque K[X]/I est un anneau p-adique, il existe un homomorphisme Ψ de K[X]/I dans un corps
p-adiquement clos L. D’après la modèle-complétude de Th(Qp ), on peut supposer que L = K. Soit
f ∈ K[X] tel que f 6∈ I. On pose
xi = Ψ(Xi ) pour
1≤i≤m
et
x = (x1 , . . . , xm ).
Alors on a x ∈ Z(I). De plus, on a f (x) 6= 0. Donc f 6∈ J (Z(I)). Ainsi on a I = J (Z(I)).
¤
La proposition précédente et la forte analogie avec le cas réel nous suggèrent de généraliser la notion
d’idéal p-adique pour un idéal d’un anneau quelconque de la façon suivante :
Définition 2.4 Soient A un anneau et I un idéal de A. On dit que I est un idéal p-adique de A si
l’anneau quotient A/I est un anneau p-adique.
Exemples. 1) Soit K un corps p-adiquement clos. Alors l’idéal (X1 , . . . , Xi ) de K[X] engendré par
X1 , . . . , Xi est un idéal p-adique, car on a :
K[X]/(X1 , . . . , Xi ) ' K[Xi+1 , . . . , Xm ]
pour tout 1 ≤ i ≤ m.
2) L’idéal (X1 , . . . , Xm ) engendré par X1 , . . . , Xm est un idéal p-adique de K[[X1 , . . . , Xm ]], car
K[[X1 , . . . , Xm ]]/(X1 , . . . , Xm ) ' K.
3) L’idéal (X1 , . . . , Xm ) engendré par X1 , . . . , Xm est un idéal p-adique de Qp {X1 , . . . , Xm }.
Pour les idéaux premiers, on a la caractérisation suivante en termes de corps formellement p-adiques :
Proposition 2.5 Soient A un anneau et I un idéal premier de A. Alors I est un idéal p-adique si et
seulement si le corps résiduel k(I) de I est un corps formellement p-adique.
Démonstration. Soit I un idéal premier p-adique de A. Alors il existe un homomorphisme de A dans
un corps p-adiquement clos K. Il s’ensuit qu’il existe un homomorphisme du corps résiduel k(I) de
I dans K. Donc k(I) est un corps formellement p-adique.
Réciproquement, supposons que k(I) soit formellement p-adique. Soit K une clôture p-adique de ce
corps. Alors K est un corps p-adiquement clos. De plus on a un homomorphisme de A/I dans K. ¤
La notion de radical p-adique d’un idéal se généralise aussi pour un anneau quelconque comme suit :
5
Définition
2.6 Soient A un anneau et I un idéal de A. On appelle radical p-adique de I et on le note
√
p
I le sous-ensemble de A défini par
o
\ n ¯¯
√
p
I=
J ¯ J est un idéal premier p-adique de A tel que I ⊂ J .
J∈P(A)
√
p
Remarque. Un idéal I d’un anneau A est un idéal p-adique de A si et seulement si on a I = I.
√
√
p
Proposition 2.7 Soient A un anneau et I un idéal de A. Alors on a I ⊂ I ⊂ I.
√
√
Démonstration. Il est clair qu’on a I ⊂ I. Soit x dans I. Alors il existe n dans N∗ tel que xn ∈ I.
Si J est un idéal premier p-adique de A√
tel que I ⊂ J, on a xn ∈ J.
J est un idéal premier,
√ Puisque
√
p
p
on a x ∈ J. Il en résulte alors que x ∈ I. Ce qui montre que I ⊂ I ⊂ I.
¤
√
Corollaire 2.8 Soient A un anneau et I un idéal de A. Si I est un idéal p-adique alors on a I = I.
√
p
Théorème 2.9 Soient A un anneau et I un idéal de A. Alors le radical p-adique I de I est le plus
petit idéal p-adique de A qui contient I.
√
p
Démonstration.
Il
est
clair
que
I est un idéal de A. De plus si J est un idéal premier p-adique de A
√
p
tel que I ⊂ J, alors
il
existe
un
homomorphisme ϕ de A/J dans
un corps p-adiquement clos K.
√
√
p
p
I −→ A/J. On pose Φ = ϕ ◦ Ψ.
D’autre part puisque I ⊂ J, il existe un homomorphisme Ψ : A/ √
p
Alors Φ est
un
homomorphisme
de
A
dans
K.
Ce
qui
montre
que
I est√
un idéal p-adique de A tel
√
p
p
que I ⊂ I. Soit I un idéal p-adique
de A tel que I ⊂ I. Montrons que I ⊂ I. Soit a ∈ A tel que
√
p
a 6∈ I. Pour montrer que a 6∈ I, il suffit de montrer qu’il existe un idéal premier p-adique J0 de A
qui contient I et tel que a 6∈ J0 . Considérons l’ensemble
n ¯
o
¯
F = J ¯ J est un idéal p-adique propre de A tel que I ⊂ J et a 6∈ J .
Alors on a F 6= ∅ car I ∈ F . De plus, F est un ensemble ordonné inductif. Donc d’après le lemme
de Zorn, F admet un élément maximal J0 . Montrons que J0 est un idéal premier de A. On a J0 est
un idéal p-adique de A, donc il existe un homomorphisme φ : A/J0 −→ K, avec K est un corps padiquement clos. Notons s : A −→ A/J0 la surjection canonique et ψ = φ ◦ s. Alors ψ : A −→ K est
un homomorphisme tel que J0 ⊂ ker(ψ). Ainsi il existe un homomorphisme de A/ ker(ψ) dans K.
Donc ker(ψ) est un idéal p-adique de A tel que J0 √
⊂
ker(ψ). Par maximalité de J0 , on a J0 = ker(ψ).
p
Il s’ensuit que J0 est un idéal premier de A. Donc I est le plus petit idéal p-adique qui contient I.¤
Théorème 2.10 Soient A un anneau noethérien et I un idéal de A. Si I est un idéal p-adique de A
alors tous les idéaux premiers minimaux de A qui contiennent I sont des idéaux p-adiques de A.
√
Démonstration. Puisque I est un idéal p-adique de A, donc d’après le corollaire 2.8 on a I = I.
D’après un résultat d’algèbre commutative (cf. [12]) et puisque A est un anneau noethérien, on a :
I = I1 ∩ I2 ∩ . . . ∩ Ir , avec chaque idéal Ii est un idéal premier de A. De plus on a Ii 6⊂ Ij si i 6= j. Les
Ii s’appellent les idéaux premiers minimaux de A qui contiennent I. Par hypothèse on a I est un idéal
p-adique, donc il existe un homomorphisme Φ : A/I −→ K, avec K est un corps p-adiquement clos.
Pour chaque i dans {2, . . . , r}, il existe ai ∈ Ii tel que ai 6∈ I1 . On pose a = a2 .a3 . . . . .ar . Alors
ϕ : A/I1 −→ A/I
x̃
7−→ ϕ(x̃) = a.x
est un homomorphisme. On pose Ψ = Φ ◦ ϕ. Alors Ψ est un homomorphisme de A/I1 dans K. Par
conséquent, I1 est un idéal p-adique de A. De même I2 , . . . , Ir sont des idéaux p-adiques.
¤
6
3 Caractérisation du spectre p-adique d’un anneau
Le spectre p-adique d’un anneau qui en un mot se veut l’analogue du spectre réel d’un anneau a été
introduit par Robinson dans [15]. Cette construction a été généralisée aux extensions finies de Qp par
Bélair dans [1], et indépendamment par Bröcker et Schinke dans [4]. Rappelons-la brièvement. Soit A
un anneau et considérons la relation binaire ∼p définie sur les homomorphismes de A dans des corps
p-adiquement clos. Plus précisément, si f : A −→ K et g : A −→ L, avec K, L |= Th(Qp ). Alors
f ∼p g si et seulement s’il existe un homomorphisme ϕ : K −→ L tel que le diagramme suivant
g
f
/ K soit commutatif, c’est-à-dire si on a g = ϕ ◦ f . La modèle-complétude de Th(Qp ) assure
~
~
~~
~~ ϕ
~
² ~~
A
L
que ∼p est une relation d’équivalence. On peut alors énoncer (voir aussi [2]) :
Définition 3.1 Soit A un anneau. Le spectre p-adique de A, noté Specp (A), est l’espace topologique
défini par
¯
n
o.
¯
Specp (A) = A −→ K ¯ K est un corps p-adiquement clos
∼p
dont la topologie est donnée par la base d’ouverts
n
r
¯
¯
o
o
n
^
ϕ
¯
¯
•
Pni (ϕ(ai )) .
Dn (a)¯ni ∈ N et ai ∈ A pour 1 ≤ i ≤ r , où Dn (a) = (A −→ K)/ ∼p ¯K |=
i=1
En utilisant le théorème de Macintyre, on voit bien que les ensembles Dn (a) sont bien définis. En fait,
les ensembles Dn (a) possèdent la propriété remarquable suivante :
Proposition 3.2 (voir [2]). Soit A un anneau. Alors pour tout a ∈ Ar et tout n ∈ Nr , Dn (a) est un
espace quasi-compact. En particulier, le spectre p-adique Specp (A) est un espace quasi-compact.
La quasi-compacité du spectre p-adique d’un anneau a été exploitée dans [9] en combinaison avec
d’autres arguments pour démontrer la rationalité des exposants de Łojasiewicz. Voici maintenant le
lien entre la notion d’anneau p-adique et celle du spectre p-adique de cet anneau :
Proposition 3.3 Soit A un anneau. Alors Specp (A) 6= ∅ si et seulement si A est un anneau p-adique.
Soit A un anneau. Un ensemble constructible de Specp (A) est une combinaison booléenne (c’est-àdire obtenue par intersection finie, par réunion finie et par passage au complémentaire) des ouverts de
base. Si α : A −→ k(α) est un homomorphisme, où k(α) est un corps p-adiquement clos. Alors la
classe d’équivalence α de α par ∼p sera encore notée par α. Pour tout x dans A, on note x(α) = α(x).
On dit qu’un point β de Specp (A) est une spécialisation d’un point α de Specp (A) si β ∈ {α}, c’està-dire si pour tout x ∈ A, x(β) ∈ k(β)∗(n) implique x(α) ∈ k(α)∗(n) pour tout n ≥ 1. La relation de
spécialisation définit une relation d’ordre partial sur les points de Specp (A) : α ≤ β si et seulement si
β est une spécialisation de α. Si β est une spécialisation de α, on dit aussi que α est une générisation
de β. On appelle chaîne de spécialisations de longueur r dans Specp (A) une suite (αi )0≤i≤r de points
de Specp (A) telle que α0 < α1 < . . . < αr . La dimension combinatoire d’un ensemble constructible
C de Specp (A), notée dim(C), est la longueur maximale des chaînes de spécialisations de Specp (A)
entièrement contenues dans l’ensemble constructible C, s’elle existe. Sinon la dimension est l’infini.
Proposition 3.4 Soit A un anneau. Soient C ⊂ D deux ensembles constructibles de Specp (A). Alors
C est un ensemble ouvert dans D si et seulement s’il est stable par générisation dans D.
7
Démonstration. Il est équivalent de montrer que C est un ensemble fermé dans D si et seulement s’il
est stable par spécialisation dans D. Supposons donc que C est fermé dans D. Soient α, β ∈ D tels
que α ≤ β et α ∈ C. Montrons que β ∈ C. On a β ∈ {α}. Donc β ∈ C. D’où β ∈ C.
Inversement, supposons que C est stable par spécialisation dans D. Soit β ∈ C. Alors pour tout
ouvert de base Dn (a) tel que β ∈ Dn (a), on a : Dn (a) ∩ C 6= ∅. Or les ensembles Dn (a) et C sont
des compacts pour la topologie constructible de Specp (A). Donc il existe α ∈ C appartenant à tous
les Dn (a) tels que β ∈ Dn (a). Ainsi β est une spécialisation de α : α ≤ β. D’où β ∈ C.
¤
Rappelons que le spectre réel Specr (A) d’un anneau A peut être vu aussi comme l’ensemble des
couples (I, ≤), où I est un idéal premier réel de A et ≤ un ordre total sur le corps résiduel k(I) de I.
Or la donnée d’un ordre total ≤ sur le corps k(I) est équivalente à la donnée du cône positif
¯
¯
o
n
o n
¯
¯
x ∈ k(I) ¯ x ≥ 0 = x ∈ k(I) ¯ x = y 2 et y ∈ R = k(I) ∩ R(2) ,
avec R est un corps réel clos qui est une extension de k(I). Remarquons que pour tout n ≥ 1, on a :
k(I) ∩ R(2n) = k(I) ∩ R(2)
et
k(I) ∩ R(2n+1) = k(I).
Le sous-ensemble k(I) ∩ R(2) suffit donc pour déterminer l’ordre total sur k(I). Ainsi un point du
spectre réel Specr (A) peut être considéré finalement comme un couple (I, k(I) ∩ R(2) ), avec I est
un idéal premier réel de A et R est une extension réellement close du corps résiduel k(I) de I. En
s’inspirant de cette caractérisation, on peut alors énoncer :
Théorème 3.5 (Caractérisation des points du spectre p-adique d’un anneau). Soit A un anneau.
Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) La donnée d’un point α de Specp (A).
¡
¢
(2) La donnée d’un couple I, (k(I) ∩ K (n) )n≥1 , avec I est un idéal premier p-adique de A et K est
une extension p-adiquement close du corps résiduel k(I) de I.
Démonstration. Soit α un point de Specp (A) et ϕ : A −→ K un homomorphisme associé à α, où K
est un corps p-adiquement clos. Considérons l’idéal Iϕ = ker(ϕ). D’après la proposition 2.5, le corps
résiduel k(Iϕ ) de Iϕ est¡ formellement p-adique.
¢ De plus K est une extension p-adiquement close de
(n)
k(Iϕ ). Ainsi le couple Iϕ , (k(Iϕ ) ∩ K )n≥1 convient. Si ψ : A −→ L un autre homomorphisme
associé à α, avec L est un corps p-adiquement clos. Alors il existe un homomorphisme φ : K −→ L
tel que ψ = φ ◦ α. Alors on a Iψ = Iϕ et k(Iψ ) = k(Iϕ ). De plus, d’après le corollaire 1.4, on a :
k(Iϕ ) ∩ K (n) = k(Iψ ) ∩ L(n)
pour tout
n ≥ 1.
¡
¢
Réciproquement, soit I, (k(I) ∩ K (n) )n≥1 un couple, avec I un idéal premier p-adique de A et K
une extension p-adiquement close du corps résiduel k(I). Soit s : A −→ A/I la surjection canonique
et i : A/I −→ k(I) l’injection canonique. On a donc
s
i
Ψ
− A/I −
→ k(I) −
→ K.
A→
On pose ϕ = Ψ◦i◦s. Alors ϕ est un homomorphisme de A dans le corps K qui est p-adiquement clos.
La classe d’équivalence de cet homomorphisme par la relation ∼p est alors un point de Specp (A). ¤
8
Dans le reste de ce¡ paragraphe,
K désigne un corps p-adiquement clos. Considérons l’application
¢
m
i : K −→ Specp K[X] , x 7−→ i(x) = ϕx avec ϕx (f ) = f (x) pour tout f ∈ K[X]. Il est facile
m
de voir
¡ que i¢est un homomorphisme injectif. Dans la suite on identifiera K avec son image dans
Specp K[X] par cet injection. Le résultat suivant est l’analogue de la proposition 7.5.3 de [3] :
Lemme 3.6 Pour tout x dans K m , Il existe toujours dans Specp (K[X]) une chaîne de spécialisations
de longueur m du type i(x) = α0 < α1 < . . . < αm , i.e. commençant par x.
Démonstration. On peut supposer que x = (0, . . . , 0) l’origine de K m . Soit I0 = (X1 , . . . , Xm )
l’idéal de K[X] engendré par X1 , . . . , Xm . Alors on a K[X]/(X1 , . . . , Xm ) ' K, i.e. k(I0 ) ' K.
(n)
D’après la proposition 2.5, I0 est un
¡ idéal¢p-adique. On pose alors α0 = (I0 , (K ∩ K )n≥1 ). D’après
le théorème 3.5, on a α0 ∈ Specp K[X] . Considérons ensuite l’idéal I1 = (X2 , . . . , Xm ) de K[X]
engendré par X2 , . . . , Xm . Alors on a K[X]/(X2 , . . . , Xm ) ' K[X1 ], i.e. k(I1 ) ' K(X1 ). Or le
corps K(X1 ) est formellement p-adique. Donc I1 est un idéal p-adique. Notons k(α1 ) la clôture padique du corps K(X1 ). On pose alors α1 = (I1 , (K(X1 ) ∩ k(α1 )(n) )n≥1 ). De plus on a α0 < α1 .
En effet, soit f ∈ K[X] tel que f (α1 ) ∈ k(α1 )∗(n) , c-à-d f (X1 , 0, . . . , 0) ∈ k(α1 )∗(n) . Or on a
f (α0 ) = f (0, 0, . . . , 0) ∈ K. Donc f (α0 ) ∈ k(α0 )∗(n) . Comme α0 6∈ {α1 }, on a bien α0 < α1 .
¡
¢
Soit αi ( avec 1 ≤ i < m) un point de Specp K[X] de la forme αi = (Ii , (k(Ii ) ∩ k(αi )(n) )n≥1 ),
où Ii = (Xi+1 , . . . , Xm ) et k(αi ) la clôture p-adique du corps k(Ii ). On pose Ii+1 = (Xi+2 , . . . , Xm ).
Alors on a K[X]/Ii+1 ' K[X1 , . . . , Xi+1 ]. Donc k(Ii+1 ) ' k(Ii )(Xi+1 ). Il en résulte que k(Ii+1 )
est formellement p-adique, et Ii+1 est un idéal p-adique. Soit k(αi+1 ) la clôture p-adique de
¡ k(Ii+1
¢ ).
Considérons alors αi+1 = (Ii+1 , (k(Ii+1 ) ∩ k(αi+1 )(n) )n≥1 ). Alors on a bien αi+1 ∈ Specp K[X] et
αi < αi+1 . Enfin, on pose αm = ((0), (K(X) ∩ k(αm )(n) )n≥1 ).
2 —————————–
Définition 3.7 (voir [7]) Un ensemble semi-algébrique de K m est une partie S de K m de la forme
q n
r
¯
o
[
\
m¯
S=
x ∈ K ¯ gj (x) = 0 et fij (x) ∈ K ∗(nij ) , avec gj , fij ∈ K[X1 , . . . , Xm ] et nij ∈ N∗ .
j=1 i=1
Les semi-algébriques p-adiques sont comparables aux ensembles semi-algébriques réels (voir [3]) qui
sont combinaisons booléennes d’ensembles de Rm du type {x ∈ Rm | f (x) ≥ 0} avec f ∈ R[X].
Remarquons que le théorème de Macintyre permet de voir que la projection d’un ensemble semialgébrique de K m+1 est un ensemble semi-algébrique de K m . Ainsi, l’adhérence et l’intérieur (pour
la topologie p-adique) d’un ensemble semi-algébrique sont aussi des ensembles semi-algébriques.
La stabilité par projection permet aussi de conclure que les ensembles semi-algébriques de K m sont
exactement les ensembles définissables de K m . La dimension d’un ensemble semi-algébrique S de
K m , notée dim(S), est la dimension de Krull de l’anneau K[X]/J (S), où J (S) est l’idéal de K[X]
Z
Z
Z
associé à S. Puisque J (S) = J (S ), on a aussi dim(S) = dim(S ), avec S est l’adhérence de
S pour la topologie de Zariski. On retrouve ainsi la définition classique de la dimension au sens de
la géométrie algébrique. Rappelons aussi qu’une fonction f d’un ensemble semi-algébrique S de
K m dans K est dite semi-algébrique si son graphe est un ensemble semi-algébrique de K m+1 . Les
ensembles et les fonctions semi-algébriques sont étudiés d’une manière plus approfondie dans [7] et
[16]. Ici on aura besoin des résultats suivants :
Théorème 3.8 ([16, Corollaire 3.1]). Soit S un ensemble semi-algébrique de K m . Alors il existe
une partition finie de S en sous-ensembles semi-algébriques S1 , . . . , Sq , où chaque Si est semialgébriquement homéomorphe (par une projection sur certains axes de coordonnés) à un ouvert
semi-algébrique de K ri avec ri ≤ m.
9
Théorème 3.9 ([16, Théorème 3.2]). Soit S = S1 ∪ · · · ∪ Sq un ensemble semi-algébrique de K m , où
chaque Si est semi-algébriquement homéomorphe (par une projection sur les axes de coordonnés) à
un ouvert semi-algébrique de K ri (ri ≤ m). Alors on a dim(S) = max(r1 , . . . , rq ).
Par analogie avec le cas réel, nous définissons l’opération tilde p-adique comme la correspondance
q n
r
¯
o
[
\
m¯
∗(nij )
de K m
entre l’ensemble semi-algébrique S =
x ∈ K ¯ gj (x) = 0 et fij (x) ∈ K
j=1 i=1
o
¢ ¯¯
¡
et l’ensemble constructible Se =
α ∈ Specp K[X] ¯ gj (α) = 0 et fij (α) ∈ k(α)∗(nij ) de
j=1 i=1
¡
¢
Specp K[X] , où les polynômes fij et gj sont dans K[X] et où les nij sont dans N∗ .
q n
r
[
\
Théorème 3.10 1) L’application S 7−→ Se est un isomorphisme de l’algèbre de Boole
¡ des ¢ensembles
m
semi-algébriques p-adiques de K sur celle des ensembles constructibles de Specp K[X] .
¡
¢
2) Un sous-ensemble S est un ouvert dans K m si et seulement si Se est un ouvert dans Specp K[X] .
L’isomorphisme S 7−→ Se induit donc une bijection entre les¡ouverts
¢ semi-algébriques p-adiques de
K m et les ouverts quasi-compacts du spectre p-adique Specp K[X] .
Démonstration. 1) Soit S l’algèbre de Boole¡ des ensembles
semi-algébriques p-adiques de K m , et C
¢
celle des ensembles constructibles de Specp K[X] . Considérons l’application
ϕ : C −→ S
C 7−→ ϕ(C) = C ∩ K m .
Alors ϕ est bien définie. De plus, ϕ est un homomorphisme surjectif d’algèbre de Boole de C sur S.
Montrons que ϕ est injectif. Soit C dans C. On peut supposer que C est de la forme
C=
q n
o
\
¡
¢ ¯¯
α ∈ Specp K[X] ¯ g(α) 6= 0 et fi (α) ∈ k(α)(ni ) .
i=1
Supposons que C ∩ K m = ∅. Alors il n’existe aucun K-homomorphisme de l’anneau quotient
K[X][Y1 , . . . , Yq , Z]/(f1 − Y1n1 , . . . , fq − Yqnq , Zg − 1) dans K. Donc d’après le corollaire 1.5,
il n’existe aucun K-homomorphisme de K[X][Y1 , . . . , Yq , Z]/(f1 − Y1n1 , . . . , fq − Yqnq , Zg − 1)
dans un corps p-adiquement clos. Il en résulte alors que C = ∅. D’où ϕ est injectif. Ce qui montre
que ϕ−1 : S −→ C, S 7−→ ϕ−1 (S) = Se est un isomorphisme.
¡
¢
2) Il évident que si Se est un ouvert de Specp K[X] . Alors S = Se ∩ K m est un ouvert de K m .
Inversement, si S est un ouvert semi-algébrique de K m . Alors d’après le théorème de finitude, on a :
S=
q n
r
[
\
¯
o
¯
x ∈ K m ¯ fij (x) ∈ K ∗(nij ) .
j=1 i=1
Donc Se =
q n
r
o
[
\
¡
¢ ¯¯
¡
¢
α ∈ Specp K[X] ¯ fij (α) ∈ k(α)∗(nij ) est un ouvert de Specp K[X] .
2
j=1 i=1
Voici à présent le lien entre la dimension d’un ensemble semi-algébrique et le constructible du spectre
p-adique qui lui associé par l’opération tilde p-adique, c’est l’analogue de la proposition 7.5.6 de [3] :
e
Théorème 3.11 Soit S un sous-ensemble semi-algébrique de K m . Alors on a dim(S) = dim(S).
10
¡
¢
Démonstration. Soit αr < . . . < α0 une chaîne de spécialisations de longueur r de Specp K[X]
e Posons Ii = supp(αi ) pour tout 0 ≤ i ≤ r. Alors I0 ⊂ I1 ⊂ . . . ⊂ Ir est une
contenues dans S.
chaîne d’idéaux premiers de K[X] de longueur r. D’autre part, f ∈ J (S) implique f (αi ) = 0 (car
e pour 0 ≤ i ≤ r ; et donc J (S) ⊂ Ii . Donc I0 /J (S) ⊂ . . . ⊂ Ir /J (S) est une chaîne
αi ∈ S)
e ≤ dim(S).
d’idéaux premiers de longueur r de l’anneau K[X]/J (S). Ainsi on a dim(S)
Inversement, supposons dim(S) = d. Alors d’après le théorème 3.8 et le théorème 3.9, S contient
un ensemble semi-algébrique p-adique T semi-algébriquement homéomorphe à un ouvert semialgébrique p-adique U de K d qui contient l’origine. L’homéomorphisme semi-algébrique p-adique
e
e
entre T et U donne par l’opération
¡ tilde p-adique
¢ un homéomorphisme entre T et U . D’après le
lemme 3.6, il existe dans Specp K[X1 , . . . , Xd ] une chaîne de spécialisations de longueur d qui
e est stable
commence par l’origine de K d . D’après la proposition 3.4 et comme U est un ouvert, U
e
par générisation et cette chaîne de spécialisations est toute entière contenue dans U . Par homéomore Ainsi
phisme, on obtient une chaîne de spécialisations de longueur d contenue dans Te et donc dans S.
e Ce qui montre que dim(S)
e = dim(S).
on a dim(S) ≤ dim(S).
2
4 Variantes des théorèmes des zéros p-adiques
Soit A un anneau et x ∈ A. Pour tout α ∈ Specp (A), on note x(α) = ϕ(x) où ϕ : A −→ k(ϕ) est
un homomorphisme associé à α. Il est facile de voir que la partie supp(α) = {x ∈ A | x(α) = 0} est
un idéal premier p-adique de A. Si I est un idéal de A, on note Z (I) le sous-ensemble de Specp (A)
défini par
Z (I) = {α ∈ Specp (A) | x(α) = 0 ∀ x ∈ I}.
Si X est une partie de Specp (A), on note par J (X) l’idéal de A défini par
J (X) = {x ∈ A | x(α) = 0
∀ α ∈ X}.
Remarquons que si I est un idéal de A, alors on a :
\
\
supp(α).
{x ∈ A | x(α) = 0} =
J (Z (I)) =
α∈Z (I)
α∈Z (I)
Les opérateurs J et Z vérifient les mêmes propriétés comme leurs analogues dans le cas du spectre
premier ou le spectre réel d’un anneau. En particulier, on a :
∀ X ⊂ Specp (A),
X = Z (J (X)).
Théorème 4.1 (théorème des zéros p-adiques
pour le spectre p-adique). Soit A un anneau quel√
p
conque. Alors pour tout idéal I de A, on a : I = J (Z(I)).
√
p
Démonstration. Soit x ∈ I. Alors pour tout idéal premier p-adique J de A tel que I ⊂ J, on a :
idéal premier p-adique de A tel que I ⊂ supp(α). Donc on a
x ∈ J. Or ∀ α ∈ Z(I), supp(α) est un\
√
p
∀ α ∈ Z(I), x ∈ supp(α). D’où x ∈
supp(α). Ainsi on a x ∈ J (Z(I)), et I ⊂ J (Z(I)).
α∈Z(I)
√
p
Réciproquement, si x 6∈ I. Alors il existe un idéal premier p-adique J de A tel que I ⊂ J et x 6∈ J.
que
Considérons l’homomorphisme suivant α : A −→ A/J −→ k(J) −→ L. Nous remarquons √
p
α ∈ Z(I). De plus,√
on a : x(α) 6= 0. Ainsi on a x 6∈ J. Donc on a x 6∈ J (Z(I)), et J (Z(I)) ⊂ I.
p
Ce qui montre que I = J (Z(I)).
¤
11
Soit K un corps p-adiquement clos. En utilisant la notion d’idéal p-adique et la modèle-complétude
de Th(Qp ), nous avons démontré dans [17] le théorème des zéros p-adiques pour l’anneau K[X] :
Théorème √
4.2 (théorème des zéros p-adiques pour les fonctions polynômes). Soit I un idéal de K[X].
p
Alors on a I = J (Z(I)).
Si f ∈ Qp [[X]], on note f˜ une fonction de classe C ∞ sur Qm
p telle que sa série de Taylor à l’origine
˜
b
T (f ) coincide avec f . Soit X un germe d’ensembles fermés en 0 de Qm
p , et X un représentant de X.
On dit qu’une série formelle f ∈ Qp [[X]] est nulle sur X si pour tout a > 0, il existe un voisinage U
de 0 tel que :
b
pour tout x dans U ∩ X.
|f˜(x)|p ≤ kxkap
Si I est un idéal de Qp [[X]], on désigne par Z (I) l’ensemble des germes d’ensembles fermés en 0
de Qm
p qui annulent tous les éléments de I, et par J (Z (I)) l’idéal de Qp [[X]] dont ses éléments
sont les séries formelles nulles sur tout élément de Z (I). Le théorème des zéros réels pour l’anneau
des séries formelles R[[X]] est déjà démontré par Risler dans [14]. Pour l’anneau des séries formelles
p-adiques Qp [[X]], et vu la forte analogie avec le cas réel. Nous proposons l’énoncé suivant :
Conjecture√
4.3 (théorème des zéros p-adiques pour les séries formelles). Soit I un idéal de Qp [[X]].
p
Alors on a I = J (Z (I)).
On rappelle qu’une partie X de Qm
p est dite un ensemble analytique p-adique en 0 s’il existe des séries
convergentes f1 , . . . , fr dans Qp {X} et un ouvert U contenant 0 tels que
n
o
X ∩ U = x ∈ U | f˜1 (x) = · · · = f˜r (x) = 0 ,
où f˜1 , . . . , f˜r sont respectivement des représentats analytiques des séries f1 , . . . , fr définies sur U .
Une partie X de l’ouvert U de Qm
p est dite analytique p-adique dans U si X est analytique en tout
point de U . Nous renvoyons à [8] pour plus de détails sur les ensembles analytiques p-adiques.
Si X est un germe d’ensembles analytiques p-adique en 0, on lui associe un unique idéal de Qp {X},
noté, J (X), défini par
n
o
¯
b ,
J (X) = f ∈ Qp {X} ¯ f˜(x) = 0
∀x ∈ U ∩ X
˜
b est un représentant de X, U un ouvert de Qm
avec X
p contenant 0 et f un représentant analytique de f .
Si I est un idéal de l’anneau noethérien Qp {X}, on désigne par Z (I) le germe d’ensemble analytique
p-adique en 0 défini par des générateurs f1 , . . . , fr de I ; et par J (Z (I)) l’idéal de Qp {X} associé
au germe d’ensemble analytique p-adique Z (I). Le théorème des zéros réels pour l’anneau des séries
convergentes R{X} est déjà donné dans [14]. Pour les séries convergentes p-adiques, on pose la :
Conjecture√
4.4 (théorème des zéros p-adiques pour les séries convergentes). Si I un idéal de Qp {X}.
p
Alors on a I = J (Z (I)).
Remerciements. Je remercie les membres du Centre Ennio de Giorgi à Pise en Italie pour leurs
hospitalités. Je remercie aussi les Professeur A. El Khadiri et A. Fekak pour leurs remarques.
12
Références
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13