Nombres p-adiques - Laboratoire de Mathématiques

Nombres p-adiques : prise de notes
Jo¨el Cohen
20 octobre 2010
Table des mati`eres
1 Motivation 1
1.1 Perspective .............................................. 1
1.2 Equationsdiophantiennes ...................................... 2
2 Construction de l’anneau Zp3
2.1 D´efinition ............................................... 3
2.2 Extension de Z............................................ 4
3 Topologie de Zp5
3.1 Valuation p-adique .......................................... 5
3.2 Norme p-adique............................................ 5
3.3 Arithm´etique de Zp.......................................... 5
3.4 Topologie ............................................... 6
3.5 Propri´et´es de la topologie de Zp................................... 6
3.5.1 Compact ........................................... 6
3.5.2 Ultram´etrique......................................... 6
3.5.3 Totalementdiscontinu .................................... 7
4 D´efinition et topologie de Qp7
5 Lemme de Hensel 7
Ce sont les notes personnelles d’un expos´e d’introduction aux nombres p-adiques donn´e pour le s´eminaire
des doctorants du laboratoire de Math´ematiques de l’Universit´e Blaise Pascal, Clermont-Ferrand. Rien de
plus.
1 Motivation
1.1 Perspective
Pour chaque ppremier, on va construire de “nouveaux nombres”, appel´e nombres p-adiques. D’une part
un anneau topologique not´e Zp(entiers p-adiques) qui ´etend l’anneau Zdes entiers, et d’autre part un
corps topologique not´e Qp(nombres p-adiques) qui ´etend le corps Qdes rationnels. Les nombres p-adiques
Qpforment le corps des fractions des entiers p-adiques Zp(c’est-`a-dire que tout ´el´ement de Qpest un quotient
de deux ´el´ements de Zp), tout comme Qest le corps des fractions de Z. Il est essentiel de noter que ces deux
1

1 MOTIVATION 2
ensembles sont munis conjointement d’une structure alg´ebrique (anneau ou corps) et d’une topologie (ce qui
fait en grande partie leur int´erˆet).
Zcompl´etion
//
fractions
Zp
fractions
Qcompl´etion
//Qp
Il s’agit bien de constructions vraiment nouvelles au sens o`u Qpmuni de sa topologie ne peut pas s’injecter
dans Cde mani`ere continue, et le corps Qpest strictement plus grand que Q(et de dimension inifinie sur
Q). Par ailleurs les nombres p-adiques d´ependent r´eellement du choix du nombre premier p. En effet, pour
p6=ldeux nombres premiers distincts, les anneaux Zpet Zlsont diff´erents (non isomorphes) et de mˆeme
pour Qpet Ql.
1.2 Equations diophantiennes
Probl`eme : Soit f∈Z[X1, . . . , Xd] un polynˆome `a dvariables `a coefficients entiers, on cherche dentiers
(x1, . . . , xd)∈Zdtels que
f(x1, . . . , xd) = 0 (1)
C’est ce qu’on appelle une ´equation diophantienne. C’est un probl`eme souvent tr`es difficile, notamment parce
que Zest un ensemble infini (il n’est pas question d’essayer toutes les possibilit´es unes `a unes) et relativement
pauvre en structures (pas d’inversion, pas de limites etc).
Exemple 1.1. On peut citer les exemples classiques d’´equations diophantiennes :
1. Savoir si le polynˆome P=Pn
k=0 akXkposs`ede une racine rationnelle revient `a chercher des solutions
(x, y)∈Z2`a
n
X
k=0
akxkyn−k= 0
avec y6= 0, auquel cas le quotient x
yest racine de P. Par exemple, montrer que √2est irrationnel
revient `a montrer que l’´equation f=X2−2Y2n’admet pas de z´eros entiers non nuls.
2. Pour f=X2+Y2−Z2, on trouve une ´equation qui admet de nombreuses (une infinit´e) solutions
non triviales appel´ees triplets pythagoriciens, comme (3,4,5). On peut donner une description compl`ete
de tous les triplets pythagoriciens. Le triplet (x, y, z)est pythagoricien si et seulement s’il existe des
entiers u, v, w ∈Ztels que (`a permutation pr`es de xet y)
x=w(u2−v2)
y= 2uvw
z=w(u2+v2)
3. Pour p≥3premier et f=Xp+Yp−Zp, on retrouve l’´equation de Fermat. Ce dernier avait conjectur´e
qu’elle n’admettait pas de solution hormis celles ´evidentes obtenues en annulant x,you z. Il a fallu
environ 350 ans pour parvenir `a le prouver (A. Wiles, 1994).

2 CONSTRUCTION DE L’ANNEAU ZP3
Une id´ee est de r´eduire l’´equation (1) modulo n(pour n∈N∗), ce qui ram`ene `a un probl`eme fini dans
(Z/nZ)d. La philosophie est que si l’´equation (1) admet une solution, alors l’´equation r´esiduelle (modulo n)
admet une solution.
(1) admet une solution =⇒(1) admet une solution modulo n
Ou en contrapos´ee
(1) n’a pas de solution modulo n=⇒(1) n’a pas de solution
Exemple 1.2. Donnons pour illustrer une d´emonstration de l’irrationnalit´e de √2qui utilise ce principe.
Posons f=X2−2Y2. Supposons par l’absurde que f(x, y)=0admet une solution (x, y)∈Z2non nulle.
Quitte `a diviser xet ypar leur pgcd (ce qui reste solution), on peut supposer qu’ils sont premiers entre eux.
Modulo 3, on a
x2≡2y2≡ −y2mod 3
Comme xet ysont premier entre eux, l’un d’eux est non nul modulo 3, et donc finalement aucun n’est nul
modulo 3. En particulier, yest inversible modulo 3, notons y−1son inverse modulo 3. On a donc
xy−12≡ −1 mod 3
Mais par le petit th´eor`eme de Fermat, on trouve par ailleurs
xy−12≡1 mod 3
Ce qui est manifestement absurde. En conclusion f(x, y) = 0 n’admet aucune solution non nulle, et √2est
irrationnel.
Malheureusement, la r´eciproque est fausse en g´en´eral. Donc bien souvent, regarder modulo un seul entier
nne suffit pas. Une id´ee pour augmenter les chances d’une r´eciproque consiste `a consid´erer ensemble un
“paquet” d’´equations r´esiduelles (modulo npour tout n∈N∗). On peut effectuer deux r´eductions du fait
que ces ´equations r´esiduelles ne sont pas ind´ependantes les unes des autres. La premi`ere r´esulte du th´eor`eme
suivant.
Th´eor`eme 1.3 (Th´eor`eme des restes chinois 1).Si a, b ∈Zsont deux entiers premiers entre eux, alors on
a un isomorphisme d’anneaux
Z/aZ×Z/bZ'Z/abZ
Le th´eor`eme nous assure que r´esoudre l’´equation (1) modulo aet b(dans ses notations) ´equivaut `a la
r´esoudre modulo ab. Si on veut, on peut donc se contenter de regarder l’´equation modulo pnpour tout
nombre premier pet entier 2n∈N.
2 Construction de l’anneau Zp
2.1 D´efinition
Dans toute la suite, on fixe donc pun nombre premier (p= 2,3,5,7,...,243112609 −1, . . . ). La seconde
r´eduction est que si l’on connaˆıt la solution de (1) modulo pn+1, on la d´eduit modulo pn(o`u n∈N).
1. C’est le th´eor`eme qui est chinois.
2. L’´equation modulo p0= 1 n’a pas grand int´erˆet, mais je la rajoute pour des questions de notation.

2 CONSTRUCTION DE L’ANNEAU ZP4
Formellement, si n∈N, on a dispose du morphisme d’anneaux
ϕn:Z/pn+1Z−→ Z/pnZ
xmod pn+1 7−→ xmod pn
qui est bien d´efini (au sens o`u l’image ne d´epend pas du choix du repr´esentant x) parce que si x≡y
mod pn+1, alors en particulier x≡ymod pn. Et ϕntransforme une solution modulo pn+1 en solution
modulo pn(puisque ϕnest un morphisme d’anneaux). En d´efinitive, le “paquet” des solutions modulo pn
vit donc dans l’anneau suivant (les op´erations somme et produit sont d´efinies terme `a terme).
Zp=((xn)n∈N∈Y
n∈N
Z/pnZ, ϕn(xn+1) = xn)= lim
←−
ϕn
Z/pnZ
2.2 Extension de Z
On a alors le morphisme de plongement diagonal
i:Z−→ Zp
x7−→ (xmod pn)n∈N
qui est injectif (si xmod pn= 0 pour tout n∈N, alors tous les pndivisent x). Ce qui permet de consid´erer
Z⊂Zp
Exemple 2.1. Pour illustrer que Zpest strictement plus grand, regardons Z3. Dans Z3on consid`ere l’entier
3-adique suivant
x= (
n−1
X
k=0
3kmod 3n)n∈N
C’est effectivement un entier 3-adique puisque la suite v´erifie bien la condition de r´eduction (on a Pn
k=0 3k≡
Pn−1
k=0 3kmod 3n). On v´erifie par ailleurs que
2x= (3n−1 mod 3n)n∈N
= (−1 mod 3n)n∈N
=−1
Donc xest dans Z3mais pas dans Z.
On prolonge l’exemple pr´ec´edent si on remarque qu’un entier est inversible dans Z/pnZsi et seulement si
pne le divise pas. On en d´eduit que tous les entiers premiers `a pont un inverse dans Zp(les inverses modulo
pnexistent tous et sont compatibles aux morphismes de r´eductions ϕn). Mais pn’admet pas d’inverse dans
Zp. Si lest un nombre premier distinct de p, alors Zpposs`ede un inverse `a lmais pas `a p, tandis que Zl
poss`ede un inverse `a pmais pas `a l. Cela montre que Zpet Zlsont deux anneaux non isomorphes, et qu’aucun
n’est inclus dans l’autre.

3 TOPOLOGIE DE ZP5
3 Topologie de Zp
3.1 Valuation p-adique
D´efinition 3.1. Soit x= (xk)k∈N∈Zp, on d´efinit la valuation p-adique de x, not´ee vp(x), par
vp(x) = max {k∈N, xk= 0}
Avec la convention que le maximum d’un ensemble non born´e est +∞, ce qui donne vp(0) = +∞
Si x∈Zest un entier, alors vp(x) correspond `a l’exposant de pdans la d´ecomposition de xen facteurs
premier. On ´etablit facilement les propri´et´es suivantes.
Proposition 3.2. Pour tous x, y ∈Zp, on a
1. vp(x)=+∞ ⇐⇒ x= 0
2. vp(xy) = vp(x) + vp(y)
3. vp(x+y)≥min(vp(x), vp(y))
Ajoutons, que si x, y ∈Zpsont deux entiers p-adiques de valuation diff´erente, alors l’in´egalit´e 3 devient
une ´egalit´e.
3.2 Norme p-adique
D´efinition 3.3. Pour x∈Zp, on d´efinit la norme p-adique de x, not´ee |x|p, par
|x|p=p−vp(x)
avec la convention |0|p= 0.
Exemple 3.4. On a |10|2=1
2,|10|3= 1 et |10|5=1 5.
Par exponentiation, on d´eduit les propri´et´es de la norme p-adique `a partir de celles de la valuation
p-adique.
Proposition 3.5. Pour tous x, y ∈Zp, on a
1. |x|p= 0 ⇐⇒ x= 0
2. |xy|p=|x|p|y|p
3. |x+y|p≤max(|x|p,|y|p)≤ |x|p+|y|p
3.3 Arithm´etique de Zp
On remarque que les propri´et´es 1 et 2 de la norme p-adique entrainent en particulier que l’anneau Zpest
int`egre (c’est-`a-dire que xy = 0 entraine x= 0 ou y= 0). Et un entier p-adique est inversible si et seulement
si il est de norme 1 (c’est clairement n´ecessaire, et r´eciproquement c’est le mˆeme argument qu’en 2.2 pour
les entiers premiers `a p). En cons´equence, l’arithm´etique de Zpest simple. Moralement, pest le seul nombre
premier de Zp(tous les autres sont devenus inversibles). Pr´ecis´ement, on a le r´esultat suivant.
Proposition 3.6 (Zpest local).L’anneau Zpest int`egre, et poss`ede un unique id´eal maximal c’est pZp,
l’id´eal engendr´e par p, qui est aussi l’ensemble des entiers p-adiques de norme strictement inf´erieure `a 1.
On a
Zp/pZp'Z/pZ